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07第七章 立体几何初步——2023年高中数学学业水平考试专项精讲+测试（人教A版2019，新教材地区）
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这是一份07第七章 立体几何初步——2023年高中数学学业水平考试专项精讲+测试（人教A版2019，新教材地区），文件包含07第七章立体几何初步解析版docx、07第七章立体几何初步原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共108页， 欢迎下载使用。
第七章 立体几何初步
7.1基本例题图形+7.2立体图形的直观图
7.3简单几何体的表面积和体积
7.4空间点、直线、平面的位置关系
7.5空间直线、平面的平行
7.6空间直线、平面的垂直
7.7立体几何初步实战
7.1基本例题图形+7.2立体图形的直观图
知识回顾
1、空间几何体的结构特征
（1）棱柱的定义
定义：一般地，有两个面互相平行 ，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行 ，由这些面所围成的多面体叫做棱柱
底面(底)：两个互相平行的面
侧面：其余各面
侧棱：相邻侧面的公共边
顶点：侧面与底面的公共顶点
（2）棱锥的定义
定义：有一面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥
底面：多边形面
侧面：有公共顶点的各三角形面
侧棱：相邻侧面的公共边
顶点：各侧面的公共顶点
（3）棱台的定义
定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，我们把底面和截面之间的那部分多面体叫做棱台
上底面：原棱锥的截面
下底面：原棱锥的底面
侧面：除上下底面以外的面
侧棱：相邻侧面的公共边
顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点
（4）圆柱的定义
以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体
圆柱的轴：旋转轴
圆柱的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面
圆柱的侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面
圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边
（5）圆锥的定义
以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体
轴：旋转轴叫做圆锥的轴
底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面
侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面
母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边
锥体：棱锥和圆锥统称为锥体
（6）圆台的定义
用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台
轴：圆锥的轴
底面：圆锥的底面和截面
侧面：圆锥的侧面在底面与截面之间的部分
母线：圆锥的母线在底面与截面之间的部分
台体：棱台和圆台统称为台体
（7）球
球的表面积和体积
（1）球的表面积：
（2）球的体积:
2、直观图
（1）空间几何体的直观图的绘制方法
（1）画轴. 在平面图形中取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点, 画直观图时，把它们分别画成对应的轴与轴，两轴交于点, 且使”(或）, 它们确定的平面表示水平面；
（2）画底面. 已知图形中，平行于轴轴或轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴、轴或轴的线段；
（3）画侧棱. 已知图形中平行于轴或轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于轴的线段，长度变为原来的一半；
（4）成图. 连线成图以后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图.
简记为：①画轴；②画底面；③画侧棱；④成图.
（2）斜二测画法保留了原图形中的三个性质
①平行性不变，即在原图中平行的线在直观图中仍然平行；②共点性不变，即在原图中相交的直线仍然相交；③平行于x，z轴的长度不变．
高频考点
1．（2022·全国·高三专题练习）以下四个命题中，真命题为（ ）
A．侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥
B．底面是矩形的平行六面体是长方体
C．直四棱柱是直平行六面体
D．棱台的侧棱延长后必交于一点
【答案】D
【详解】A中， 如图，若，且，则该三棱锥不是正三棱锥，A是假命题；
B中，平行六面体中侧棱与底面矩形不一定垂直，B是假命题；
C中，直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故直四棱柱不一定是直平行六面体，C是假命题；
D中，根据棱台的定义，D是真命题.
故选：D
2．（2022·安徽·合肥一中高一开学考试）如图是某几何体的展开图，该几何体是（ ）
A．长方体 B．圆柱 C．圆锥 D．三棱柱
【答案】B
【详解】解：将展开图还原后，可得到一个圆柱，
故选：B.
3．（2022·广东·北京师范大学珠海分校附属外国语学校高一阶段练习）铜钱又称方孔钱，是古代钱币最常见的一种．如图所示为清朝时的一枚“嘉庆通宝”，由一个圆和一个正方形组成，若绕旋转轴（虚线）旋转一周，形成的几何体是（ ）
A．一个球
B．一个球挖去一个圆柱
C．一个圆柱
D．一个球挖去一个正方体
【答案】B
【详解】半圆及其内部旋转一周后所得几何体为球，
而矩形及其内部绕一边旋转后所得几何体为圆柱，
故题设中的平面图形绕旋转轴（虚线）旋转一周，形成的几何体为一个球挖去一个圆柱，
故选：B.
4．（2022·福建省福州格致中学高一期末）如图，是用斜二测画法画出的直观图，则是（ ）
A．锐角 B．直角 C．钝角 D．无法判断
【答案】C
【详解】解：根据斜二测画法的规则，将直观图还原为平面图如图所示，
所以，是钝角.
故选：C
5．（2022·辽宁营口·高二开学考试）如图，水平放置的的斜二测直观图是图中的，若，，则的面积为（ ）
A． B． C．8 D．
【答案】B
【详解】在中，由，
得，
所以，则，
由斜二测直观图可推出中，，，
故的面积为.
故选：B
6．（2022·全国·高一课时练习）已知圆锥的轴截面是边长为2cm的正三角形，圆锥的底面面积为______.
【答案】
【详解】由圆锥的轴截面为等边三角形且边长为2cm,故底面圆直径为2cm，因此底面半径为1cm，故面积为.
故答案为：
7．（2022·全国·高一课时练习）如图，一个矩形边长为1和2，绕它的长为2的边旋转一周后所得如图的一开口容器（下表面密封），是中点，现有一只蚂蚁位于外壁处，内壁处有一米粒，若这只蚂蚁要先爬到上口边沿再爬到点处取得米粒，则它所需经过的最短路程为______．
【答案】##
【详解】该几何体为圆柱，侧面展开图为矩形，其中，，将问题转化为在上找一点，使最短．
作关于的对称点，连接，
令与交于点，则得的最小值就是，其中BE=2+1=3，
所以．
故答案为：
8．（2022·四川·仁寿一中高二开学考试）已知△ABC的平面直观图是边长为的正三角形，那么原△ABC的面积为
【答案】##
【详解】直观图如下图所示，是边长为的正三角形，是的中点，
，过作，交轴于，
由于，所以是等腰直角三角形，
所以.
原图如下图所示，则三角形的高等于，
所以三角形的面积为.
故答案为：
9．（2022·吉林·长春外国语学校高一期末）若水平放置的四边形按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中，则原四边形的面积为____________
【答案】
【详解】在直观图中，四边形为直角梯形，，而，则，
由斜二测画法得原四边形是直角梯形，，，，如图：
所以四边形的面积为.
故答案为：
10．（2022·全国·高一课时练习）如图，O为球心，为小圆的圆心，大圆O与小圆平行，已知球的半径r为5，，求小圆的半径．
【答案】3
【详解】易知垂直大圆，
记小圆圆周上任意一点为A，且大圆O与小圆平行，
所以为直角三角形．
则，
即小圆的半径．
7.3简单几何体的表面积和体积
知识回顾
1、柱、锥、台、球的表面积和体积
几何体
表面积
体积
柱体（棱柱，圆柱）
椎体（棱锥，圆锥）
台体（棱台，圆台）
球
2、圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
几何体
圆柱
圆锥
圆台
图示
侧面积公式
高频考点
1．（2022·天津河东·高二学业考试）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，如果AB=3，AC=1，AA1=2，那么直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为（ ）
A．2 B．3
C．4 D．6
【答案】B
【详解】在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，
∵AB⊥AC，AB＝3，AC＝1，
，
又AA1⊥平面ABC，且AA1＝2，
．
故选：B．
2．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高二学业考试）已知一个棱长为的正方体的顶点都在球面上，则该球体的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】若棱长为的正方体的顶点都在同一个球面上，
则球的直径等于正方体的体对角线长，即，（其中是该球的半径），
所以，则球的体积．
故选：B．
3．（2022·甘肃·天水市第一中学高二学业考试）已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形，且面积为4，则圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题设，圆锥的体高、底面半径均为，
所以圆锥的体积为.
故选：D
4．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）法国罗浮宫玻璃金字塔外表呈正四棱锥形状（如图所示），已知塔高，底宽，则塔身的表面积（精确到是 （可能用到的参考数据：，
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】如图，正四棱锥，底面，，，
则，所以，
作，则
所以该塔身的表面积
故选：．
5．（2022·湖南·怀化市辰溪博雅实验学校高二学业考试）半径为的球的表面积为___________.
【答案】
【详解】解：球的半径为，所以球的表面积为.
故答案为：.
6．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）在棱长为的正四面体中，在线段上，满足,在线段上，满足，则四面体的体积为_________________.
【答案】
【详解】将正四面体放置在正方体中，如图所示，
正四面体的棱长为，所以正方体的边长为，
正方体的体积为，
所以正四面体的体积为.
由于、，
所以.
故答案为：
故答案为：
7．（2022·天津红桥·高二学业考试）若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______.
【答案】.
【详解】解：因为正方体的顶点都在同一球面上，
所以球的直径为正方体的对角线，
所以，
所以，
故球的表面积：.
故答案为：.
8．（2022·湖北·高二学业考试）在三棱锥中，侧棱、、两两垂直，，，，则该三棱锥的外接球的表面积为_________．
【答案】
【详解】将三棱锥补全为长方体，
则长方体的外接球就是所求的外接球，设球半径为R，
则，
所以球的表面积为．
故选答案为：．
9．（2022·浙江·慈溪市三山高级中学高二学业考试）宁波老外滩天主教堂位于宁波市新江桥北堍， 建于清同治十一年（公元 1872 年）. 光绪二十五 （1899年） 增建钟楼， 整座建筑由教堂、钟楼、偏屋组成， 造型具有典型罗马哥特式风格. 其顶端部分可以近似看成由一个正四棱锥和一个正方体组成的几何体， 且正四棱锥的侧棱长为， 其底面边长与正方体的棱长均为， 则顶端部分的体积为__________.
【答案】
【详解】解：依题意可得如下直观图，，，设与的交点为，则为正四棱锥的高，
所以，，
所以，，
所以
故答案为：
10．（2022·贵州·高二学业考试）已知长方体的三条棱长分别为1，，，则该长方体外接球的表面积为___．（结果用含的式子表示）
【答案】
【详解】由题意得，长方体的体对角线即为外接球直径，设外接球半径为，则，则外接球的表面积为.
故答案为：.
11．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）半正多面体亦称为“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，如图所示．这是一个将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”花岗岩石凳，已知此石凳的棱长为，则此石凳的体积是________．
【答案】
【详解】解：由图可知：该石凳是由棱长为cm的正方体沿各棱中点截去个三棱锥所得到的，
该石凳的体积为：.
故答案为：.
12．（2022·重庆·高一学业考试）已知一圆锥的侧面展开图是半径为的半圆，则该圆锥的体积是_______．
【答案】
【详解】设该圆锥底面圆的半径为，高为，母线长为，则，，解得：，
，该圆锥的体积是．
故答案为：.
13．（2022·浙江·太湖高级中学高二学业考试）一个球被平面截下的部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截后的线段叫做球缺的高球缺的体积公式为，其中为球的半径，为球缺的高.北京冬奥会的吉祥物“冰墩墩”如图深受广大市民的喜爱，它寓意着创造非凡、探索未来，体现了追求卓越、引领时代，以及面向未来的无限可能它的外形可近似抽象成一个球缺与一个圆台构成的组合体如图已知该圆台的底面半径分别和，高为，球缺所在球的半径为，则该组合体的体积为_____.
附：圆台体积公式，其中分别表示圆台上下底面面积，为圆台高.
【答案】
【详解】解：如图作出几何体的轴截面如下所示：
依题意可得，，，，
所以，则，
所以，
，
所以几何体的体积；
故答案为：
14．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P—ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝2，AC＝4，三棱锥P—ABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为______．
【答案】
【详解】将三棱锥P—ABC放入一个长方体中，如图所示：
则三棱锥P—ABC的外接球即为该长方体的外接球，因为PA＝AB＝2，AC＝4，故，设外接球的半径为，则，
故外接球的表面积为.
故答案为：.
7.4空间点、直线、平面的位置关系
知识回顾
1、与平面有关的三个基本事实
（1）基本事实1：过不在一条直线上的三个点,有且只有一个平面
数学语言：,,三点不共线有且只有一个平面,使,,.
（2）基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内
数学语言：,,且,
（3）基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线
数学语言：,且 ,且
2、基本事实1的三个推论
推论1:经过一条直线与这条直线外一点,有且只有一个平面;
推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面;
推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面.
3、空间点、直线、平面之间的位置关系
直线与直线
直线与平面
平面与平面
平行关系
图形语言
符号语言
相交关系
图形语言
图形语言
独有关系
图形语言
图形语言
与是异面直线
高频考点
1．（2022·湖南·怀化市辰溪博雅实验学校高二学业考试）是空间中两条不同的直线，“是异面直线”是“没有公共点”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】解：若是空间中两条不同的直线，且是异面直线，则没有公共点；
若是空间中两条不同的直线，且没有公共点，则是异面直线或，
故“是异面直线”是“没有公共点”的充分不必要条件.
故选：A.
2．（2022·浙江·慈溪市三山高级中学高二学业考试）如图， 在正方体中， 直线与平面的位置关系为（ ）
A．直线在平面内 B．直线与平面相交但不垂直
C．直线与平面相交且垂直 D．直线与平面平行
【答案】B
【详解】由正方体的性质知：面即为面，而直线与面交于，但不垂直.
故选：B
3．（2022·广西·高二学业考试）如图，正方体中，分别是的中点，则下列结论正解的是（ ）
A． B． C．与相交 D．与相交
【答案】B
【详解】由分别是的中点可得，又易得，则.
故选：B.
4．（2022·北京·高三学业考试）设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中的真命题为（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B
【详解】在正方体中，记底面ABCD为，EF为m，EH为n，显然A不正确；记底面ABCD为，EF为m，平面CDHG为，故排除C；记底面ABCD为，EF为m，平面ABFE为，可排除D；由线面垂直的性质可知B正确.
故选：B
5．（2022·浙江·高二学业考试）已知，，是三个不同的平面，，.则下列命题成立的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B
【详解】对A，平面和可以相交，
对B，根据定理，一个平面和另外两个平行平面相交，则交线平行，故B正确；
对C，平面内的一条直线和令一个平面内的一条直线垂直，
不能证明线面垂直，即不能证明面面垂直，故C错误，
对D，若两个面垂直，第三个平面和该两个面相交，交线并不一定垂直，故D错误.
故选：B
6．（2022·天津南开·高二学业考试）如图，在正方体中，E为线段的中点，则异面直线DE与所成角的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：连接，则，故为异面直线DE与所成角的平面角或其补角，连接，则，因为E为的中点，故DE，在中，
因为，而，所以在中，，故，
故选：C．
7．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）设，，为不重合的平面，，为不重合的直线，则其中正确命题的序号为（ ）
①，，则； ②，，，则；
③，，，则；④，，，则．
A．①③ B．②③ C．②④ D．③④
【答案】D
【详解】①中，，可以相交并垂直于，①错误；
②中，或或、相交（不一定垂直），②错误；
③中，如图，将直线、平移交于点，
设过直线、的平面为，设，
因为，，所以，
因为，、，所以∥，因为，所以，
因为，所以，故③正确；
④中，如图，设，
在平面内任取一点，分别过作，垂足分别为，
因为，，所以，
因为，所以，所以，
因为，所以，故④正确，
故选：D.
8．（2022·贵州·高二学业考试）如图，在正方体中，直线与的位置关系是（ ）
A．相交 B．平行 C．异面不垂直 D．异面垂直
【答案】B
【详解】在正方体中，且，
所以四边形为平行四边形，
所以.
故选：B
9．（2022·湖南娄底·高二学业考试）如图，在直三棱柱中，若，，，则异面直线与所成的角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
如图，连接，则，由题知，，，∵∥，所以及为所求角或其补角，
所以.
故选：D.
10．（2022·浙江·高三学业考试）在长方体中，底面是边长为1的正方形，异面直线与所成角的大小为，则该长方体的表面积与体积的比值是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】设，连结，则，，
，异面直线与所成角是，
，解得：，
所以长方体的表面积，体积,
所以该长方体的表面积与体积的比值.
故选：D
11．（2022·全国·高一课时练习）下图中的两个相交平面，其中画法正确的是______．
【答案】④
【详解】解：对于①，因被挡住的部分应画虚线，需要画出两相交平面的交线，故①错误；
对于②，因被挡住的部分应画虚线，故②错误；
对于③，因被挡住的部分应画虚线，不被挡住的画出实线，且两平面的交线需从平面的上边界画到平面的下边界，故③错误；
对于④，因被挡住的部分应画虚线，不被挡住的画出实线，且两平面的交线需从平面的上边界画到平面的下边界，故④正确.
故答案为：④.
12．（2022·福建·福州金山中学高一期末）如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，与所成角的大小为___________.
【答案】##
【详解】如图,把正方体的平面展开图还原成正方体，
，，,
在这个正方体中,与所成角的大小为.
故答案为：.
13．（2022·全国·高一课时练习）已知，，，是相应长方体或空间四边形的边或对角线的中点，则这四点必定共面的是______．（写序号）
【答案】①③④
【详解】①中，，，，，四点共面；
②中，和是异面直线，故四点不共面；
③中，，，，，四点共面；
④中，，，，，四点共面；
故答案为：①③④
14．（2022·全国·高一专题练习）如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，H分别为棱C1D1，C1C，DD1的中点，有以下四个结论：
①直线AM与CC1是相交直线；
②直线AM与BN是平行直线；
③直线BN与MB1是异面直线；
④∠DAH＝∠CBN.
其中正确的结论为________(注：把你认为正确的结论的序号都填上).
【答案】③④
【详解】∵A，M，C，C1四点不共面，
∴直线AM与CC1是异面直线，故①错误；
同理，直线AM与BN也是异面直线，故②错误；
又因为N，M，B，B1四点不共面，
所以直线BN与MB1是异面直线，故③正确；
易得和全等，故∠DAH＝∠CBN，故④正确.
故答案为：③④
7.5空间直线、平面的平行
知识回顾
1、直线与平面平行
（1）直线与平面平行的定义
直线与平面没有公共点，则称直线与平面平行.
（2）直线与平面平行的判定定理
如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行
符号表述：
（3）直线与平面平行的性质定理
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行
符号表述：，，
2、平面与平面平行
（1）平面与平面平行的定义
两个平面没有公共点
（2）平面与平面平行的判定定理
如果一个平面内的有两条相交直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.
符号表述：
（3）平面与平面平行的性质定理
性质定理
两个平行平面，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行.
符号语言
性质
两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行与另一平面
符号语言：
高频考点
1．（2022·浙江·高三学业考试）、、是直线，是平面，则下列说法正确的是（ ）
A．平行于内的无数条直线，则
B．不在面，则
C．若，，则
D．若，，则平行于内的无数条直线
【答案】D
【详解】对于A，当平行于内的无数条直线，若，则与不平行，所以A错误，
对于B，当不在面时，与有可能相交，所以B错误，
对于C，当，时，若，则与不平行，所以C错误，
对于D，当，时，由线面平行的性质可知平行于内的无数条直线，所以D正确，
故选：D
2．（2022·宁夏·平罗中学高二阶段练习（理））已知a，b，c为三条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面．
①a//c，b//c⇒a//b；②a//β，b//β⇒a//b；
③a//c，c//α⇒a//α；④a//β，a//α⇒α//β；
⑤a⊄α，b⊂α，a//b⇒a//α.
其中正确的命题是（ ）
A．①⑤ B．①② C．②④ D．③⑤
【答案】A
【详解】对于①，由平行的传递性公理，则正确；
对于②，由，，则共面或异面，故错误；
对于③，由，，则或，故错误；
对于④，由，，则平行或相交，故错误；
对于⑤，由，，，根据线面平行判定定理，可得，故正确.
故选：A.
3．（2022·全国·高一课时练习）在三棱锥中，点E，F分别在上．若，则直线与平面的位置关系为（ ）
A．平行 B．相交 C．平面 D．不能确定
【答案】A
【详解】因为，所以．
又平面平面，所以平面．
故选：A
4．（2022·全国·高一课时练习）若直线平面，，且直线与点位于的两侧，，，，分别交平面于点，，若，，，则的长为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】B
【详解】∵，平面，平面，
∴，∴，即，∴.
故选：B.
5．（2022·广西南宁·高一期末）在空间中，直线∥面，直线平面，则（ ）
A．m与n平行 B．m与n平行或相交 C．m与n异面或相交 D．m与n平行或异面
【答案】D
【详解】直线∥面，直线平面，可知，m与n平行或异面．
故选：D
6．（2022·湖南·高二阶段练习）已知三条不同的直线l，m，n，且，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】解：若，又，则，故充分性成立，
反之，若，又，则，故必要性成立.
故“”是“”的充要条件.
故选：C.
7．（2022·北京市第十二中学高一阶段练习）设有直线和平面，下列命题中正确的命题是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】A
【详解】A选项，由面面平行的定义可知直线m和平面无公共点，即，A正确；
B选项，缺少m、n相交，B错误；
C选项，在正方体中，平面ABCD，平面ABCD，但，C错误；
D选项，直线n可能在平面，D错误.
故选：A
8．（2022·吉林省实验中学高一期中）设，，为不同的直线，，，为不同的平面，则下列结论中正确的有（ ）
①若，，则；②若，，则；
③若，，，则；④若，，则．
A．①③ B．②④ C．②③ D．②
【答案】A
【详解】由平行的传递性知①正确；若，，可能平行，也可能相交或异面，②错误；
由线面平行的性质知③正确；若，，则或，④错误.
故选：A.
9．（2022·山东·广饶一中高二阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，是上一点，当点满足条件：________时，平面.
【答案】答案表述不唯一)
【详解】连接交于O，连接OE，
平面平面，平面平面 ，
.
又 底面为平行四边形，为对角线与的交点，
故为的中点, 为的中点，
故当满足条件: 时，面.
故答案为: 答案表述不唯一)
10．（2022·全国·高一课时练习）在长方体所有的棱所在的直线中，与平面平行的直线有______．
【答案】AB、、、
【详解】由题意，作图如下：
则与平面平行的直线有AB、、、，
故答案为：AB、、、
11．（2022·全国·高一课时练习）如图，三条直线、、不共面，但交于一点，若，，，那么平面和平面的位置关系是______．
【答案】平行
【详解】由，，且,故，因此,故,平面,平面,故平面,同理可得平面,平面,故平面平面,
故答案为：平行
12．（2022·全国·高三专题练习）如图，在正方体中，分别是棱的中点.给出以下四个结论：
①直线与直线相交；②直线与直线平行；③直线与直线异面；④直线与直线异面.其中正确结论的序号为____(注：把你认为正确的结论序号都填上).
【答案】③④
【详解】平面，平面，且，根据异面直线的定义可得，直线与直线异面，故①错；类似的根据定义可说明直线与直线异面，直线与直线异面，直线与直线异面，故②错，③，④正确.
故答案为：③④
13．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高二学业考试）如图，在直三棱柱中，分别为侧棱的中点，试判断与平面的位置关系，并说明理由.
【答案】平行，理由见解析
【详解】解：平面，
证明如下：在直三棱柱中，分别为侧棱的中点，
，
四边形为平行四边形，
，
又平面，平面，
平面.
14．（2022·甘肃·天水市第一中学高二学业考试）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝1，E，F分别是PB，AC的中点．
(1)证明：平面；
(2)求三棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
（1）证明： 四边形是正方形，是的中点，
，，三点共线，且是的中点，
又是的中点，
，
又平面，平面，
平面．
（2）解：平面，是的中点，
到平面的距离为，
四边形是正方形，，，
三棱锥的体积为：．
15．（2022·福建·上杭一中高二学业考试）如图，在正方体中，，点P为的中点.
（1）证明：直线平面；
（2）求异面直线与AP所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【详解】（1）如图，连接BD，设AC和BD交于点O，则O为BD的中点，
连接PO，因为P是的中点，所以，
又因为平面PAC，平面PAC，所以直线平面PAC.
（2）由（1）知：，所以异面直线与所成角即为PO与所成角，
即为与所成角，
因为，，且，
在直角中，所以，
所以与AP所成角的正弦值为.
16．（2022·湖南娄底·高二学业考试）如图，O是圆锥底面圆的圆心，圆锥的轴截面为等腰直角三角形，C为底面圆周上一点.
（1）若弧BC的中点为D，求证：平面；
（2）如果的面积是9，求此圆锥的表面积.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【详解】（1） ∵是底面圆的直径，
∴
∵弧的中点为，
∴
又，共面，
∴
又平面，平面，
∴平面
（2）设圆锥底面半径为，高为，母线长为，
∵圆锥的轴截面为等腰直角三角形，
∴，
由，得
∴圆锥的表面积
7.6空间直线、平面的垂直
知识回顾
1、直线与平面垂直
（1）直线和平面垂直的定义
如果一条直线与平面内的任意一条直线都垂直，那么直线垂直于平面，记为．直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面，垂线与平面的交点P叫垂足.
符号语言：对于任意，都有.
（2）直线和平面垂直的判定定理
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直.
简记：线线垂直线面垂直
符号语言：，，，，
（3）直线和平面垂直的性质定理
定义转化性质：如果一条直线与平面垂直，那么直线垂直于平面内所有直线.
符合语言：，.
性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.
符合语言：，
2、平面与平面垂直
2.1、平面与平面垂直的定义
（1）定义:一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.
（2）符号语言:
（3）图形语言
2.2、平面与平面垂直的判定
（1）定理：如果一个平面过另一个平面的的垂线，那么这两个平面垂直.(线面垂直，则面面垂直)
（2）符号（图形）语言:，
2.3、平面与平面垂直的性质定理
（1）定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．
(2)符号（图形）语言：，， .
高频考点
1．（2022·甘肃·天水市第一中学高二学业考试）如图，在正方体中，、、、分别为、、、的中点，则异面直线与所成的角等于（ ）
A．45° B．60° C．90° D．120°
【答案】B
【详解】如图，连接，
由题意，，所以异面直线与所成的角是或其补角，
由正方体性质知是等边三角形，，
所以异面直线与所成的角是．
故选：B．
2．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）已知是空间中两条不同的直线，是空间中两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B
【详解】对于A，若，的位置关系无法确定，A错误；
对于B，由面面平行的性质知，若，则，B正确；
对于C，若，则或，C错误；
对于D，若，则的关系无法确定，D错误.
故选：B.
3．（2022·浙江·杭州市余杭高级中学高二学业考试）如图，棱长为2的正方体中，在线段（含端点）上运动，则下列判断正确的是（ ）
A．与不垂直
B．三棱锥的体积始终为
C．面
D．与所成角的范围是
【答案】C
【详解】对于选项，因为平面，平面，
所以，而，平面，
所以平面，而平面，所以，
同理，而平面，
从而平面，而平面，所以，因此本选项说法不正确；
对于选项，因为，平面，平面，
所以面,所以本选项说法不正确；
对于选项，由上可知：面，
因为，平面，平面，
所以面，而平面，
所以平面平面，而平面，
所以面，因此本选项说法正确；
对于选项，当与重合时，与所成角为0，当与重合时，
国为，，
所以与所成角为，所以错误．
故选：C．
4．（2022·湖南娄底·高二学业考试）正方体中与垂直的平面是（ ）
A．平面 B．平面 C．平面 D．平面
【答案】D
【详解】正方体中，
在A中，与平面相交但不垂直，故A错误；
在B中，与平面相交但不垂直，故B错误；
在C中，与平面相交但不垂直，故C错误；
在D中，，，，
平面，故D正确.
故选D.
5．（2022·浙江·高三学业考试）如图，正方体中，N是棱的中点，则直线CN与平面所成角的正弦值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】连接、交于,由正方形的性质可得，
又平面，
平面，，
又与在平面内相交，
所以平面
是与平面所成的角，
设正方体的棱长为2，则，，
，
故选：B.
6．（2022·江西·景德镇一中高一期末）若一条直线与平面垂直，下列平面中的两条直线与垂直，可以保证直线与平面垂直的是（ ）
①四边形的两边 ②正六边形的两边 ③圆的两条直径 ④三角形的两边
A．①② B．①③ C．②③ D．③④
【答案】D
【详解】解：对于①，四边形中的两条边可能平行，如平行四边形的对边，此时不能保证线面垂直；
对于②，若直线垂直正六边形的两条平行的边，此时不能保证线面垂直；
对于③，圆的两条直径交于圆心，故能保证线面垂直；
对于④，三角形的任意两边一定相交，故能保证线面垂直.
所以可以保证直线与平面垂直的是③④.
故选：D.
7．（2022·山东临沂·高一期末）已知，表示两条不同的直线，，表示两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则m⊥n D．若，，则
【答案】C
【详解】若，不妨设在内的投影为，则，
对于选项A：若，，则，结合线面垂直判定定理可知，不一定垂直，故A错误；
对于选项B：若，，此时与可能相交、平行或在上，故B错误；
对于选项C：若，，则，从而，故C正确；
对于选项D：若，，则，结合面面垂直判定定理可知，，故D错误.
故选：C.
8．（2022·福建·福州三中高一期末）如图，为正方体，下列错误的是（ ）
A．平面 B．
C．平面平面 D．异面直线与所成的角为60°
【答案】D
【详解】解：在正方体中，，平面，平面，所以平面，故A正确；
由，平面，平面，所以，
又，平面，所以平面，
又平面，所以，故异面直线与所成的角为，即B正确，D错误；
又由，平面，平面，所以，
又，平面，所以平面，
又平面，所以平面平面，故C正确；
故选：D
9（多选）（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）(多选题)如图，在棱长为1的正方体中，P为棱CC1上的动点(点P不与点C，C1重合)，过点P作平面分别与棱BC，CD交于M，N两点，若CP＝CM＝CN，则下列说法正确的是（ ）
A．A1C⊥平面
B．存在点P，使得AC1∥平面
C．存在点P，使得点A1到平面的距离为
D．用过点P，M，D1的平面去截正方体，得到的截面一定是梯形
【答案】ACD
【详解】
连接
因为，所以＝，所以
又平面，平面，所以平面
同理可证，平面
又，、平面，所以平面平面
易证⊥平面，所以⊥平面，A正确
又平面，所以与平面相交，不存在点P，使得∥平面，B不正确.
因为，点到平面的距离为
所以点A1到平面的距离的取值范围为
又，所以存在点P，使得点A1到平面的距离为，C正确.
因为，所以，所以用过点P，M，D1的平面去截正方体得到的截面是四边形
又，且，所以截面为梯形，D正确
故选：ACD
10．（多选）（2022·浙江·太湖高级中学高二学业考试）如图，已知正方体中，分别是的中点，则下列判断正确的是（ ）
A． B．平面
C．平面 D．
【答案】ABC
【详解】解：连接，在正方体中为的中点，
所以为的中点，又为的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面，故C正确；
因为，与不平行，故D错误；
又，平面，平面，所以，
，平面，平面，
所以平面，，故A、B正确；
故选：ABC
11．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）正四棱锥中，8条棱长均相等，且，则此正四棱锥的体积为_______．
【答案】
【详解】因为该几何体为正四棱锥，8条棱长均相等,
所以四边形为正方形，，
连接交于点,连接，
因为,为中点，则，同理，,，平面，
所以平面，
所以，故正四棱锥体积.
故答案为：.
12．（2022·广西·高二学业考试）如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，，则这个三棱锥的四个面中，是直角三角形的个数有_____个.
【答案】
【详解】由于平面，所以，
所以三角形和三角形是直角三角形.
由于，所以，三角形是直角三角形.
由于，所以平面，
所以，所以三角形是直角三角形.
所以三棱锥四个面中，是直角三角形的个数有个.
故答案为：
13．（2022·四川·高三学业考试）如图，在底面是矩形的四棱锥中，底面，，分别是，的中点.
(1)若，求四棱锥的体积；
(2)求证：平面.
【答案】(1)
(2)证明详见解析
(1)解：∵在底面是矩形的四棱锥中，底面，，
∴；
(2)证明：∵四边形为矩形，
∴，
∵底面，面，
∴，
又，∴面，
又，分别是，的中点，
∴，
∴平面.
14．（2022·甘肃·天水市第一中学高二学业考试）直三棱柱中，，.
(1)求证：平面.
(2)若与平面所成角为，求三棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
（1）三棱柱为直三棱柱，平面，
又∵平面，，
又∵，即，
又∵，平面，
平面.
（2）
三棱柱为直三棱柱，平面，
即为与平面所成角，；
，，，
，
.
15．（2022·天津河东·高二学业考试）如图，在正方体中，E为的中点.
(1)求证：平面；
(2)求证：平面.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
（1）
证明：根据题意，四边形是正方形，则，
又由平面，平面，则，
因为，平面，
所以平面；
（2）
证明：设，连接，因为是正方形，所以为的中点，
又因为为的中点，则为的中位线，
所以，
又平面，平面，
所以平面.
16．（2022·湖南·怀化市辰溪博雅实验学校高二学业考试）在直三棱柱中，，为中点.
(1)求证：平面；
(2)若，求四棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
(1)
，为中点，
,
在直三棱锥中，平面, 平面.
，又,
平面
(2)
，为中点，
，
由（1）知，四棱锥的高即为，
又，所以，
.
17．（2022·福建·高二学业考试）如图，在三棱锥中，平面平面
(1)求证：PA；
(2)若，求三棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(1)
证明：因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又平面，
所以PA；
(2)
解：由（1）知平面，所以，
又，所以，
因为，所以，
所以，
所以，
所以三棱锥的体积.
18．（2022·广西·高二学业考试）如图，AB是底面的直径，C为上异于A、B的点，PC垂直于所在平面，D、E分别为PA、PC的中点.
(1)求证：DE∥平面ABC.
(2)求证：平面BDE⊥平面PBC.
【答案】(1)证明详见解析
(2)证明详见解析
（1）
由于分别是的中点，所以，
由于平面平面，
所以平面.
（2）
依题意平面，所以.
由于是圆的直径，所以,
由于，所以平面，
由于，所以平面，
由于平面，所以平面平面.
19．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高二学业考试）如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面.
(1)求证：平面；
(2)求证：平面.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(1)
由底面是正方形，
又平面，平面，平面
(2)
平面，平面，
又底面是正方形，
又，平面，平面
20．（2022·重庆·高一学业考试）如图，在中，，是边为的正方形，平面平面，、分别是、的中点.
(1)求证：平面：
(2)求点到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
（1）
证明：分别取、的中点、，连接、、，如下图所示：
因为四边形为正方形，则且，
、分别为、的中点，则且，
同理可得且，所以，且，
故四边形为平行四边形，所以，，
平面，平面，平面.
（2）
解：过点在平面内作，垂足为点，
因为，，则，，
因为四边形是边长为的正方形，则，
因为平面平面，平面平面，平面，
平面，
平面，，
，、平面，平面，
平面，，
，，、平面，平面，
因为平面，平面，，则，
由等面积法可得.
因此，点到平面的距离为.
21．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）如图在四棱锥中，底面是边长的正方形，侧面底面，且，设，分别为，的中点.
(1)求证：平面；
(2)求与平面所成角的大小.
【答案】(1)证明见解析
(2)
（1）
连接，因为四边形为正方形，且为的中点，所以为的中点，
又因为为的中点，则，
平面，平面，平面.
（2）
因为四边形为正方形，则，
因为平面平面，平面平面，平面，
平面，
平面，，
又，所以，即.
又，平面，所以平面，
所以即为与平面所成的角，
设，则，，在中，
所以，因为，
所以，
即与平面所成的角为.
22．（2022·贵州·高二学业考试）如图，直三棱柱中，，M为棱上一点．
(1)求三棱锥的体积；
(2)求证：．
【答案】(1)；
(2)证明见解析
（1）由直三棱柱可得平面，又，可得，则；
（2）由题意得，平面，平面，则，又，，平面，则平面，又平面，则.
23．（2022·天津红桥·高二学业考试）如图，正方体中，、分别是、的中点.
(1)求证：平面；
(2)求证：平面.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(1)
因为且，则四边形为平行四边形，故,
因为、分别是、的中点.，
所以，
所以,
又平面，
平面，
则平面；
(2)
正方体中，因为底面，
且平面，
所以，
又，
且，平面
则平面.
24．（2022·湖北·高二学业考试）在四棱锥中，底面为矩形，，平面平面，点为中点．
(1)证明：；
(2)若，四棱锥的体积为，求直线与平面所成角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(1)
证明：取的中点，连接、，
因为，所以，
在矩形中，点为中点，
所以，所以，
又，平面，
所以平面，平面，所以；
(2)
解：令，则，
所以，，
因为，平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
所以，解得，所以
连接，因为平面，
所以即为直线与平面所成角，
又，所以，
在中，，即直线与平面所成角的余弦值为；
7.7立体几何初步实战
一、单选题
1．如果一个长方体的长、宽、高分别是6，5，3，则它的体积为（ ）
A．15 B．18 C．30 D．90
【答案】D
【详解】因长方体的长、宽、高分别是6，5，3，所以该长方体的体积为.
故选：D
2．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线与平面DAA1D1的位置关系是（ ）
A．直线与平面平行
B．直线与平面垂直
C．直线与平面相交但不垂直
D．直线在平面
【答案】A
【详解】连接，由正方体的性质可得且，
所以为平行四边形，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面，
故选：A
3．已知在长方体中，在平面上任取一点，作于，则（ ）
A．平面 B．平面
C．平面 D．以上都有可能
【答案】A
【详解】
平面，，即平面，平面，
又平面平面，平面平面，
平面.
故选：A.
4．如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，下列结论正确的个数为（ ）
①平面PBC ②平面PCD ③平面PDA ④平面PBA
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【详解】对于①，平面，故①错误；
对于②，由于为的中点，为的中点，则， 平面，平面，则平面，故②正确；
对于③，由于，平面，平面，则平面，故③正确；
对于④，由于平面，故④错误．
故选：B
5．如图，正方体中，E为的中点，则下列直线中与平面AEC平行的是（ ）
A． B． C． D．EO
【答案】C
【详解】解：对于A，因为直线与平面AEC交于点，故不平行；
对于B，因为直线与平面AEC交于点，故不平行；
对于C，在正方体中，
因为E为的中点，为的中点，
所以，
又平面AEC，平面AEC，
所以平面AEC；
对于D，因为平面AEC，故不平行.
故选：C.
6．如图，在四面体D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．平面ABC⊥平面ABD
B．平面ABD⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE
D．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE
【答案】C
【详解】因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因为AC在平面ABC内，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.
故选：C
7．已知平面和直线，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【详解】解：对于A选项，若，则或相交，故A选项不正确；
对于B选项，若，则或相交，故B选项不正确；
对于C选项，若，则，为面面垂直的判定定理，故C选项正确；
对于D选项，若，则，故D选项不正确.
故选：C.
8．设是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若，，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】C
【详解】对于A选项，若，，则或异面，故A选项错误；
对于B选项，若，则或相交，故B选项错误；
对于C选项，由得，所以当时，，故C选项正确；
对于D选项，若且时，，故D选项错误；
故选：C
9．如图，正方体中，分别为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】取的中点，连接
由分别为的中点，则且
在正方体中且,所以且
所以四边形为平行四边形，所以
则（或其补角）为异面直线与所成角.
设正方体的棱长为2，则在中，,
所以
故选：A
10．已知四棱锥，平面，，，，，二面角的大小为.若四面体的四个顶点都在同一球面上，则该球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为，，所以，所以，
所以外接圆的圆心为的中点，记为，过作直线使得平面，
取中点，过作垂足为，则，
所以为四面体外接球的球心，
因为，所以平面，，
又，所以二面角的平面角为，所以，
因为，所以，所以，
所以，
又因为，
所以，
所以四面体外接球的体积为，
故选：A.
二、多选题
11．已知，是平面外的两条不同的直线，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
【答案】BC
【详解】解：对于A，直线和可以相交或者异面，故A错，
对于B, ，假设，，又，故，则，故B对,
对于C, 因为，，又，则，故C对,
对于D, 直线可以与平面平行，故D错.
故选：BC.
12．如图，四棱锥的底面为正方形，底面，则下列结论中正确的有（ ）
A． B．平面
C．与平面所成角是 D．与所成的角等于与所成的角
【答案】AB
【详解】A选项，为正方形，，又平面，，又，平面，，A选项正确；
B选项，为正方形，，又平面，且平面，平面，B选项正确；
C选项，底面，与平面所成角是，C选项错误；
D选项，为正方形，则与所成的角，又底面，则，所以与所成的角，D选项错误；
故选：AB.
三、填空题
13．如图，在正方体中，E是的中点.给出下列三个结论：
①；
②；
③线段的长度大于线段的长度.
其中所有正确结论的序号是______.
【答案】①②③
【详解】连接、 、，并设正方体的棱长为.
对于①，由于，可知平面，①正确；
对于②，由于，又是的中点，易知，②正确；
对于③，、、是正方体的面对角线，可知，
因此是等边三角形，而是等边三角形边上的高线，因此，③正确.
故答案为：①②③
14．一个正方体的棱长为2，若一个球内切于该正方体，则此球的体积是_____.
【答案】
【详解】解：依题意正方体内切球的直径即为正方体的棱长，即，所以内切球的体积
故答案为：
15．如图，正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是________.
【答案】
【详解】由直观图还原可得原图形为如图所示的平行四边形，
其中，，，，
原图形的周长为.
故答案为：.
16．如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E是PA上一点，当点E满足条件：________时，PC∥平面EBD．
【答案】为的中点
【详解】当为的中点时，平面EBD．
证明：设过BD的平面与直线的交点为，连接，设，
连接，则为的中点.
因为平面，平面，平面平面，
故，故为的中点，故即为.
故答案为：为的中点.
四、解答题
17．如图，在三棱锥中，E，F分别是AB，AP的中点.
(1)求证：平面；
(2)若三棱锥的各棱长均为2，求它的表面积.
【答案】(1)证明过程见解析；
(2)
（1）
因为E，F分别是AB，AP的中点，
所以EF是三角形ABP的中位线，
所以EF//PB，
因为平面，平面，
所以平面.
（2）
若三棱锥的各棱长均为2，
则该三棱锥为正四面体，四个面是全等的等边三角形，
故它的表面积为
18．如图，四棱锥P-ABCD的底面是菱形，且PA面ABCD，E，F分别是棱PB，PC的中点.
求证：（1）EF平面PAD；
（2）面PBD面PAC.
【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解.
【详解】（1）由E，F分别是棱PB，PC的中点.
则且，
又底面ABCD是菱形，，，
又平面PAD，平面PAD，
EF平面PAD.
（2）由PA面ABCD，是平面ABCD的对角线，
，
四棱锥P-ABCD的底面是菱形，
，
，且平面PAC，
平面PAC，
又因为平面PBD，
所以面PBD面PAC
19．如图，三棱柱中，底面ABC，，且．
(1)求直线与平面ABC所成角的大小；
(2)求证：平面．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(1)解：因为底面，底面，所以，所以为在底面的射影，所以为直线与平面所成角，又，所以，即直线与平面所成角为；
(2)证明：因为底面，底面，所以，又，且，平面，所以平面；
20．如图，旗杆AB高8m，它的顶端A挂着两条长10m的绳子，拉紧绳子，使绳子的末端分别与地面接触，记接触点为C，D（和旗杆脚B不在同一条直线上）.
(1)如果C，D两点和旗杆脚B的距离都是6m，就证明旗杆和地面垂直，请写出证明过程；
(2)如果E为绳子AC的中点，在旗杆AB上是否存在一点F，使EF和地面平行？如果存在，请确定点F的位置，并写出证明过程；如果不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析；
(2)存在，F为AB中点，证明见解析.
(1)在中，已知AB=8m，BC=BD=6m，AC=AD=10m.
，
，
即AB，AB，
又三点不共线，
且，面，
AB面，即旗杆和地面垂直
(2)存在，F为AB中点，证明如下：
为中点，为中点.
又面，面
面，
故可以找到一点F，即F为AB中点.，使EF和地面平行
21．如图所示，斜三棱柱中，点为上的中点．
（1）求证：平面；
（2）设三棱锥的体积为，三棱柱的体积为，求．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【详解】（1）证明：连接A1B交AB1于点O，连接OD1，
则在平形四边形ABB1A1中，点O为A1B的中点，
又点D1为A1C1的中点，
所以OD1∥BC1，
又OD1⊂平面AB1D1，B1C⊄平面AB1D1，
所以BC1∥平面AB1D1．
（2）V1＝＝＝＝V2
所以＝．
22．如图，在四棱锥中，底面为菱形，是棱的中点.
（1）求证：平面；
（2）若平面，，，求点B到平面的距离．
【答案】（1）证明见详解；（2）.
【详解】（1）连接交于点，因为底面为菱形，所以为中点；
连接，因为M是棱的中点，
所以，
因为平面，平面，
所以平面；
（2）因为平面，所以，，
因为，，所以，，，
则，，
所以，则，
设点B到平面的距离为，
由可得，
则，
即点B到平面的距离为．
第七章 立体几何初步
7.1基本例题图形+7.2立体图形的直观图
7.3简单几何体的表面积和体积
7.4空间点、直线、平面的位置关系
7.5空间直线、平面的平行
7.6空间直线、平面的垂直
7.7立体几何初步实战
7.1基本例题图形+7.2立体图形的直观图
知识回顾
1、空间几何体的结构特征
（1）棱柱的定义
定义：一般地，有两个面互相平行 ，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行 ，由这些面所围成的多面体叫做棱柱
底面(底)：两个互相平行的面
侧面：其余各面
侧棱：相邻侧面的公共边
顶点：侧面与底面的公共顶点
（2）棱锥的定义
定义：有一面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥
底面：多边形面
侧面：有公共顶点的各三角形面
侧棱：相邻侧面的公共边
顶点：各侧面的公共顶点
（3）棱台的定义
定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，我们把底面和截面之间的那部分多面体叫做棱台
上底面：原棱锥的截面
下底面：原棱锥的底面
侧面：除上下底面以外的面
侧棱：相邻侧面的公共边
顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点
（4）圆柱的定义
以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体
圆柱的轴：旋转轴
圆柱的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面
圆柱的侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面
圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边
（5）圆锥的定义
以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体
轴：旋转轴叫做圆锥的轴
底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面
侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面
母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边
锥体：棱锥和圆锥统称为锥体
（6）圆台的定义
用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台
轴：圆锥的轴
底面：圆锥的底面和截面
侧面：圆锥的侧面在底面与截面之间的部分
母线：圆锥的母线在底面与截面之间的部分
台体：棱台和圆台统称为台体
（7）球
球的表面积和体积
（1）球的表面积：
（2）球的体积:
2、直观图
（1）空间几何体的直观图的绘制方法
（1）画轴. 在平面图形中取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点, 画直观图时，把它们分别画成对应的轴与轴，两轴交于点, 且使”(或）, 它们确定的平面表示水平面；
（2）画底面. 已知图形中，平行于轴轴或轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴、轴或轴的线段；
（3）画侧棱. 已知图形中平行于轴或轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于轴的线段，长度变为原来的一半；
（4）成图. 连线成图以后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图.
简记为：①画轴；②画底面；③画侧棱；④成图.
（2）斜二测画法保留了原图形中的三个性质
①平行性不变，即在原图中平行的线在直观图中仍然平行；②共点性不变，即在原图中相交的直线仍然相交；③平行于x，z轴的长度不变．
高频考点
1．（2022·全国·高三专题练习）以下四个命题中，真命题为（ ）
A．侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥
B．底面是矩形的平行六面体是长方体
C．直四棱柱是直平行六面体
D．棱台的侧棱延长后必交于一点
【答案】D
【详解】A中， 如图，若，且，则该三棱锥不是正三棱锥，A是假命题；
B中，平行六面体中侧棱与底面矩形不一定垂直，B是假命题；
C中，直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故直四棱柱不一定是直平行六面体，C是假命题；
D中，根据棱台的定义，D是真命题.
故选：D
2．（2022·安徽·合肥一中高一开学考试）如图是某几何体的展开图，该几何体是（ ）
A．长方体 B．圆柱 C．圆锥 D．三棱柱
【答案】B
【详解】解：将展开图还原后，可得到一个圆柱，
故选：B.
3．（2022·广东·北京师范大学珠海分校附属外国语学校高一阶段练习）铜钱又称方孔钱，是古代钱币最常见的一种．如图所示为清朝时的一枚“嘉庆通宝”，由一个圆和一个正方形组成，若绕旋转轴（虚线）旋转一周，形成的几何体是（ ）
A．一个球
B．一个球挖去一个圆柱
C．一个圆柱
D．一个球挖去一个正方体
【答案】B
【详解】半圆及其内部旋转一周后所得几何体为球，
而矩形及其内部绕一边旋转后所得几何体为圆柱，
故题设中的平面图形绕旋转轴（虚线）旋转一周，形成的几何体为一个球挖去一个圆柱，
故选：B.
4．（2022·福建省福州格致中学高一期末）如图，是用斜二测画法画出的直观图，则是（ ）
A．锐角 B．直角 C．钝角 D．无法判断
【答案】C
【详解】解：根据斜二测画法的规则，将直观图还原为平面图如图所示，
所以，是钝角.
故选：C
5．（2022·辽宁营口·高二开学考试）如图，水平放置的的斜二测直观图是图中的，若，，则的面积为（ ）
A． B． C．8 D．
【答案】B
【详解】在中，由，
得，
所以，则，
由斜二测直观图可推出中，，，
故的面积为.
故选：B
6．（2022·全国·高一课时练习）已知圆锥的轴截面是边长为2cm的正三角形，圆锥的底面面积为______.
【答案】
【详解】由圆锥的轴截面为等边三角形且边长为2cm,故底面圆直径为2cm，因此底面半径为1cm，故面积为.
故答案为：
7．（2022·全国·高一课时练习）如图，一个矩形边长为1和2，绕它的长为2的边旋转一周后所得如图的一开口容器（下表面密封），是中点，现有一只蚂蚁位于外壁处，内壁处有一米粒，若这只蚂蚁要先爬到上口边沿再爬到点处取得米粒，则它所需经过的最短路程为______．
【答案】##
【详解】该几何体为圆柱，侧面展开图为矩形，其中，，将问题转化为在上找一点，使最短．
作关于的对称点，连接，
令与交于点，则得的最小值就是，其中BE=2+1=3，
所以．
故答案为：
8．（2022·四川·仁寿一中高二开学考试）已知△ABC的平面直观图是边长为的正三角形，那么原△ABC的面积为
【答案】##
【详解】直观图如下图所示，是边长为的正三角形，是的中点，
，过作，交轴于，
由于，所以是等腰直角三角形，
所以.
原图如下图所示，则三角形的高等于，
所以三角形的面积为.
故答案为：
9．（2022·吉林·长春外国语学校高一期末）若水平放置的四边形按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中，则原四边形的面积为____________
【答案】
【详解】在直观图中，四边形为直角梯形，，而，则，
由斜二测画法得原四边形是直角梯形，，，，如图：
所以四边形的面积为.
故答案为：
10．（2022·全国·高一课时练习）如图，O为球心，为小圆的圆心，大圆O与小圆平行，已知球的半径r为5，，求小圆的半径．
【答案】3
【详解】易知垂直大圆，
记小圆圆周上任意一点为A，且大圆O与小圆平行，
所以为直角三角形．
则，
即小圆的半径．
7.3简单几何体的表面积和体积
知识回顾
1、柱、锥、台、球的表面积和体积
几何体
表面积
体积
柱体（棱柱，圆柱）
椎体（棱锥，圆锥）
台体（棱台，圆台）
球
2、圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
几何体
圆柱
圆锥
圆台
图示
侧面积公式
高频考点
1．（2022·天津河东·高二学业考试）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，如果AB=3，AC=1，AA1=2，那么直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为（ ）
A．2 B．3
C．4 D．6
【答案】B
【详解】在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，
∵AB⊥AC，AB＝3，AC＝1，
，
又AA1⊥平面ABC，且AA1＝2，
．
故选：B．
2．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高二学业考试）已知一个棱长为的正方体的顶点都在球面上，则该球体的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】若棱长为的正方体的顶点都在同一个球面上，
则球的直径等于正方体的体对角线长，即，（其中是该球的半径），
所以，则球的体积．
故选：B．
3．（2022·甘肃·天水市第一中学高二学业考试）已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形，且面积为4，则圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题设，圆锥的体高、底面半径均为，
所以圆锥的体积为.
故选：D
4．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）法国罗浮宫玻璃金字塔外表呈正四棱锥形状（如图所示），已知塔高，底宽，则塔身的表面积（精确到是 （可能用到的参考数据：，
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】如图，正四棱锥，底面，，，
则，所以，
作，则
所以该塔身的表面积
故选：．
5．（2022·湖南·怀化市辰溪博雅实验学校高二学业考试）半径为的球的表面积为___________.
【答案】
【详解】解：球的半径为，所以球的表面积为.
故答案为：.
6．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）在棱长为的正四面体中，在线段上，满足,在线段上，满足，则四面体的体积为_________________.
【答案】
【详解】将正四面体放置在正方体中，如图所示，
正四面体的棱长为，所以正方体的边长为，
正方体的体积为，
所以正四面体的体积为.
由于、，
所以.
故答案为：
故答案为：
7．（2022·天津红桥·高二学业考试）若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______.
【答案】.
【详解】解：因为正方体的顶点都在同一球面上，
所以球的直径为正方体的对角线，
所以，
所以，
故球的表面积：.
故答案为：.
8．（2022·湖北·高二学业考试）在三棱锥中，侧棱、、两两垂直，，，，则该三棱锥的外接球的表面积为_________．
【答案】
【详解】将三棱锥补全为长方体，
则长方体的外接球就是所求的外接球，设球半径为R，
则，
所以球的表面积为．
故选答案为：．
9．（2022·浙江·慈溪市三山高级中学高二学业考试）宁波老外滩天主教堂位于宁波市新江桥北堍， 建于清同治十一年（公元 1872 年）. 光绪二十五 （1899年） 增建钟楼， 整座建筑由教堂、钟楼、偏屋组成， 造型具有典型罗马哥特式风格. 其顶端部分可以近似看成由一个正四棱锥和一个正方体组成的几何体， 且正四棱锥的侧棱长为， 其底面边长与正方体的棱长均为， 则顶端部分的体积为__________.
【答案】
【详解】解：依题意可得如下直观图，，，设与的交点为，则为正四棱锥的高，
所以，，
所以，，
所以
故答案为：
10．（2022·贵州·高二学业考试）已知长方体的三条棱长分别为1，，，则该长方体外接球的表面积为___．（结果用含的式子表示）
【答案】
【详解】由题意得，长方体的体对角线即为外接球直径，设外接球半径为，则，则外接球的表面积为.
故答案为：.
11．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）半正多面体亦称为“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，如图所示．这是一个将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”花岗岩石凳，已知此石凳的棱长为，则此石凳的体积是________．
【答案】
【详解】解：由图可知：该石凳是由棱长为cm的正方体沿各棱中点截去个三棱锥所得到的，
该石凳的体积为：.
故答案为：.
12．（2022·重庆·高一学业考试）已知一圆锥的侧面展开图是半径为的半圆，则该圆锥的体积是_______．
【答案】
【详解】设该圆锥底面圆的半径为，高为，母线长为，则，，解得：，
，该圆锥的体积是．
故答案为：.
13．（2022·浙江·太湖高级中学高二学业考试）一个球被平面截下的部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截后的线段叫做球缺的高球缺的体积公式为，其中为球的半径，为球缺的高.北京冬奥会的吉祥物“冰墩墩”如图深受广大市民的喜爱，它寓意着创造非凡、探索未来，体现了追求卓越、引领时代，以及面向未来的无限可能它的外形可近似抽象成一个球缺与一个圆台构成的组合体如图已知该圆台的底面半径分别和，高为，球缺所在球的半径为，则该组合体的体积为_____.
附：圆台体积公式，其中分别表示圆台上下底面面积，为圆台高.
【答案】
【详解】解：如图作出几何体的轴截面如下所示：
依题意可得，，，，
所以，则，
所以，
，
所以几何体的体积；
故答案为：
14．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P—ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝2，AC＝4，三棱锥P—ABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为______．
【答案】
【详解】将三棱锥P—ABC放入一个长方体中，如图所示：
则三棱锥P—ABC的外接球即为该长方体的外接球，因为PA＝AB＝2，AC＝4，故，设外接球的半径为，则，
故外接球的表面积为.
故答案为：.
7.4空间点、直线、平面的位置关系
知识回顾
1、与平面有关的三个基本事实
（1）基本事实1：过不在一条直线上的三个点,有且只有一个平面
数学语言：,,三点不共线有且只有一个平面,使,,.
（2）基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内
数学语言：,,且,
（3）基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线
数学语言：,且 ,且
2、基本事实1的三个推论
推论1:经过一条直线与这条直线外一点,有且只有一个平面;
推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面;
推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面.
3、空间点、直线、平面之间的位置关系
直线与直线
直线与平面
平面与平面
平行关系
图形语言
符号语言
相交关系
图形语言
图形语言
独有关系
图形语言
图形语言
与是异面直线
高频考点
1．（2022·湖南·怀化市辰溪博雅实验学校高二学业考试）是空间中两条不同的直线，“是异面直线”是“没有公共点”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】解：若是空间中两条不同的直线，且是异面直线，则没有公共点；
若是空间中两条不同的直线，且没有公共点，则是异面直线或，
故“是异面直线”是“没有公共点”的充分不必要条件.
故选：A.
2．（2022·浙江·慈溪市三山高级中学高二学业考试）如图， 在正方体中， 直线与平面的位置关系为（ ）
A．直线在平面内 B．直线与平面相交但不垂直
C．直线与平面相交且垂直 D．直线与平面平行
【答案】B
【详解】由正方体的性质知：面即为面，而直线与面交于，但不垂直.
故选：B
3．（2022·广西·高二学业考试）如图，正方体中，分别是的中点，则下列结论正解的是（ ）
A． B． C．与相交 D．与相交
【答案】B
【详解】由分别是的中点可得，又易得，则.
故选：B.
4．（2022·北京·高三学业考试）设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中的真命题为（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B
【详解】在正方体中，记底面ABCD为，EF为m，EH为n，显然A不正确；记底面ABCD为，EF为m，平面CDHG为，故排除C；记底面ABCD为，EF为m，平面ABFE为，可排除D；由线面垂直的性质可知B正确.
故选：B
5．（2022·浙江·高二学业考试）已知，，是三个不同的平面，，.则下列命题成立的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B
【详解】对A，平面和可以相交，
对B，根据定理，一个平面和另外两个平行平面相交，则交线平行，故B正确；
对C，平面内的一条直线和令一个平面内的一条直线垂直，
不能证明线面垂直，即不能证明面面垂直，故C错误，
对D，若两个面垂直，第三个平面和该两个面相交，交线并不一定垂直，故D错误.
故选：B
6．（2022·天津南开·高二学业考试）如图，在正方体中，E为线段的中点，则异面直线DE与所成角的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：连接，则，故为异面直线DE与所成角的平面角或其补角，连接，则，因为E为的中点，故DE，在中，
因为，而，所以在中，，故，
故选：C．
7．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）设，，为不重合的平面，，为不重合的直线，则其中正确命题的序号为（ ）
①，，则； ②，，，则；
③，，，则；④，，，则．
A．①③ B．②③ C．②④ D．③④
【答案】D
【详解】①中，，可以相交并垂直于，①错误；
②中，或或、相交（不一定垂直），②错误；
③中，如图，将直线、平移交于点，
设过直线、的平面为，设，
因为，，所以，
因为，、，所以∥，因为，所以，
因为，所以，故③正确；
④中，如图，设，
在平面内任取一点，分别过作，垂足分别为，
因为，，所以，
因为，所以，所以，
因为，所以，故④正确，
故选：D.
8．（2022·贵州·高二学业考试）如图，在正方体中，直线与的位置关系是（ ）
A．相交 B．平行 C．异面不垂直 D．异面垂直
【答案】B
【详解】在正方体中，且，
所以四边形为平行四边形，
所以.
故选：B
9．（2022·湖南娄底·高二学业考试）如图，在直三棱柱中，若，，，则异面直线与所成的角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
如图，连接，则，由题知，，，∵∥，所以及为所求角或其补角，
所以.
故选：D.
10．（2022·浙江·高三学业考试）在长方体中，底面是边长为1的正方形，异面直线与所成角的大小为，则该长方体的表面积与体积的比值是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】设，连结，则，，
，异面直线与所成角是，
，解得：，
所以长方体的表面积，体积,
所以该长方体的表面积与体积的比值.
故选：D
11．（2022·全国·高一课时练习）下图中的两个相交平面，其中画法正确的是______．
【答案】④
【详解】解：对于①，因被挡住的部分应画虚线，需要画出两相交平面的交线，故①错误；
对于②，因被挡住的部分应画虚线，故②错误；
对于③，因被挡住的部分应画虚线，不被挡住的画出实线，且两平面的交线需从平面的上边界画到平面的下边界，故③错误；
对于④，因被挡住的部分应画虚线，不被挡住的画出实线，且两平面的交线需从平面的上边界画到平面的下边界，故④正确.
故答案为：④.
12．（2022·福建·福州金山中学高一期末）如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，与所成角的大小为___________.
【答案】##
【详解】如图,把正方体的平面展开图还原成正方体，
，，,
在这个正方体中,与所成角的大小为.
故答案为：.
13．（2022·全国·高一课时练习）已知，，，是相应长方体或空间四边形的边或对角线的中点，则这四点必定共面的是______．（写序号）
【答案】①③④
【详解】①中，，，，，四点共面；
②中，和是异面直线，故四点不共面；
③中，，，，，四点共面；
④中，，，，，四点共面；
故答案为：①③④
14．（2022·全国·高一专题练习）如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，H分别为棱C1D1，C1C，DD1的中点，有以下四个结论：
①直线AM与CC1是相交直线；
②直线AM与BN是平行直线；
③直线BN与MB1是异面直线；
④∠DAH＝∠CBN.
其中正确的结论为________(注：把你认为正确的结论的序号都填上).
【答案】③④
【详解】∵A，M，C，C1四点不共面，
∴直线AM与CC1是异面直线，故①错误；
同理，直线AM与BN也是异面直线，故②错误；
又因为N，M，B，B1四点不共面，
所以直线BN与MB1是异面直线，故③正确；
易得和全等，故∠DAH＝∠CBN，故④正确.
故答案为：③④
7.5空间直线、平面的平行
知识回顾
1、直线与平面平行
（1）直线与平面平行的定义
直线与平面没有公共点，则称直线与平面平行.
（2）直线与平面平行的判定定理
如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行
符号表述：
（3）直线与平面平行的性质定理
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行
符号表述：，，
2、平面与平面平行
（1）平面与平面平行的定义
两个平面没有公共点
（2）平面与平面平行的判定定理
如果一个平面内的有两条相交直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.
符号表述：
（3）平面与平面平行的性质定理
性质定理
两个平行平面，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行.
符号语言
性质
两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行与另一平面
符号语言：
高频考点
1．（2022·浙江·高三学业考试）、、是直线，是平面，则下列说法正确的是（ ）
A．平行于内的无数条直线，则
B．不在面，则
C．若，，则
D．若，，则平行于内的无数条直线
【答案】D
【详解】对于A，当平行于内的无数条直线，若，则与不平行，所以A错误，
对于B，当不在面时，与有可能相交，所以B错误，
对于C，当，时，若，则与不平行，所以C错误，
对于D，当，时，由线面平行的性质可知平行于内的无数条直线，所以D正确，
故选：D
2．（2022·宁夏·平罗中学高二阶段练习（理））已知a，b，c为三条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面．
①a//c，b//c⇒a//b；②a//β，b//β⇒a//b；
③a//c，c//α⇒a//α；④a//β，a//α⇒α//β；
⑤a⊄α，b⊂α，a//b⇒a//α.
其中正确的命题是（ ）
A．①⑤ B．①② C．②④ D．③⑤
【答案】A
【详解】对于①，由平行的传递性公理，则正确；
对于②，由，，则共面或异面，故错误；
对于③，由，，则或，故错误；
对于④，由，，则平行或相交，故错误；
对于⑤，由，，，根据线面平行判定定理，可得，故正确.
故选：A.
3．（2022·全国·高一课时练习）在三棱锥中，点E，F分别在上．若，则直线与平面的位置关系为（ ）
A．平行 B．相交 C．平面 D．不能确定
【答案】A
【详解】因为，所以．
又平面平面，所以平面．
故选：A
4．（2022·全国·高一课时练习）若直线平面，，且直线与点位于的两侧，，，，分别交平面于点，，若，，，则的长为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】B
【详解】∵，平面，平面，
∴，∴，即，∴.
故选：B.
5．（2022·广西南宁·高一期末）在空间中，直线∥面，直线平面，则（ ）
A．m与n平行 B．m与n平行或相交 C．m与n异面或相交 D．m与n平行或异面
【答案】D
【详解】直线∥面，直线平面，可知，m与n平行或异面．
故选：D
6．（2022·湖南·高二阶段练习）已知三条不同的直线l，m，n，且，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】解：若，又，则，故充分性成立，
反之，若，又，则，故必要性成立.
故“”是“”的充要条件.
故选：C.
7．（2022·北京市第十二中学高一阶段练习）设有直线和平面，下列命题中正确的命题是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】A
【详解】A选项，由面面平行的定义可知直线m和平面无公共点，即，A正确；
B选项，缺少m、n相交，B错误；
C选项，在正方体中，平面ABCD，平面ABCD，但，C错误；
D选项，直线n可能在平面，D错误.
故选：A
8．（2022·吉林省实验中学高一期中）设，，为不同的直线，，，为不同的平面，则下列结论中正确的有（ ）
①若，，则；②若，，则；
③若，，，则；④若，，则．
A．①③ B．②④ C．②③ D．②
【答案】A
【详解】由平行的传递性知①正确；若，，可能平行，也可能相交或异面，②错误；
由线面平行的性质知③正确；若，，则或，④错误.
故选：A.
9．（2022·山东·广饶一中高二阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，是上一点，当点满足条件：________时，平面.
【答案】答案表述不唯一)
【详解】连接交于O，连接OE，
平面平面，平面平面 ，
.
又 底面为平行四边形，为对角线与的交点，
故为的中点, 为的中点，
故当满足条件: 时，面.
故答案为: 答案表述不唯一)
10．（2022·全国·高一课时练习）在长方体所有的棱所在的直线中，与平面平行的直线有______．
【答案】AB、、、
【详解】由题意，作图如下：
则与平面平行的直线有AB、、、，
故答案为：AB、、、
11．（2022·全国·高一课时练习）如图，三条直线、、不共面，但交于一点，若，，，那么平面和平面的位置关系是______．
【答案】平行
【详解】由，，且,故，因此,故,平面,平面,故平面,同理可得平面,平面,故平面平面,
故答案为：平行
12．（2022·全国·高三专题练习）如图，在正方体中，分别是棱的中点.给出以下四个结论：
①直线与直线相交；②直线与直线平行；③直线与直线异面；④直线与直线异面.其中正确结论的序号为____(注：把你认为正确的结论序号都填上).
【答案】③④
【详解】平面，平面，且，根据异面直线的定义可得，直线与直线异面，故①错；类似的根据定义可说明直线与直线异面，直线与直线异面，直线与直线异面，故②错，③，④正确.
故答案为：③④
13．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高二学业考试）如图，在直三棱柱中，分别为侧棱的中点，试判断与平面的位置关系，并说明理由.
【答案】平行，理由见解析
【详解】解：平面，
证明如下：在直三棱柱中，分别为侧棱的中点，
，
四边形为平行四边形，
，
又平面，平面，
平面.
14．（2022·甘肃·天水市第一中学高二学业考试）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝1，E，F分别是PB，AC的中点．
(1)证明：平面；
(2)求三棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
（1）证明： 四边形是正方形，是的中点，
，，三点共线，且是的中点，
又是的中点，
，
又平面，平面，
平面．
（2）解：平面，是的中点，
到平面的距离为，
四边形是正方形，，，
三棱锥的体积为：．
15．（2022·福建·上杭一中高二学业考试）如图，在正方体中，，点P为的中点.
（1）证明：直线平面；
（2）求异面直线与AP所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【详解】（1）如图，连接BD，设AC和BD交于点O，则O为BD的中点，
连接PO，因为P是的中点，所以，
又因为平面PAC，平面PAC，所以直线平面PAC.
（2）由（1）知：，所以异面直线与所成角即为PO与所成角，
即为与所成角，
因为，，且，
在直角中，所以，
所以与AP所成角的正弦值为.
16．（2022·湖南娄底·高二学业考试）如图，O是圆锥底面圆的圆心，圆锥的轴截面为等腰直角三角形，C为底面圆周上一点.
（1）若弧BC的中点为D，求证：平面；
（2）如果的面积是9，求此圆锥的表面积.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【详解】（1） ∵是底面圆的直径，
∴
∵弧的中点为，
∴
又，共面，
∴
又平面，平面，
∴平面
（2）设圆锥底面半径为，高为，母线长为，
∵圆锥的轴截面为等腰直角三角形，
∴，
由，得
∴圆锥的表面积
7.6空间直线、平面的垂直
知识回顾
1、直线与平面垂直
（1）直线和平面垂直的定义
如果一条直线与平面内的任意一条直线都垂直，那么直线垂直于平面，记为．直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面，垂线与平面的交点P叫垂足.
符号语言：对于任意，都有.
（2）直线和平面垂直的判定定理
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直.
简记：线线垂直线面垂直
符号语言：，，，，
（3）直线和平面垂直的性质定理
定义转化性质：如果一条直线与平面垂直，那么直线垂直于平面内所有直线.
符合语言：，.
性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.
符合语言：，
2、平面与平面垂直
2.1、平面与平面垂直的定义
（1）定义:一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.
（2）符号语言:
（3）图形语言
2.2、平面与平面垂直的判定
（1）定理：如果一个平面过另一个平面的的垂线，那么这两个平面垂直.(线面垂直，则面面垂直)
（2）符号（图形）语言:，
2.3、平面与平面垂直的性质定理
（1）定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．
(2)符号（图形）语言：，， .
高频考点
1．（2022·甘肃·天水市第一中学高二学业考试）如图，在正方体中，、、、分别为、、、的中点，则异面直线与所成的角等于（ ）
A．45° B．60° C．90° D．120°
【答案】B
【详解】如图，连接，
由题意，，所以异面直线与所成的角是或其补角，
由正方体性质知是等边三角形，，
所以异面直线与所成的角是．
故选：B．
2．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）已知是空间中两条不同的直线，是空间中两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B
【详解】对于A，若，的位置关系无法确定，A错误；
对于B，由面面平行的性质知，若，则，B正确；
对于C，若，则或，C错误；
对于D，若，则的关系无法确定，D错误.
故选：B.
3．（2022·浙江·杭州市余杭高级中学高二学业考试）如图，棱长为2的正方体中，在线段（含端点）上运动，则下列判断正确的是（ ）
A．与不垂直
B．三棱锥的体积始终为
C．面
D．与所成角的范围是
【答案】C
【详解】对于选项，因为平面，平面，
所以，而，平面，
所以平面，而平面，所以，
同理，而平面，
从而平面，而平面，所以，因此本选项说法不正确；
对于选项，因为，平面，平面，
所以面,所以本选项说法不正确；
对于选项，由上可知：面，
因为，平面，平面，
所以面，而平面，
所以平面平面，而平面，
所以面，因此本选项说法正确；
对于选项，当与重合时，与所成角为0，当与重合时，
国为，，
所以与所成角为，所以错误．
故选：C．
4．（2022·湖南娄底·高二学业考试）正方体中与垂直的平面是（ ）
A．平面 B．平面 C．平面 D．平面
【答案】D
【详解】正方体中，
在A中，与平面相交但不垂直，故A错误；
在B中，与平面相交但不垂直，故B错误；
在C中，与平面相交但不垂直，故C错误；
在D中，，，，
平面，故D正确.
故选D.
5．（2022·浙江·高三学业考试）如图，正方体中，N是棱的中点，则直线CN与平面所成角的正弦值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】连接、交于,由正方形的性质可得，
又平面，
平面，，
又与在平面内相交，
所以平面
是与平面所成的角，
设正方体的棱长为2，则，，
，
故选：B.
6．（2022·江西·景德镇一中高一期末）若一条直线与平面垂直，下列平面中的两条直线与垂直，可以保证直线与平面垂直的是（ ）
①四边形的两边 ②正六边形的两边 ③圆的两条直径 ④三角形的两边
A．①② B．①③ C．②③ D．③④
【答案】D
【详解】解：对于①，四边形中的两条边可能平行，如平行四边形的对边，此时不能保证线面垂直；
对于②，若直线垂直正六边形的两条平行的边，此时不能保证线面垂直；
对于③，圆的两条直径交于圆心，故能保证线面垂直；
对于④，三角形的任意两边一定相交，故能保证线面垂直.
所以可以保证直线与平面垂直的是③④.
故选：D.
7．（2022·山东临沂·高一期末）已知，表示两条不同的直线，，表示两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则m⊥n D．若，，则
【答案】C
【详解】若，不妨设在内的投影为，则，
对于选项A：若，，则，结合线面垂直判定定理可知，不一定垂直，故A错误；
对于选项B：若，，此时与可能相交、平行或在上，故B错误；
对于选项C：若，，则，从而，故C正确；
对于选项D：若，，则，结合面面垂直判定定理可知，，故D错误.
故选：C.
8．（2022·福建·福州三中高一期末）如图，为正方体，下列错误的是（ ）
A．平面 B．
C．平面平面 D．异面直线与所成的角为60°
【答案】D
【详解】解：在正方体中，，平面，平面，所以平面，故A正确；
由，平面，平面，所以，
又，平面，所以平面，
又平面，所以，故异面直线与所成的角为，即B正确，D错误；
又由，平面，平面，所以，
又，平面，所以平面，
又平面，所以平面平面，故C正确；
故选：D
9（多选）（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）(多选题)如图，在棱长为1的正方体中，P为棱CC1上的动点(点P不与点C，C1重合)，过点P作平面分别与棱BC，CD交于M，N两点，若CP＝CM＝CN，则下列说法正确的是（ ）
A．A1C⊥平面
B．存在点P，使得AC1∥平面
C．存在点P，使得点A1到平面的距离为
D．用过点P，M，D1的平面去截正方体，得到的截面一定是梯形
【答案】ACD
【详解】
连接
因为，所以＝，所以
又平面，平面，所以平面
同理可证，平面
又，、平面，所以平面平面
易证⊥平面，所以⊥平面，A正确
又平面，所以与平面相交，不存在点P，使得∥平面，B不正确.
因为，点到平面的距离为
所以点A1到平面的距离的取值范围为
又，所以存在点P，使得点A1到平面的距离为，C正确.
因为，所以，所以用过点P，M，D1的平面去截正方体得到的截面是四边形
又，且，所以截面为梯形，D正确
故选：ACD
10．（多选）（2022·浙江·太湖高级中学高二学业考试）如图，已知正方体中，分别是的中点，则下列判断正确的是（ ）
A． B．平面
C．平面 D．
【答案】ABC
【详解】解：连接，在正方体中为的中点，
所以为的中点，又为的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面，故C正确；
因为，与不平行，故D错误；
又，平面，平面，所以，
，平面，平面，
所以平面，，故A、B正确；
故选：ABC
11．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）正四棱锥中，8条棱长均相等，且，则此正四棱锥的体积为_______．
【答案】
【详解】因为该几何体为正四棱锥，8条棱长均相等,
所以四边形为正方形，，
连接交于点,连接，
因为,为中点，则，同理，,，平面，
所以平面，
所以，故正四棱锥体积.
故答案为：.
12．（2022·广西·高二学业考试）如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，，则这个三棱锥的四个面中，是直角三角形的个数有_____个.
【答案】
【详解】由于平面，所以，
所以三角形和三角形是直角三角形.
由于，所以，三角形是直角三角形.
由于，所以平面，
所以，所以三角形是直角三角形.
所以三棱锥四个面中，是直角三角形的个数有个.
故答案为：
13．（2022·四川·高三学业考试）如图，在底面是矩形的四棱锥中，底面，，分别是，的中点.
(1)若，求四棱锥的体积；
(2)求证：平面.
【答案】(1)
(2)证明详见解析
(1)解：∵在底面是矩形的四棱锥中，底面，，
∴；
(2)证明：∵四边形为矩形，
∴，
∵底面，面，
∴，
又，∴面，
又，分别是，的中点，
∴，
∴平面.
14．（2022·甘肃·天水市第一中学高二学业考试）直三棱柱中，，.
(1)求证：平面.
(2)若与平面所成角为，求三棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
（1）三棱柱为直三棱柱，平面，
又∵平面，，
又∵，即，
又∵，平面，
平面.
（2）
三棱柱为直三棱柱，平面，
即为与平面所成角，；
，，，
，
.
15．（2022·天津河东·高二学业考试）如图，在正方体中，E为的中点.
(1)求证：平面；
(2)求证：平面.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
（1）
证明：根据题意，四边形是正方形，则，
又由平面，平面，则，
因为，平面，
所以平面；
（2）
证明：设，连接，因为是正方形，所以为的中点，
又因为为的中点，则为的中位线，
所以，
又平面，平面，
所以平面.
16．（2022·湖南·怀化市辰溪博雅实验学校高二学业考试）在直三棱柱中，，为中点.
(1)求证：平面；
(2)若，求四棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
(1)
，为中点，
,
在直三棱锥中，平面, 平面.
，又,
平面
(2)
，为中点，
，
由（1）知，四棱锥的高即为，
又，所以，
.
17．（2022·福建·高二学业考试）如图，在三棱锥中，平面平面
(1)求证：PA；
(2)若，求三棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(1)
证明：因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又平面，
所以PA；
(2)
解：由（1）知平面，所以，
又，所以，
因为，所以，
所以，
所以，
所以三棱锥的体积.
18．（2022·广西·高二学业考试）如图，AB是底面的直径，C为上异于A、B的点，PC垂直于所在平面，D、E分别为PA、PC的中点.
(1)求证：DE∥平面ABC.
(2)求证：平面BDE⊥平面PBC.
【答案】(1)证明详见解析
(2)证明详见解析
（1）
由于分别是的中点，所以，
由于平面平面，
所以平面.
（2）
依题意平面，所以.
由于是圆的直径，所以,
由于，所以平面，
由于，所以平面，
由于平面，所以平面平面.
19．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高二学业考试）如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面.
(1)求证：平面；
(2)求证：平面.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(1)
由底面是正方形，
又平面，平面，平面
(2)
平面，平面，
又底面是正方形，
又，平面，平面
20．（2022·重庆·高一学业考试）如图，在中，，是边为的正方形，平面平面，、分别是、的中点.
(1)求证：平面：
(2)求点到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
（1）
证明：分别取、的中点、，连接、、，如下图所示：
因为四边形为正方形，则且，
、分别为、的中点，则且，
同理可得且，所以，且，
故四边形为平行四边形，所以，，
平面，平面，平面.
（2）
解：过点在平面内作，垂足为点，
因为，，则，，
因为四边形是边长为的正方形，则，
因为平面平面，平面平面，平面，
平面，
平面，，
，、平面，平面，
平面，，
，，、平面，平面，
因为平面，平面，，则，
由等面积法可得.
因此，点到平面的距离为.
21．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）如图在四棱锥中，底面是边长的正方形，侧面底面，且，设，分别为，的中点.
(1)求证：平面；
(2)求与平面所成角的大小.
【答案】(1)证明见解析
(2)
（1）
连接，因为四边形为正方形，且为的中点，所以为的中点，
又因为为的中点，则，
平面，平面，平面.
（2）
因为四边形为正方形，则，
因为平面平面，平面平面，平面，
平面，
平面，，
又，所以，即.
又，平面，所以平面，
所以即为与平面所成的角，
设，则，，在中，
所以，因为，
所以，
即与平面所成的角为.
22．（2022·贵州·高二学业考试）如图，直三棱柱中，，M为棱上一点．
(1)求三棱锥的体积；
(2)求证：．
【答案】(1)；
(2)证明见解析
（1）由直三棱柱可得平面，又，可得，则；
（2）由题意得，平面，平面，则，又，，平面，则平面，又平面，则.
23．（2022·天津红桥·高二学业考试）如图，正方体中，、分别是、的中点.
(1)求证：平面；
(2)求证：平面.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(1)
因为且，则四边形为平行四边形，故,
因为、分别是、的中点.，
所以，
所以,
又平面，
平面，
则平面；
(2)
正方体中，因为底面，
且平面，
所以，
又，
且，平面
则平面.
24．（2022·湖北·高二学业考试）在四棱锥中，底面为矩形，，平面平面，点为中点．
(1)证明：；
(2)若，四棱锥的体积为，求直线与平面所成角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(1)
证明：取的中点，连接、，
因为，所以，
在矩形中，点为中点，
所以，所以，
又，平面，
所以平面，平面，所以；
(2)
解：令，则，
所以，，
因为，平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
所以，解得，所以
连接，因为平面，
所以即为直线与平面所成角，
又，所以，
在中，，即直线与平面所成角的余弦值为；
7.7立体几何初步实战
一、单选题
1．如果一个长方体的长、宽、高分别是6，5，3，则它的体积为（ ）
A．15 B．18 C．30 D．90
【答案】D
【详解】因长方体的长、宽、高分别是6，5，3，所以该长方体的体积为.
故选：D
2．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线与平面DAA1D1的位置关系是（ ）
A．直线与平面平行
B．直线与平面垂直
C．直线与平面相交但不垂直
D．直线在平面
【答案】A
【详解】连接，由正方体的性质可得且，
所以为平行四边形，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面，
故选：A
3．已知在长方体中，在平面上任取一点，作于，则（ ）
A．平面 B．平面
C．平面 D．以上都有可能
【答案】A
【详解】
平面，，即平面，平面，
又平面平面，平面平面，
平面.
故选：A.
4．如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，下列结论正确的个数为（ ）
①平面PBC ②平面PCD ③平面PDA ④平面PBA
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【详解】对于①，平面，故①错误；
对于②，由于为的中点，为的中点，则， 平面，平面，则平面，故②正确；
对于③，由于，平面，平面，则平面，故③正确；
对于④，由于平面，故④错误．
故选：B
5．如图，正方体中，E为的中点，则下列直线中与平面AEC平行的是（ ）
A． B． C． D．EO
【答案】C
【详解】解：对于A，因为直线与平面AEC交于点，故不平行；
对于B，因为直线与平面AEC交于点，故不平行；
对于C，在正方体中，
因为E为的中点，为的中点，
所以，
又平面AEC，平面AEC，
所以平面AEC；
对于D，因为平面AEC，故不平行.
故选：C.
6．如图，在四面体D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．平面ABC⊥平面ABD
B．平面ABD⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE
D．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE
【答案】C
【详解】因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因为AC在平面ABC内，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.
故选：C
7．已知平面和直线，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【详解】解：对于A选项，若，则或相交，故A选项不正确；
对于B选项，若，则或相交，故B选项不正确；
对于C选项，若，则，为面面垂直的判定定理，故C选项正确；
对于D选项，若，则，故D选项不正确.
故选：C.
8．设是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若，，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】C
【详解】对于A选项，若，，则或异面，故A选项错误；
对于B选项，若，则或相交，故B选项错误；
对于C选项，由得，所以当时，，故C选项正确；
对于D选项，若且时，，故D选项错误；
故选：C
9．如图，正方体中，分别为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】取的中点，连接
由分别为的中点，则且
在正方体中且,所以且
所以四边形为平行四边形，所以
则（或其补角）为异面直线与所成角.
设正方体的棱长为2，则在中，,
所以
故选：A
10．已知四棱锥，平面，，，，，二面角的大小为.若四面体的四个顶点都在同一球面上，则该球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为，，所以，所以，
所以外接圆的圆心为的中点，记为，过作直线使得平面，
取中点，过作垂足为，则，
所以为四面体外接球的球心，
因为，所以平面，，
又，所以二面角的平面角为，所以，
因为，所以，所以，
所以，
又因为，
所以，
所以四面体外接球的体积为，
故选：A.
二、多选题
11．已知，是平面外的两条不同的直线，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
【答案】BC
【详解】解：对于A，直线和可以相交或者异面，故A错，
对于B, ，假设，，又，故，则，故B对,
对于C, 因为，，又，则，故C对,
对于D, 直线可以与平面平行，故D错.
故选：BC.
12．如图，四棱锥的底面为正方形，底面，则下列结论中正确的有（ ）
A． B．平面
C．与平面所成角是 D．与所成的角等于与所成的角
【答案】AB
【详解】A选项，为正方形，，又平面，，又，平面，，A选项正确；
B选项，为正方形，，又平面，且平面，平面，B选项正确；
C选项，底面，与平面所成角是，C选项错误；
D选项，为正方形，则与所成的角，又底面，则，所以与所成的角，D选项错误；
故选：AB.
三、填空题
13．如图，在正方体中，E是的中点.给出下列三个结论：
①；
②；
③线段的长度大于线段的长度.
其中所有正确结论的序号是______.
【答案】①②③
【详解】连接、 、，并设正方体的棱长为.
对于①，由于，可知平面，①正确；
对于②，由于，又是的中点，易知，②正确；
对于③，、、是正方体的面对角线，可知，
因此是等边三角形，而是等边三角形边上的高线，因此，③正确.
故答案为：①②③
14．一个正方体的棱长为2，若一个球内切于该正方体，则此球的体积是_____.
【答案】
【详解】解：依题意正方体内切球的直径即为正方体的棱长，即，所以内切球的体积
故答案为：
15．如图，正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是________.
【答案】
【详解】由直观图还原可得原图形为如图所示的平行四边形，
其中，，，，
原图形的周长为.
故答案为：.
16．如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E是PA上一点，当点E满足条件：________时，PC∥平面EBD．
【答案】为的中点
【详解】当为的中点时，平面EBD．
证明：设过BD的平面与直线的交点为，连接，设，
连接，则为的中点.
因为平面，平面，平面平面，
故，故为的中点，故即为.
故答案为：为的中点.
四、解答题
17．如图，在三棱锥中，E，F分别是AB，AP的中点.
(1)求证：平面；
(2)若三棱锥的各棱长均为2，求它的表面积.
【答案】(1)证明过程见解析；
(2)
（1）
因为E，F分别是AB，AP的中点，
所以EF是三角形ABP的中位线，
所以EF//PB，
因为平面，平面，
所以平面.
（2）
若三棱锥的各棱长均为2，
则该三棱锥为正四面体，四个面是全等的等边三角形，
故它的表面积为
18．如图，四棱锥P-ABCD的底面是菱形，且PA面ABCD，E，F分别是棱PB，PC的中点.
求证：（1）EF平面PAD；
（2）面PBD面PAC.
【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解.
【详解】（1）由E，F分别是棱PB，PC的中点.
则且，
又底面ABCD是菱形，，，
又平面PAD，平面PAD，
EF平面PAD.
（2）由PA面ABCD，是平面ABCD的对角线，
，
四棱锥P-ABCD的底面是菱形，
，
，且平面PAC，
平面PAC，
又因为平面PBD，
所以面PBD面PAC
19．如图，三棱柱中，底面ABC，，且．
(1)求直线与平面ABC所成角的大小；
(2)求证：平面．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(1)解：因为底面，底面，所以，所以为在底面的射影，所以为直线与平面所成角，又，所以，即直线与平面所成角为；
(2)证明：因为底面，底面，所以，又，且，平面，所以平面；
20．如图，旗杆AB高8m，它的顶端A挂着两条长10m的绳子，拉紧绳子，使绳子的末端分别与地面接触，记接触点为C，D（和旗杆脚B不在同一条直线上）.
(1)如果C，D两点和旗杆脚B的距离都是6m，就证明旗杆和地面垂直，请写出证明过程；
(2)如果E为绳子AC的中点，在旗杆AB上是否存在一点F，使EF和地面平行？如果存在，请确定点F的位置，并写出证明过程；如果不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析；
(2)存在，F为AB中点，证明见解析.
(1)在中，已知AB=8m，BC=BD=6m，AC=AD=10m.
，
，
即AB，AB，
又三点不共线，
且，面，
AB面，即旗杆和地面垂直
(2)存在，F为AB中点，证明如下：
为中点，为中点.
又面，面
面，
故可以找到一点F，即F为AB中点.，使EF和地面平行
21．如图所示，斜三棱柱中，点为上的中点．
（1）求证：平面；
（2）设三棱锥的体积为，三棱柱的体积为，求．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【详解】（1）证明：连接A1B交AB1于点O，连接OD1，
则在平形四边形ABB1A1中，点O为A1B的中点，
又点D1为A1C1的中点，
所以OD1∥BC1，
又OD1⊂平面AB1D1，B1C⊄平面AB1D1，
所以BC1∥平面AB1D1．
（2）V1＝＝＝＝V2
所以＝．
22．如图，在四棱锥中，底面为菱形，是棱的中点.
（1）求证：平面；
（2）若平面，，，求点B到平面的距离．
【答案】（1）证明见详解；（2）.
【详解】（1）连接交于点，因为底面为菱形，所以为中点；
连接，因为M是棱的中点，
所以，
因为平面，平面，
所以平面；
（2）因为平面，所以，，
因为，，所以，，，
则，，
所以，则，
设点B到平面的距离为，
由可得，
则，
即点B到平面的距离为．
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