新教材高一数学第二学期期末试卷03（原卷版+教师版）

新教材高一数学第二学期期末试卷

数学测试卷共4页，满分150分.考试时间120分钟.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 复数的虚部是

A.       B.       C.       D.

2. 设向量，，，则（    ）

A. -6      B.       C.       D.

3. 设空间中的平面及两条直线a，b满足且，则“”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件      B. 必要不充分条件      C. 充要条件      D. 既不充分也不必要条件

4. 某地区对居民用电实行阶梯电价以提高能源效率，统计该地区每户居民月均用电量，得到相关数据如表：

如果将该地区居民用户的月均用电量划分为三档，第一档电量按照覆盖70%的居民用户的月均用电量确定，第二档电量按照覆盖90%的居民用户的月均用电量确定，则第二档电量区间为（    ）

A.       B.       C.       D.

5. 已知的面积为，则（    ）

A.       B.       C.       D.

6. 在正方体中，与直线不垂直的直线是（    ）

A.       B.       C.       D.

7. 已知某圆台上下底面的面积之比为1∶9，侧面积为，母线长为2，则该圆台的高为（    ）

A. 2      B.       C.       D. 1

8. 从三对夫妇中随机抽选2人参加采访活动，则恰好抽到一对夫妇的概率为（    ）

A.       B.       C.       D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 关于复数z及其共轭复数，下列说法正确是（    ）

A.       B.      C       D.

10. 设平面向量，，在方向上的投影向量为，则（    ）

A.       B.

C       D.

11. 已知100个零件中恰有2个次品，现从中不放回地依次随机抽取两个零件，记事件“第一次抽到的零件为次品”，事件“第二次抽到的零件为次品”，事件“抽到的两个零件中有次品”，事件“抽到的两个零件都是正品”，则（    ）

A.       B.

C       D.

12. 某学校规定，若五个工作日内学校某天有超过3个人的体温测量值高于37.5℃，则需全员进行核酸检测.该校统计了五个工作日内每天体温超过37.5℃的人数，则根据这组数据的下列信息，能断定该校不需全员进行核酸检测的是（    ）

A. 中位数是1，平均数是1      B. 中位数是1，众数是0

C. 中位数是2，众数是2      D. 平均数是2，方差是0.8

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 在中，，，，则__________.

14. 如图，边长为2的正方形是用斜二测画法得到的四边形的直观图，则四边形的面积为__________.

15. 将一枚质地均匀骰子连续抛掷两次，则点数之和为8的概率是__________.

16. 如图，是棱长为6的正四面体，为线段的三等分点，为线段的三等分点，过点分别作平行于平面，平面，平面，平面的截面，则正四面体被这四个截面截去四个角后所得几何体的体积为___________.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 在中，，，，点D，E分别在边，上，且，，设.

（1）求x，y的值；

（2）求.

18. 某学校派出甲、乙、丙三名同学参加英语演讲比赛，已知甲、乙、丙三人晋级的概率分别为，，，且三人是否晋级彼此独立.

（1）求甲、乙、丙三人中至少有一人晋级的概率；

（2）求甲、乙、丙三人中恰有两人晋级的概率.

19. 如图，在正三棱柱中，M，N分别为棱，的中点.

（1）证明：平面；

（2）证明：平面平面.

20. 学校统计了高三年级1000名学生的某次数学考试成绩，已知所有学生的成绩均在区间内，且根据统计结果绘制出如下频率分布表和频率分布直方图.

（1）求图中a的值；

（2）试估计这1000名学生此次数学考试成绩的中位数.

21. 如图1，在梯形中，，，，将沿折成如图2所示的三棱锥，且平面平面.

（1）证明：；

（2）设N为线段的中点，求直线与平面所成角的正切值.

22. 如图，边长为2的等边所在平面内一点满足（），点在边上，.的面积为，记，.

（1）用，及表示；

（2）求的最小值.

新教材高一数学第二学期期末试卷

数学测试卷共4页，满分150分.考试时间120分钟.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 复数的虚部是

A.       B.       C.       D.

【答案】A

【解析】【分析】利用复数的除法运算，将分子分母同乘以分母的共轭复数，化简为复数的标准形式a+bi(a,b∈R)，b即为虚部.

【详解】，所以复数的虚部是．

2. 设向量，，，则（    ）

A. -6      B.       C.       D.

【答案】A

【解析】【分析】由向量垂直的坐标表示列方程求参数即可.

【详解】由题意，，即.

故选：A

3. 设空间中的平面及两条直线a，b满足且，则“”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件      B. 必要不充分条件      C. 充要条件      D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】【分析】由直线、平面的位置关系，结合充分和必要条件定义作出判断.

【详解】当时，因为且，所以与可能相交；

当时，因为且，所以；

即“”是“”的必要不充分条件.

故选：B

4. 某地区对居民用电实行阶梯电价以提高能源效率，统计该地区每户居民月均用电量，得到相关数据如表：

如果将该地区居民用户的月均用电量划分为三档，第一档电量按照覆盖70%的居民用户的月均用电量确定，第二档电量按照覆盖90%的居民用户的月均用电量确定，则第二档电量区间为（    ）

A       B.       C.       D.

【答案】C

【解析】【分析】根据题设户均用电量的百分位数对应的值，结合电量覆盖要求即可得第二档电量区间.

【详解】由题意，第一档用电量区间为，第二档用电量区间为.

故选：C

5. 已知的面积为，则（    ）

A.       B.       C.       D.

【答案】C

【解析】【分析】由向量数量积的定义及三角形面积公式可得，结合三角形内角性质即可求.

【详解】由题设，，又，

所以，即，而，故.

故选：C

6. 在正方体中，与直线不垂直的直线是（    ）

A.       B.       C.       D.

【答案】C

【解析】【分析】在正方体中，借助线面垂直关系进行判断.

【详解】如图所示，

在正方形中，；因为平面，故；

连接、，因为，所以与所成的角为，不垂直；

易得平面，所以；所以C正确.

故选：C

7. 已知某圆台上下底面的面积之比为1∶9，侧面积为，母线长为2，则该圆台的高为（    ）

A. 2      B.       C.       D. 1

【答案】B

【解析】【分析】设圆台的上底面半径为，母线长为，高为，由题意确定下底面的半径为，由圆台的侧面积公式求出，由此求解圆台的高即可．

【详解】解：设圆台的上底面半径为，母线长为，高为，

因为圆台的上底面面积是下底面面积的倍，所以下底面的半径为，

又母线长，圆台的侧面积为，则，解得，

则圆台的高．

故选：B．

8. 从三对夫妇中随机抽选2人参加采访活动，则恰好抽到一对夫妇的概率为（    ）

A.       B.       C.       D.

【答案】B

【解析】【分析】根据题意，列举出从三对夫妇中随机抽选2人参加采访活动的情况，进而结合古典概型求解即可.

【详解】解：设分别表示三对夫妇，

从中随机抽选2人参加采访活动的情况有：，，，，共15种；

其中，恰好抽到一对夫妇的概率为，共3种，

所以，恰好抽到一对夫妇的概率为.

故选：B

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 关于复数z及其共轭复数，下列说法正确的是（    ）

A.       B.       C.       D.

【答案】ABD

【解析】【分析】根据题意，设，则，进而依次讨论各选项即可得答案.

【详解】解：根据题意，设，，

则，，，，

故选：ABD

10. 设平面向量，，在方向上的投影向量为，则（    ）

A.       B.     C.       D.

【答案】C

【解析】【分析】根据向量数量积的定义，逐一验证，即可求解.

【详解】解： 对于AB, 如图，当时，

，均不相等，故AB错误，

因为，,故C对，，故D错误.

故选：C.

11. 已知100个零件中恰有2个次品，现从中不放回地依次随机抽取两个零件，记事件“第一次抽到零件为次品”，事件“第二次抽到的零件为次品”，事件“抽到的两个零件中有次品”，事件“抽到的两个零件都是正品”，则（    ）

A.       B.

C.       D.

【答案】AC

【解析】【分析】利用事件之间的关系，结合概率的加法、乘法公式求解.

【详解】，，所以A正确；

因为，，故，所以B错误；

因为，,即A、B为对立事件，故，所以C正确；

，，所以D错误.

故选：AC.

12. 某学校规定，若五个工作日内学校某天有超过3个人的体温测量值高于37.5℃，则需全员进行核酸检测.该校统计了五个工作日内每天体温超过37.5℃的人数，则根据这组数据的下列信息，能断定该校不需全员进行核酸检测的是（    ）

A. 中位数是1，平均数是1      B. 中位数是1，众数是0

C. 中位数是2，众数是2      D. 平均数是2，方差是0.8

【答案】AD

【解析】【分析】利用中位数、众数、平均数和方差的定义逐项判断.

【详解】A.因为中位数是1，设五个工作日内每天体温超过37.5℃的人数为从小到大的顺序为a，b，1，c，d，

因为平均数是1，所以，若，则，不合题意，故正确；

B.设五个工作日内每天体温超过37.5℃的人数为从小到大的顺序为0，0，1，2，4，

满足中位数是1，众数是0，但有一天超过3，故错误；

C.设五个工作日内每天体温超过37.5℃的人数为从小到大的顺序为0，2，2，3，4，

满足中位数是2，众数是2，但有一天超过3，故错误；

D.设五个工作日内每天体温超过37.5℃的人数为a，b，c，d，e，

因为平均数是2，方差是0.8，则，

，

即，

则，若，从方差角度来说，不满足，

所以，故正确.

故选：AD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 在中，，，，则__________.

【答案】

【解析】【分析】已知两边及其夹角，利用余弦定理求解第三边.

【详解】在中，，，，由余弦定理得，

所以.故答案为：.

14. 如图，边长为2的正方形是用斜二测画法得到的四边形的直观图，则四边形的面积为__________.

【答案】

【解析】【分析】根据题意，求出直观图正方形的面积，由直观图和原图的面积关系分析可得答案．

【详解】解：根据题意，正方形的边长为2，其面积，

其该平面图形的面积，

故答案为：．

15. 将一枚质地均匀的骰子连续抛掷两次，则点数之和为8的概率是__________.

【答案】

【解析】【分析】先计算基本事件样本空间，再计算所求事件的种数，按照古典概型计算即可.

【详解】连续投掷2次，骰子点数的样本空间为 ，2次点数之和为8的有：

，故有 种，其概率为 ；

故答案为： .

16. 如图，是棱长为6的正四面体，为线段的三等分点，为线段的三等分点，过点分别作平行于平面，平面，平面，平面的截面，则正四面体被这四个截面截去四个角后所得几何体的体积为___________.

【答案】

【解析】【分析】根据题意，取中心，连接，进而得平面，再根据几何体关系计算得，，进而得正四面体被这四个截面截去四个角后所得几何体的体积为.

【详解】解：如图，取中心，连接，

因为是棱长为6的正四面体，所以平面，

根据几何关系：，，，

所以正四面体的体积为：，

因为平面平面，为线段的三等分点，

所以，三棱锥的高，

所以，

所以正四面体被这四个截面截去四个角后所得几何体的体积为.

故答案为：

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 在中，，，，点D，E分别在边，上，且，，设.

（1）求x，y的值；

（2）求.

【答案】（1），    （2）

【解析】分析】（1）根据平面向量线性运算法则计算可得，即可得解；

（2）根据数量积的定义求出，再根据，利用数量积的运算律计算可得；

【小问1详解】解：因为，，所以，，

所以

所以，；

【小问2详解】解：因为，

所以

，所以；

18. 某学校派出甲、乙、丙三名同学参加英语演讲比赛，已知甲、乙、丙三人晋级的概率分别为，，，且三人是否晋级彼此独立.

（1）求甲、乙、丙三人中至少有一人晋级的概率；

（2）求甲、乙、丙三人中恰有两人晋级的概率.

【答案】（1）；    （2）.

【解析】【分析】（1）正难则反，先求三个人全没有晋级的概率，再用对立事件求概率即可；（2）分成三种情况，分别考虑其中有一人没有晋级的情况.

【小问1详解】

设甲乙丙三人至少一人晋级的事件为，依题意；

【小问2详解】设甲乙丙三人至少一人晋级的事件为，依题意.

19. 如图，在正三棱柱中，M，N分别为棱，的中点.

（1）证明：平面；

（2）证明：平面平面.

【答案】（1）证明见解析    （2）证明见解析

【解析】【分析】（1）取的中点，连接，，即可得到四边形为平行四边形，从而得到，即可得证；

（2）依题意可得、，即可得到平面，再由，即可得到平面，从而得证；

【小问1详解】证明：取的中点，连接，，

因为，分别为棱，的中点，所以，，

所以四边形为平行四边形，，

又平面，平面，平面；

【小问2详解】证明：∵平面，平面，所以，

又 ，，平面，所以平面，

因为，所以平面，

又平面，所以平面平面；

20. 学校统计了高三年级1000名学生的某次数学考试成绩，已知所有学生的成绩均在区间内，且根据统计结果绘制出如下频率分布表和频率分布直方图.

（1）求图中a的值；

（2）试估计这1000名学生此次数学考试成绩的中位数.

【答案】（1）；    （2）.

【解析】【分析】（1）补全直方表数据，根据频率和为1求参数a；

（2）利用直方表及中位数的求法求1000名学生此次数学考试成绩中位数.

【小问1详解】由题设，频率直方表如下：

所以，可得.

【小问2详解】由（1）知：，

所以中位数位于内，令中位数为，

则，可得.

21. 如图1，在梯形中，，，，将沿折成如图2所示的三棱锥，且平面平面.

（1）证明：；

（2）设N为线段的中点，求直线与平面所成角的正切值.

【答案】（1）证明见解析；    （2）.

【解析】【分析】（1）由已知及勾股定理可证，再由面面垂直的性质证面，根据线面垂直的性质证结论.

（2）由等体积法有求出到面距离，再证明求出，即可求线面角的正弦值，进而求其正切值.

【小问1详解】由，且，，

所以等腰中，若为中点，则为正方形，

所以，且，故，

所以，则，

又面平面，面平面，平面，

所以面，而面，则.

【小问2详解】由（1）知：面，且为等腰直角三角形，

所以，而，故，

由面，有，而，且，

所以，若到面距离为，则，

所以.

由（1），，，而，故，

所以，而N为线段的中点，故，

所以，

若直线与平面所成角为，则，故.

22. 如图，边长为2的等边所在平面内一点满足（），点在边上，.的面积为，记，.

（1）用，及表示；

（2）求的最小值.

【答案】（1）    （2）

【解析】【分析】（1）根据向量的运算求解即可；

（2）由题知，，进而得，设三角形在边上的高为，根据几何关系得，再结合基本不等式求解即可.

【小问1详解】解：因为是边长为2的等边三角形，，所以，，

所以

【小问2详解】

解：因为，

，，，

所以，

，

设三角形在边上的高为，则，所以，

因为（），所以，

所以，即，

所以，，

当且仅当，即时等号成立，

所以的最小值为.