新教材高一数学第二学期期末试卷05（原卷版+教师版）

这是一份新教材高一数学第二学期期末试卷05（原卷版+教师版），共21页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
新教材高一数学第二学期期末试卷
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 设，则的虚部为（ ）
A B. C. D.
2. 已知向量，，，则下列结论正确的是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3. “幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间内的一个数来表示，该数越接近表示满意度越高.现随机抽取位北京市民，他们的幸福感指数为3，4，5，5，6，7，7，8，9，10.则这组数据的分位数是（ ）
A. 7 B. C. 8 D.
4. 已知复数，若，则（ ）
A. B. 2 C. D. 5
5. 在中，角，，所对的边分别是，，，已知，则的形状是（ ）
A. 等腰三角形 B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形
6. 如图，元件通过电流的概率均为0．9，且各元件是否通过电流相互独立，则电流能在M，N之间通过的概率是

A. 0．729 B. 0．8829 C. 0．864 D. 0．9891
7. 已知一组数据，，，，的平均数是2，方差是，那么另一组数据，，，，的平均数和方差分别为　　
A. 2， B. 4，3 C. 4， D. 2，1



8. 我国古代《九章算术》中将上，下两面为平行矩形的六面体称为刍童.如图的刍童有外接球，且，，，，平面与平面间的距离为，则该刍童外接球的体积为

A. B. C. D.
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张，一次任意取出2张卡片，则与事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的事件有（ ）
A. 2张卡片不全红色 B. 2张卡片恰有一张红色
C. 2张卡片至少有一张红色 D. 2张卡片都为绿色
10. 已知，是两个不重合的平面，，是两条不重合的直线，则下列命题正确的是　　
A. 若，，，则
B. 若，，则
C. 若，，则
D. 若，，则与所成的角和与所成的角相等
11. （多选题）2019年“双节”期间，高速公路车辆较多.某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中抽取了40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路车速（）分成六段：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图.下列结论正确的是（ ）

A. 这40辆小型车辆车速的众数的估计值为77.5
B. 在该服务区任意抽取一辆车，车速超过的概率为0.35
C. 若从车速在的车辆中任意抽取2辆，则至少有一辆车的车速在的概率为
D. 若从车速在的车辆中任意抽取2辆，则车速都在内的概率为
12. 如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，动点E在线段A1C1上，F，M分别是AD，CD的中点，则下列结论中正确的是（ ）

A. FM与BC1所成角为45°
B. BM⊥平面CC1F
C. 存在点E，使得平面BEF∥平面CC1D1D
D. 三棱锥B﹣CFE的体积为定值
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 某单位有男女职工共人，现用分层抽样的方法从所有职工中抽取容量为的样本，已知从女职工中抽取的人数为，那么该单位的女职工人数为__________．
14. 已知向量夹角，且，则__________．
15. 某组合体如图所示，上半部分是正四棱锥，下半部分是长方体．正四棱锥的高为，，，则该组合体的表面积为 _____．

16. 在中，已知，若，则周长的取值范围为__________．
四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）
17. 已知向量,.
(1)求的坐标; (2)求.
18. 四边形ABCD是圆柱OO1的轴截面，E为底面圆周上的一点，，，．

（1）求证：平面；
（2）求圆柱的表面积．





19. 某校从高一年级学生中随机抽取40名中学生，将他们的期中考试数学成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：，，…，所得到如图所示的频率分布直图

（1）求图中实数的值；
（2）若该校高一年级共有640人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；
（3）若从数学成绩在[40，50)与[90，100]两个分数段内学生中随机选取两名学生，求这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率.












20. 在中，．
（1）求的值；
（2）若，，求以及的值．









21. 某校设计了如下有奖闯关游戏:参赛选手按第一关,第二关,第三关的顺序依次闯关,若闯关成功,分别获得5个学豆,10个学豆,20个学豆的奖励,游戏还规定,当选手闯过一关后,可以选择带走相应的学豆,结束游戏;也可以选择继续闯下一关,若有任何一关没有闯关成功,则全部学豆归零,游戏结束.设选手甲第一关,第二关,第三关闯关成功的概率分别为,,,选手选择继续闯关的概率均为,且各关之间闯关成功与否互不影响.
(1)求选手甲第一关闯关成功且所得学豆为零的概率;
(2)求该选手所得学豆总个数不少于15的概率.

















22. 如图，四棱锥中，平面，，，，为的中点．

（1）证明：平面平面；
（2）求异面直线与所成角的余弦值；
（3）求直线与平面所成角的正弦值．

















新教材高一数学第二学期期末试卷
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 设，则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】【分析】利用复数的除法法则将复数表示为一般形式，即可得出复数的虚部.
【详解】，因此，复数的虚部为.
故选：B.
【点睛】本题考查复数虚部的求解，一般利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式，考查计算能力，属于基础题.
2. 已知向量，，，则下列结论正确的是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】D
【解析】【分析】由平面向量共线和垂直的坐标表示可得出结果.
【详解】，，，则，，，
因此，，，.
故选：D.
【点睛】本题考查向量的坐标运算，涉及共线向量和向量垂直的坐标表示，考查推理能力，属于基础题.
3. “幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间内的一个数来表示，该数越接近表示满意度越高.现随机抽取位北京市民，他们的幸福感指数为3，4，5，5，6，7，7，8，9，10.则这组数据的分位数是（ ）
A. 7 B. C. 8 D.
【答案】C
【解析】【分析】先计算分位数的位置，再求出这个数即可.
【详解】由题意，这10个人的幸福指数已经从小到大排列，
因为，
所以这10个人的分位数是从小到大排列后第8个人的幸福指数，即8.
故选：C
【点睛】本题主要考查分位数的概念和计算，属于基础题.
4. 已知复数，若，则（ ）
A. B. 2 C. D. 5
【答案】C
【解析】【分析】利用复数的乘法计算，再利用复数相等得到满足的方程组，从而得到复数，再利用公式计算其模即可.
【详解】可化为，
因为，故，解得，所以，故.
故选：C.
【点睛】本题考查复数的乘法以及复数相等的条件，此类问题属于容易题.
5. 在中，角，，所对的边分别是，，，已知，则的形状是（ ）
A. 等腰三角形 B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形
【答案】A
【解析】【分析】利用正弦定理以及三角形的内角和，两角和的正弦函数化简，求出与的关系，即可判断三角形的形状．
【详解】解：，由正弦定理可知，，因为，
所以，所以，
即所以，所以，，
因为、、是三角形内角，所以．所以是等腰三角形．
故选：A．
6. 如图，元件通过电流的概率均为0．9，且各元件是否通过电流相互独立，则电流能在M，N之间通过的概率是

A. 0．729 B. 0．8829 C. 0．864 D. 0．9891
【答案】B
【解析】【详解】试题分析：电流能通过的概率为，电流能通过的概率为，故电流不能通过也不能通过的概率为，所以电流能通过系统的概率为，而电流能通过的概率为，所以电流能在之间通过的概率为，故选B．
考点：相互独立事件的概率乘法公式．
【方法点睛】本题主要考查了相互独立事件的概率乘法公式．所求事件的概率与它的对立事件之间概率的关系，体现了转化的数学思想，属于基础题．求出电流不能通过也不能通过的概率，用减去此概率即得到电流能通过系统的概率，再根据电流能通过的概率，利用相互独立事件的概率乘法公式即可求得电流在之间通过的概率．
7. 已知一组数据，，，，的平均数是2，方差是，那么另一组数据，，，，的平均数和方差分别为　　
A. 2， B. 4，3 C. 4， D. 2，1
【答案】B
【解析】【分析】根据平均数、方差的公式计算可得；
【详解】解：，，，的平均数是2，则．
数据，，，，的平均数是：，
所以，
．
故选：B．
8. 我国古代《九章算术》中将上，下两面为平行矩形的六面体称为刍童.如图的刍童有外接球，且，，，，平面与平面间的距离为，则该刍童外接球的体积为

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】【分析】假设为刍童外接球的球心，连接,交于点，连接,交于点，由球的几何性质可知，，在同一条直线上，由题意可知， 平面，平面，设，利用勾股定理和球的半径相等的条件列式，求出的值，进而求出外接球的半径，即可求出体积.
【详解】解：假设为刍童外接球的球心，连接,交于点，连接,交于点，由球的几何性质可知，，在同一条直线上，
由题意可知， 平面，平面，.设，
在中，，在矩形中，
..
.
在中，，在矩形中，
..
.设外接球的半径，
，解得.则.即.
则该刍童外接球的体积.
故选：C.

【点睛】本题考查几何体的外接球体积的求法，考查空间想象能力，找到球心是关键，属于中档题.
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张，一次任意取出2张卡片，则与事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的事件有（ ）
A. 2张卡片不全为红色 B. 2张卡片恰有一张红色
C. 2张卡片至少有一张红色 D. 2张卡片都为绿色
【答案】BD
【解析】【分析】本题先写出所有情况：“2张都为红色”、“2 张都为绿色”、“2张都为蓝色”、“1张为红色1张为绿色”、“1张为红色1张为蓝色”、“1张为绿色1张为蓝色”，再根据选项选择互斥而不对立的事件即可.
【详解】6张卡片中一次取出2张卡片的所有情况有：“2张都为红色”、“2 张都为绿色”、“2张都为蓝色”、“1张为红色1张为绿色”、“1张为红色1张为蓝色”、“1张为绿色1张为蓝色”，选项中给出的四个事件中与“2张都为红色”互斥而非对立“2张恰有一张红色”“2张都为绿色”，其中“2张至少一张为红色”包含事件是“2张都为红色”二者并非互斥，“2张不全为红色”是对立事件．
故选：BD.
【点睛】本题考查互斥事件、对立事件，是基础题.
10. 已知，是两个不重合的平面，，是两条不重合的直线，则下列命题正确的是　　
A. 若，，，则
B. 若，，则
C. 若，，则
D. 若，，则与所成的角和与所成的角相等
【答案】BCD
【解析】【分析】根据线面、面面关系的性质定理与判定定理判断即可；
【详解】解：对于A．若，，，则或与平行或，与相交不垂直，故A错误；
对于B：，设过的平面与交于，则，又，，，B正确；
对于C：，内的所有直线都与平行，且，，C正确；
对于D：根据线面角的定义，可得若，，则与所成的角和与所成的角相等，故D正确．
故选：BCD．
11. （多选题）2019年“双节”期间，高速公路车辆较多.某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中抽取了40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（）分成六段：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图.下列结论正确的是（ ）

A. 这40辆小型车辆车速的众数的估计值为77.5
B. 在该服务区任意抽取一辆车，车速超过的概率为0.35
C. 若从车速在的车辆中任意抽取2辆，则至少有一辆车的车速在的概率为
D. 若从车速在的车辆中任意抽取2辆，则车速都在内的概率为
【答案】ABC
【解析】【分析】众数的估计值为最高的矩形的中点对应的值可判断A；用频率估计概率可判断B；在C中，由题可知，车速在内的车辆数为2，车速在内的车辆数为4，运用古典概型的概率计算公式即可判断C、D．
【详解】解：在A中，由题图可知，众数的估计值为最高的矩形的中点对应的值，A正确；
在B中，车速超过的频率为，用频率估计概率知B正确；
在C中，由题可知，车速在内的车辆数为2，车速在内的车辆数为4，
运用古典概型求概率得，
至少有一辆车的车速在的概率为，即车速都在内的概率为，故C正确，D错误；
故选：ABC．
【点睛】本题主要考查概率与统计的综合，考查根据频率分布直方图估计总体的众数、频率，考查古典概型的概率计算公式，属于基础题．
12. 如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，动点E在线段A1C1上，F，M分别是AD，CD的中点，则下列结论中正确的是（ ）

A. FM与BC1所成角为45°
B. BM⊥平面CC1F
C. 存在点E，使得平面BEF∥平面CC1D1D
D. 三棱锥B﹣CFE的体积为定值
【答案】BD
【解析】【分析】对A,根据线线角求法，取FM的平行线A1C1分析A1C1与BC1所成角即可；
对B,利用平面几何方法证明再证明平面即可.
对C,根据与平面有交点判定即可.
对D,根据三棱锥以为底,且同底高不变,故体积不变判定即可.
【详解】在A中,因为分别是的中点,所以,根据正方体的性质可得为正三角形，故FM与BC1所成角为60°，故A错误;

在B中,因为,,故,
故.故,又有,
所以平面,故B正确；
在C中,与平面有交点,所以不存在点,使得平面平面,故C错误.
在D中,三棱锥以面为底,则高是定值,所以三棱锥的体积为定值,故D正确.
故选：BD.
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 某单位有男女职工共人，现用分层抽样的方法从所有职工中抽取容量为的样本，已知从女职工中抽取的人数为，那么该单位的女职工人数为__________．
【答案】
【解析】【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．
【详解】设该单位的女职工人数为，则，解得，即该单位的女职工人数为.
故答案：.
【点睛】本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键，比较基础．
14. 已知向量夹角为，且，则__________．
【答案】
【解析】【详解】试题分析：的夹角，，，，.
考点：向量的运算.
【思路点晴】平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．列出方程组求解未知数.
15. 某组合体如图所示，上半部分是正四棱锥，下半部分是长方体．正四棱锥的高为，，，则该组合体的表面积为 _____．

【答案】
【解析】【分析】连接、交于点，连接，取的中点，连接、，计算出正四棱锥的斜高，利用三角形和矩形的面积公式可求得该几何体的表面积.
【详解】连接、交于点，连接，取的中点，连接、，如下图所示：

在正四棱锥中，为该四棱锥的高，则，
因为四边形是边长为的正方形，则，
，
因为为的中点，，，
因为，故该几何体的表面积为.
故答案为：.
16. 在中，已知，若，则周长的取值范围为__________．
【答案】
【解析】【分析】先由化简求出，再利用余弦定理可得，再结合基本不等式可得，而在三角形中有，从而可得结果.
【详解】解：由题意，，即，
可化为，即，
因为，所以，即，
设的内角的对边分别为，
由余弦定理得，
因为，（当且仅当时取“=”），所以，即，
又因为，所以，
故，则，
又因为，所以，即.
故周长的取值范围为.
故答案为：
【点睛】此题考查利用余弦定理解三角形，考查了三角函数恒等变换公式和基本不等式，综合性强，考查转化能力和计算能力，属于中档题.
四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）
17. 已知向量,.
(1)求的坐标;
(2)求.
【答案】(1);(2).
【解析】【分析】（1）根据向量的数乘运算及加法运算即可得到本题答案；（2）根据向量的模的计算公式即可得到本题答案.
【详解】(1)因为,,所以；所以；
(2)因,所以.
【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算以及模的计算，属基础题.
18. 四边形ABCD是圆柱OO1的轴截面，E为底面圆周上的一点，，，．

（1）求证：平面；
（2）求圆柱的表面积．
【答案】（1）证明见解析 （2）
【解析】【分析】（1）推导出，，由此能证明平面．
（2）利用勾股定理求出，从而得到底面圆的半径，由此能求出圆柱的表面积．
【小问1详解】证明： 四边形是圆柱的轴截面，为底面圆周上的一点，
所以平面，平面，所以
，
，平面，平面．
【小问2详解】解： ，，．
，，
圆柱的表面积：．
19. 某校从高一年级学生中随机抽取40名中学生，将他们的期中考试数学成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：，，…，所得到如图所示的频率分布直图

（1）求图中实数的值；
（2）若该校高一年级共有640人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；
（3）若从数学成绩在[40，50)与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率.
【答案】（1）a=0.03；（2）544人；（3）.
【解析】【分析】（1）根据图中所有小矩形的面积之和等于1求解.
 （2）根据频率分布直方图，得到成绩不低于60分的频率，再根据该校高一年级共有学生640人求解.
 （3）由频率分布直方图得到成绩在[40，50)和[90，100]分数段内的人数，先列举出从数学成绩在[40，50)与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生的基本事件总数，再得到两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”的基本事件数，代入古典概型概率求解.
【详解】（1）∵图中所有小矩形的面积之和等于1，
∴10×(0.005+0.01+0.02+a+0.025+0.01)=1，解得a=0.03.
 （2）根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率为1−10×(0.005+0.01)=0.85，
 ∵该校高一年级共有学生640人，
 ∴由样本估计总体的思想，可估计该校高一年级数学成绩不低于60分的人数约为640×0.85=544人.
 （3）成绩在[40，50)分数段内的人数为40×0.05=2人，分别记为A，B，
 成绩在[90，100]分数段内的人数为40×0.1=4人，分别记为C，D，E，F.
 若从数学成绩在[40，50)与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生，
 则所有的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，
 (C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)共15种.
 如果两名学生的数学成绩都在[40，50)分数段内或都在[90，100]分数段内，
 那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.
 如果一个成绩在[40，50)分数段内，另一个成绩在[90，100]分数段内，
 那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10.
 记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件M，
 则事件M包含的基本事件有：(A，B)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)共7种.
 ∴所求概率为P(M)=.
【点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用以及古典概型概率的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
20. 中，．
（1）求的值；
（2）若，，求以及的值．
【答案】（1） （2），
【解析】【分析】（1）利用余弦定理计算可得；
（2）先利用同角三角函数关系式求出角，的正弦值，再借助于正弦定理求出，代入已知条件求出，进而求出三角形的面积．
【小问1详解】解：由余弦定理及已知得：，
【小问2详解】解：因为，为三角形内角，
所以，，
由正弦定理得：，
又．，解得或（舍去）．
．
21. 某校设计了如下有奖闯关游戏:参赛选手按第一关,第二关,第三关的顺序依次闯关,若闯关成功,分别获得5个学豆,10个学豆,20个学豆的奖励,游戏还规定,当选手闯过一关后,可以选择带走相应的学豆,结束游戏;也可以选择继续闯下一关,若有任何一关没有闯关成功,则全部学豆归零,游戏结束.设选手甲第一关,第二关,第三关闯关成功的概率分别为,,,选手选择继续闯关的概率均为,且各关之间闯关成功与否互不影响.
(1)求选手甲第一关闯关成功且所得学豆为零的概率;
(2)求该选手所得学豆总个数不少于15的概率.
【答案】(1) (2)
【解析】【分析】（1）设甲“第一关闯关成功且所得学豆为零”为事件A，“第一关闯关成功第二关闯关失败”为事件，“前两关闯关成功第三关闯关失败”为事件，则，互斥，由此利用互斥事件概率加法公式能求出选手甲第一关闯关成功且所得学豆为零的概率；
（2）该选手所得学豆总个数可能为0，5，15，35，先用相互独立事件同时发生的概率公式计算出总个数为15和35时所对应的概率，再相加即可.
【详解】(1)设“甲第一关闯关成功且所得学豆为零”为事件A，“第一关闯关成功第二关闯关失败”为事件，“前两关闯关成功第三关闯关失败”为事件，则，互斥.
，，，
所以选手甲第一关闯关成功且所得学豆为零的概率为.
(2)由题意得该选手所得学豆总个数可能为0，5，15，35，
且“该选手所得学豆总个数为15”的概率为，
“该选手所得学豆总个数为35”的概率为.
所以“该选手所得学豆总个数不少于15”的概率为.
【点睛】本题考查概率的求法，解题时要认真审题，注意互斥事件概率加法公式、相互独立事件概率乘法公式的合理运用，属于中档题.
22. 如图，四棱锥中，平面，，，，为的中点．

（1）证明：平面平面；
（2）求异面直线与所成角的余弦值；
（3）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析 （2） （3）
【解析】【分析】（1）证明平面，利用面面垂直的判定定理可证得结论成立；
（2）取的中点，连接、，证明出四边形为平行四边形，可得出，可得知异面直线与所成角为或其补角，计算出三边边长，利用余弦定理可求得结果；
（3）过点在平面内作直线，垂足为点，连接，证明出平面，可得知直线与平面所成角为，计算出的长，可求得的正弦值，即可得解.
【小问1详解】证明：在底面中，，，，
，则为等腰直角三角形，且，，
，则，
在中，，，，
由余弦定理可得，，
，
平面，平面，，
，平面，
平面，平面平面.
【小问2详解】解：取的中点，连接、，
因为、分别为、的中点，则且，
由已知且，所以，且，
所以，四边形平行四边形，故且，
所以，异面直线与所成角为或其补角，
平面，、、平面，
所以，，，，
则，，同理，
为的中点，则，
由余弦定理可得.
因此，异面直线与所成角的余弦值为.
【小问3详解】解：过点在平面内作直线，垂足为点，连接，

因为平面平面，平面平面，平面，
，所以，平面，
所以，直线与平面所成角为，
在中，，，
由余弦定理可得，则为钝角，
，，
所以，.
因此，直线与平面所成角的正弦值为.