新教材高一数学第二学期期末试卷十三（原卷版+教师版）

这是一份新教材高一数学第二学期期末试卷十三（原卷版+教师版），共21页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
新教材高一数学第二学期期末试卷
本试卷共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知某射击运动员每次击中目标的概率都是0.8.现采用随机模拟的方法估计该运动员射击3次，至少击中2次的概率，先由计算器输出0到9之间取整数值的随机数，指定0.1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标.因为射击3次，故以每3个随机数为一组，代表射击3次的结果，经随机模拟产生了以下20组随机数：
572 029 714 985 034 437 863 964 141 469
037 623 261 804 601 366 959 742 671 428
据此估计，该射击运动员射击3次至少击中2次的概率约为（ ）
A. 0.8 B. 0.85 C. 0.9 D. 0.95
3. 设，，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知函数（且，，为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（ ）

A. ， B. ，
C ， D. ，
5. 若，则（ ）
A. B. C. D.
6. 已知，在下列条件中，使得成立的一个充分而不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
7. 函数的零点个数为（ ）
A 1 B. 2 C. 3 D. 4
8. 设，，，是平面内四个不同点，且，则向量与（ ）
A. 同向平行 B. 反向平行
C. 互相垂直 D. 既不平行也不垂直
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 对于任意两个向量，下列命题正确的是（ ）
A. B.
C. D. 若，则
10. 下列命题中正确的是（ ）
A. 若复数满足，则 B. 若复数满足，则
C. 若复数满足，则 D. 若复数满足，则
11. 已知直线是函数的一条对称轴，则（ ）
A. 点是函数的一个对称中心
B. 函数在上单调递减
C. 函数的图像可由的图像向左平移个单位长度得到
D. 函数与的图像关于直线对称
12. 在正三棱柱中，，点满足，其中，，则下列说法正确的是（ ）
A. 当时，则存在点，使得
B. 当时，则存在点，使得，，三点共线
C. 当时，则存在点，使得，，，四点共面
D. 当时，则存在点，使得
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 设z＝＋i(i为虚数单位)，则|z|＝________.
14. 若，，，则以，为邻边的平行四边形的面积是______.
15. 已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的内切球（球与圆锥的底面和侧面均相切）的表面积为______.
16. 拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（此等边三角形称为拿破仑三角形）的顶点”.在中，已知，且，现以，，为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为，，，则的面积最大值为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
17. 已知函数
（1）讨论函数的周期性和奇偶性；
（2）若，，求的值.


18. 如图，在长方体中，，分别是线段，的中点.

（1）证明：平面；
（2）若，直线与所成角的余弦值是，求四面体的体积.


19. 读书可以增长知识，开拓视野，修身怡情.树人中学为了解本校学生课外阅读情况，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全校学生中抽出一个容量为100的样本，其中男生40名，女生60名.经调查统计，分别得到40名男生一周课外阅读时间（单位：小时）的频数分布表和60名女生一周课外阅读时间（单位：小时）的频率分布直方图.
男生一周阅读时间频数分布表
小时
频数

9

25

3

3

（1）由以上频率分布直方图估计该校女生一周阅读时间的众数和75%分位数；
（2）由以上频数分布表和频率分布直方图估计总样本平均数；
（3）从一周课外阅读时间为样本学生中按比例分配抽取6人，再从这6人中任意抽取2人，求恰好抽到一男一女的概率.
（注：以各组的区间中点值代表该组的各个值）









20. 如图，在三棱锥中，，，两两互相垂直，，分别是，的中点.

（1）证明：；
（2）设，，和平面所成角的大小为，求二面角的大小.




21. 目前，新冠还在散发，防疫任重道远，经济下行，就业压力大，为此，国家大力提倡大学生自主创业.小李大学毕业后在同一城市开了，两家小店，每家店各有2名员工.五一期间，假设每名员工请假的概率都是，且是否请假互不影响.若某店的员工全部请假，而另一家店没有人请假，则调剂1人到该店以维持正常运转，否则该店就关门停业.
（1）求有员工被调剂的概率；
（2）求至少有一家店停业的概率.





22. 已知的三个内角，，的对边分别为，，，且
（1）若，判断的形状并说明理由；
（2）若是锐角三角形，求的取值范围.





新教材高一数学第二学期期末试卷
本试卷共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】【分析】利用交集的定义和相等集合的定义即可直接得出结果.
【详解】因为，
，
，
所以.
故选：B
2. 已知某射击运动员每次击中目标的概率都是0.8.现采用随机模拟的方法估计该运动员射击3次，至少击中2次的概率，先由计算器输出0到9之间取整数值的随机数，指定0.1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标.因为射击3次，故以每3个随机数为一组，代表射击3次的结果，经随机模拟产生了以下20组随机数：
572 029 714 985 034 437 863 964 141 469
037 623 261 804 601 366 959 742 671 428
据此估计，该射击运动员射击3次至少击中2次的概率约为（ ）
A. 0.8 B. 0.85 C. 0.9 D. 0.95
【答案】C
【解析】【分析】应用列举法写出所有含0，1至多1个的随机数，利用古典概型的概率求法求概率即可.
【详解】20组随机数中含0，1至多1个的随机数为：572，029，714，985，034，437，863，964，469，037，623，261，804，366，959，742，671，428共18组.
所以该射击运动员射击3次至少击中2次的概率约为
故选：C
3. 设，，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】【分析】根据题意和三角函数的性质可得，结合指数函数、对数函数的单调性求出的范围，即可得出结果.
【详解】因为，所以，则，，
，所以，
故选：D
4. 已知函数（且，，为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（ ）

A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】D
【解析】【分析】根据函数图象及对数函数的性质可求解.
【详解】因为函数为减函数，所以
又因为函数图象与轴的交点在正半轴，所以，即
又因为函数图象与轴有交点，所以，所以，
故选：D
5. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】【分析】利用二倍角公式计算可得；【详解】解：因为，
所以.
故选：A.
6. 已知，在下列条件中，使得成立的一个充分而不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】【分析】由充分而不必要条件的定义，再结合不等的性质依次判断即可.
【详解】对于选项A，是成立的一个充要条件，即选项A不符合题意；
对于选项B，由，可知，则，反之不成立，即选项B是成立的一个充分而不必要条件，即选项B成立；
对于选项C，若，满足，但是不成立，即选项C不符合题意；
对于选项D，由，不能判断的大小关系，即选项D不符合题意.
故选：B.
【点睛】此题考查了不等式的性质、充分而不必要条件的判断，属于基础题.
7. 函数的零点个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】【分析】由得，再在同一坐标系下画出函数的图像，观察函数的图像即得解.【详解】解：令得，
在同一直角坐标系内画出函数和的图象，
由图象知，两函数的图象恰有3个交点，即函数有3个零点，
故选：C.

8. 设，，，是平面内四个不同的点，且，则向量与（ ）
A. 同向平行 B. 反向平行
C. 互相垂直 D. 既不平行也不垂直
【答案】B
【解析】【分析】设，，则对原式化简可得，从而有，进而可判断出与的关系
【详解】设，，则原式可化为
即，即
所以，所以与反向平行，
故选：B
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 对于任意两个向量，下列命题正确的是（ ）
A. B.
C. D. 若，则
【答案】AC
【解析】【分析】由向量的概念、加法、减法和数量积运算依次判断4个选项即可.
【详解】对于A，显然正确；对于B，当为非零向量，且时，
显然，B错误；
对于C，，C正确；
对于D，向量无法比较大小，D错误.
故选：AC.
10. 下列命题中正确的是（ ）
A. 若复数满足，则 B. 若复数满足，则
C. 若复数满足，则 D. 若复数满足，则
【答案】ACD
【解析】【分析】利用复数分类可判断AB；利用，分、讨论可判断C；利用复数的分类可判断D.
【详解】设复数，是虚单位.
对于A，由得，则，所以A正确；
对于B，取，可得，所以B不正确；
对于C，由，故ab=0,
若则，，所以
若，则，所以C正确；
对于D，因为，由得，，所以D正确.
故选：ACD.
11. 已知直线是函数的一条对称轴，则（ ）
A. 点是函数的一个对称中心
B. 函数在上单调递减
C. 函数的图像可由的图像向左平移个单位长度得到
D. 函数与的图像关于直线对称
【答案】BD
【解析】【分析】根据题意和三角函数对称轴的定义求得，进而求得函数的解析式，利用整体代换法、代入检验法和正弦函数的单调性依次判断选项即可.
【详解】因为直线是函数的一条对称轴，
所以，，∴，
故函数，因为，所以A错误；
当时，，
所以函数在上单调递减，故B正确；
函数的图像向左平移个单位长度
得到函数的图像，所以C错误；
因为，
所以D正确，
故选BD.
12. 在正三棱柱中，，点满足，其中，，则下列说法正确的是（ ）
A. 当时，则存在点，使得
B. 当时，则存在点，使得，，三点共线
C. 当时，则存在点，使得，，，四点共面
D. 当时，则存点，使得
【答案】BCD
【解析】【分析】直接利用异面直线的定义和线面垂直及面面垂直的充要条件和平面向量的共线的应用判断各项的结论．
【详解】由题知，，，
对于选项A和B，当时，点在线段上，故直线与异面，所以A错误；
当为线段的中点时，，，三点共线，所以B正确；

对于选项C，当时，取线段、的中点分别为，，连接，
因为，即，所以，则点在线段上.
当位于与的交点处时，，，，四点共面，所以C正确；
对于选项D：当时，取的中点，的中点，因为，，所以，则点在线段上，当点在点处时，取的中点，连接，，因为平面，又平面，所以
在正方形中，.又，，平面.
故平面，又平面，所以，所以D正确，
故选：BCD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 设z＝＋i(i为虚数单位)，则|z|＝________.
【答案】
【解析】【分析】根据复数除法运算法则，结合复数模公式进行求解即可.
【详解】,.
故答案为：
【点睛】本题考查了复数除法的运算法则和复数模的计算，考查了数学运算能力.
14. 若，，，则以，为邻边的平行四边形的面积是______.
【答案】
【解析】【分析】根据数量积定义可得，然后由三角形面积公式可得.
【详解】由得，
因为，所以，
于是该平行四边形的面积.
故答案为：
15. 已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的内切球（球与圆锥的底面和侧面均相切）的表面积为______.
【答案】
【解析】【分析】根据已知先求母线长，再结合轴截面可得半径，然后可得.
【详解】有题意可知，，所以
所以，圆锥的轴截面是边长为的正三角形，圆锥的内切球的半径等于该正三角形的内切圆的半径，
所以，
所以该圆锥的内切球的表面积为.
故答案为：

16. 拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（此等边三角形称为拿破仑三角形）的顶点”.在中，已知，且，现以，，为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为，，，则的面积最大值为______.
【答案】##
【解析】【分析】设的三个内角，，的对边分别为，，，连接，则，由等边三角形的性质可求出，从而可求出，在中，利用余弦定理结合基本不等式可得，从而可求出的面积最大值
【详解】设的三个内角，，的对边分别为，，.
连接，则由题设得，，

因为以，，为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为，，，
所以，，所以
在中，由余弦定理可得
即又，∴
即（等号当时成立），由题意可得为等边三角形，
故故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
17. 已知函数
（1）讨论函数的周期性和奇偶性；
（2）若，，求的值.
【答案】（1）函数是周期为，为奇函数 （2）或
【解析】【分析】(1)根据两角和的正、余弦公式和同角三角函数的基本关系以及二倍角的正弦公式可得，结合、即可得出函数的周期与奇偶性；
(2)由(1)可得，结合角的取值范围即可求出结果.
【小问1详解】
，
因为

所以函数是周期为，为奇函数；
【小问2详解】由，得，即
因为，所以，
于是或
故或


18. 如图，在长方体中，，分别是线段，的中点.

（1）证明：平面；
（2）若，直线与所成角的余弦值是，求四面体的体积.
【答案】（1）证明见解析 （2）
【解析】【分析】(1)设为的中点，连接、，则、，利用面面平行的判定定理即可证明；
(2)由（1）知是异面直线与所成角，解三角形得，结合三棱锥的体积公式计算即可.
【小问1详解】
设为的中点，连接，，则，，
又平面，平面，平面，
所以平面，平面，

又平面，所以平面平面，
又平面，所以平面；
【小问2详解】
由（1）知，是异面直线与所成角，所以，
在中，因为，.所以，
因此.
19. 读书可以增长知识，开拓视野，修身怡情.树人中学为了解本校学生课外阅读情况，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全校学生中抽出一个容量为100的样本，其中男生40名，女生60名.经调查统计，分别得到40名男生一周课外阅读时间（单位：小时）的频数分布表和60名女生一周课外阅读时间（单位：小时）的频率分布直方图.
男生一周阅读时间频数分布表
小时
频数

9

25

3

3

（1）由以上频率分布直方图估计该校女生一周阅读时间的众数和75%分位数；
（2）由以上频数分布表和频率分布直方图估计总样本的平均数；
（3）从一周课外阅读时间为的样本学生中按比例分配抽取6人，再从这6人中任意抽取2人，求恰好抽到一男一女的概率.
（注：以各组的区间中点值代表该组的各个值）
【答案】（1）分位数是，众数是3 （2）3.6 （3）
【解析】【分析】(1)根据频率分布直方图，结合众数、百分位数的求法计算即可；
(2)根据频数分布表直接求出男生一周课外阅读时间平均数，根据频率分布直方图，结合平均数的求法求出女生一周课外阅读时间的平均数，即可求出总样本的平均数；
(3)根据频数分布表与频率分布直方图求出一周课外阅读时间为的男生与女生人数，结合古典概型的概率公式计算即可.
【小问1详解】
由女生一周阅读时间的频率分布直方图知，阅读时间的众数是3，
设女生一周阅读时间的75%分位数为，，解得；
小问2详解】
由频数分布表估计男生一周课外阅读时间平均数
由频率分布直方图估计女生一周课外阅读时间的平均数

所以估计总样本的平均数
【小问3详解】
由频数分布表，频率分布直方图知，一周课外阅读时间为的学生中男生有3人，
女生有（人）
若从中按比例分配抽取6人，则男生有1人，记为，女生有5人，记为，，，，，
则样本空间，
共有15个样本点.记事件“恰好一男一女”，则
故所求概率.










20. 如图，在三棱锥中，，，两两互相垂直，，分别是，的中点.

（1）证明：；
（2）设，，和平面所成角的大小为，求二面角的大小.
【答案】（1）证明见解析； （2）.
【解析】【分析】（1）取的中点，连接，，由三角形的中位线与已知条件可知，，，证得平面，从而得到；
（2）根据几何关系得到平面、平面、平面，从而得出为二面角的平面角，是和平面所成的角，再根据解三角形知识求出、的长，进而得到的大小.
【小问1详解】
取的中点，连接，.

因为，分别是，中点.所以，
又因为，所以，，
又，平面.
又平面，所以.
【小问2详解】因为，，，所以平面，
所以为二面角的平面角，
又因为，，所以平面，.
连接，则
在中，
因，所以平面.
故是和平面所成的角，
即，且，
在中，，，所以，
故所求二面角的大小为.
21. 目前，新冠还在散发，防疫任重道远，经济下行，就业压力大，为此，国家大力提倡大学生自主创业.小李大学毕业后在同一城市开了，两家小店，每家店各有2名员工.五一期间，假设每名员工请假的概率都是，且是否请假互不影响.若某店的员工全部请假，而另一家店没有人请假，则调剂1人到该店以维持正常运转，否则该店就关门停业.
（1）求有员工被调剂的概率；
（2）求至少有一家店停业的概率.
【答案】（1） （2）
【解析】【分析】(1)设事件“家小店有名员工请假”，“家小店有名员工请假”，其中，根据事件的基本关系和独立事件的概率公式即可求出有员工被调剂的概率；
(2)记事件“至少有1家店停业”，则，根据事件的基本关系和独立事件的概率公式计算即可.
【小问1详解】记事件“家小店有名员工请假”，
“家小店有名员工请假”，其中，
由题设知，事件，相互独立，且，
，
记事件“有员工被调剂”，则，且，互斥，
所以，
故有员工被调剂的概率为；
【小问2详解】记事件“至少有1家店停业”，则，
且，，互斥，
所以，
故至少有一家店停业的概率为.
22. 已知的三个内角，，的对边分别为，，，且
（1）若，判断的形状并说明理由；
（2）若是锐角三角形，求的取值范围.
【答案】（1）是等边三角形，理由见解析 （2）
【解析】【分析】(1)根据平面向量数量积的定义和余弦定理可得，结合题意与正弦定理可得，利用诱导公式计算分析即可得出结果；
(2)设，则，进而有，根据余弦定理可得，结合函数的单调性求出的取值范围，进而得出的取值范围.
【小问1详解】是等边三角形.理由如下：
由数量积的定义得，.
由余弦定理得，
即，由正弦定理及，
得，即，
因为，所以或，
当时，是等腰三角形，此时，所以是等边三角形；
当，即时，是直角三角形，这与矛盾.
故是等边三角形.
【小问2详解】不妨设，由，
得，于是，
又因为是锐角三角形，所以，即，因此，
由余弦定理得，，
令，则，函数在上单调递增.
所以，因此
故的取值范围是.