2023年浙江省杭州市萧山区河庄初级中学中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2023年浙江省杭州市萧山区河庄初级中学中考数学一模试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年浙江省杭州市萧山区河庄初级中学中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  我国在年月开展了第七次人口普查，普查数据显示，我国年总人口达到亿，将亿用科学记数法表示为(    )A.  B.  C.  D. 2.  如图所示的几何体的左视图是(    )A.
B.
C.
D. 3.  下列运算正确的是(    )A.  B.  C.  D. 4.  甲、乙两超市在月至月间的盈利情况统计图如图所示，下面结论不正确的是(    )
A. 甲超市的利润逐月减少 B. 乙超市的利润在月至月间逐月增加
C. 月份两家超市利润相同 D. 乙超市在月份的利润必超过甲超市5.  函数中自变量的取值范围是(    )A. 且 B.  C.  D. 6.  如图，正五边形内接于，为上的一点点不与点重合，则的度数为(    )

 A.  B.  C.  D. 7.  在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点是(    )A.  B.  C.  D. 8.  如图，已知直线：与坐标轴分别交于、两点，那么过原点且将的面积平分的直线的解析式为(    )A.
B.
C.
D. 9.  幻方是古老的数学问题，我国古代的洛书中记载了最早的幻方九宫格．将个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的个数之和相等，例如图就是一个幻方．图是一个未完成的幻方，则与的和是(    )

 A.  B.  C.  D. 10.  在中，，分别过点，作平分线的垂线，垂足分别为点，，的中点是，连接，，则下列结论错误的是(    )A.  B.  C.  D. 二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11.  按如图所示的程序计算函数的值，若输入的值为，则输出的结果为______．

 12.  孙子算经中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余尺；将绳子对折再量木条，木条剩余尺，问木条长多少尺？”如果设木条长尺，绳子长尺，可列方程组为______．13.  若，且，则的取值范围为______ ．14.  已知点在一个反比例函数的图象上，点与点关于轴对称．若点在正比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式为______．15.  如图，为等边三角形，边长为，，垂足为点，点和点分别是线段和上的两个动点，连接，，则的最小值为______．
 16.  在求的值时，张红发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的倍，于是她假设：，
然后在式的两边都乘以，得：，
得，，即，
所以．
得出答案后，爱动脑筋的张红想：如果把“”换成字母且，能否求出的值？如能求出，其正确答案是______ ．三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.  本小题分
先化简，再求值：，其中．18.  本小题分
某校为了解本校九年级男生“引体向上”项目的训练情况，随机抽取该年级部分男生进行了一次测试满分分，成绩均记为整数分，并按测试成绩单位：分分成四类：类，类，类，类绘制出以下两幅不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题：
本次抽取样本容量为______，扇形统计图中类所对的圆心角是______度；
请补全统计图；
若该校九年级男生有名，请估计该校九年级男生“引体向上”项目成绩为类的有多少名？

 19.  本小题分
某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙墙的长度为，另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为：的矩形，已知栅栏的总长度为，设较小矩形的宽为如图．
若矩形养殖场的总面积为，求此时的值；
当为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？
 
 
 20.  本小题分
如图，在中，以为直径的与线段交于点，过点作，垂足为，的延长线与的延长线交于点．
求证：直线是的切线；
若的半径为，，求的长．
21.  本小题分
汛期到来，山洪暴发．下表记录了某水库内水位的变化情况，其中表示时间单位：，表示水位高度单位：，当时，达到警戒水位，开始开闸放水．在给出的平面直角坐标系中，根据表格中的数据描出相应的点．
请分别求出开闸放水前和放水后最符合表中数据的函数解析式．
据估计，开闸放水后，水位的这种变化规律还会持续一段时间，预测何时水位达到．

 22.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，的顶点，分別是直线与坐标轴的交点，点的坐标为，点是边上的一点，于点，点在边上，且，两点关于轴上的某点成中心对称，连结，设点的横坐标为，为，请探究：
线段长度是否有最小值．
能否成为直角三角形．
小明尝试用“观察猜想验证应用”的方法进行探究，请你一起来解决问题．
小明利用“几何画板”软件进行观察，测量，得到随变化的一组对应值，并在平面直角坐标系中以各对应值为坐标描点如图请你在图中连线，观察图象特征并猜想与可能满足的函数类别．
小明结合图，发现应用三角形和函数知识能验证中的猜想，请你求出关于的函数表达式及自变量的取值范围，并求出线段长度的最小值．
小明通过观察，推理，发现能成为直角三角形，请你求出当为直角三角形时的值．

 23.  本小题分
如图，在矩形中，，，点是边上的点，，连接，交于点．

求证：≌；
连接，求的值；
连接交于点，求的值．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：亿．
故选：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
 2.【答案】 【解析】解：从几何体的左面看是一个矩形，
几何体的左视图是矩形．
故选：．
根据左视图是从物体左面看，所得到的图形，通过观察几何体可以得到答案．
本题考查简单几何体的三视图，掌握三视图的画法是解答的关键．
 3.【答案】 【解析】解：，故此选项不符合题意；
B.，计算正确，故此选项符合题意；
C.，故此选项不符合题意；
D.，不是同类项，不能合并计算，故此选项不符合题意；
故选：．
根据同底数幂的乘法，积的乘方，同底数幂的除法，合并同类项法则进行计算，从而作出判断．
本题考查同底数幂的乘法，积的乘方，同底数幂的除法，掌握运算法则准确计算是解题关键．
 4.【答案】 【解析】解：、甲超市的利润逐月减少，此选项正确；
B、乙超市的利润在月至月间逐月增加，此选项正确；
C、月份两家超市利润相同，此选项正确；
D、乙超市在月份的利润不一定超过甲超市，此选项错误；
故选：．
根据折线图中各月的具体数据对四个选项逐一分析可得．
本题主要考查折线统计图，折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来．以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化．
 5.【答案】 【解析】【分析】
本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为；算术平方根的性质．自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义：
当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．
当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．
当函数的表达式是算术平方根时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．
对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义．
根据算术平方根的性质和分式的意义，被开方数大于等于，分母不等于，就可以求解．
【解答】
解：根据算术平方根有意义，分式有意义得：且，
解得：且．
故选：．  6.【答案】 【解析】解：如图，连接，．

是正五边形，
，
，
故选：．
连接，求出的度数，再根据圆周角定理即可解决问题；
本题考查正多边形和圆、圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 7.【答案】 【解析】解：点关于原点对称的点的坐标是，
故选：．
根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答．
本题考查了关于原点对称的点的坐标，熟记关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数是解题的关键．
 8.【答案】 【解析】解：如图，当，，解得，则；
当，，则，
的中点坐标为，
过原点的直线把平分，
直线过的中点，
设直线的解析式为，
把代入得，解得，
的解析式为，
故选：．
根据坐标轴上点的坐标特征求出，，则的中点为，所以经过的中点，直线把平分，然后利用待定系数法求的解析式；
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，明确直线过的中点是解题的关键．
 9.【答案】 【解析】解：每一横行、每一竖列以及两条对角线上的个数之和相等，
最左下角的数为：，
最中间的数为：，或，
最右下角的数为：，或，
，
解得：，
，
故选：．
由题意：每一横行、每一竖列以及两条对角线上的个数之和相等，表示出最中间的数和最右下角的数，列出二元一次方程组，解方程组即可．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 10.【答案】 【解析】解：根据题意可作出图形，如图所示，并延长交于点，延长交于点，

在中，，分别过点，作平分线的垂线，垂足分别为点，，
，
点，，，四点到的中点的距离相等，
点，，，四点在以斜边为直径的圆上，
平分，
，
，故选项C正确，
点是的中点，
，
又，
，
点是线段的中点，
，
，
，，
，
，，
点是的中点，
，
≌，
，
故选项D正确，
，
故选项B正确，
综上，由已知条件不能证出，故选项A的结论不正确．
故选：．
根据题意作出图形，可知点，，，四点共圆，再结合点是中点，可得，又，，可得≌，可得，延长交于点，可得是的中位线，再结合直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得，得到角之间的关系，可得．
本题主要考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，圆周角定理，中位线定理，全等三角形的性质与判定等，根据题中条件，作出正确的辅助线是解题关键．
 11.【答案】 【解析】解：，
代入，得，
故答案为：．
根据确定出应代入中计算出的值．
本题主要考查函数值的计算，理解题意是前提条件，熟练掌握函数值的定义是解题的关键．
 12.【答案】 【解析】解：根据题意得：；
故答案为：．
用一根绳子去量一根木条，绳子剩余尺可知：绳子比木条长尺得：；绳子对折再量木条，木条剩余尺可知：绳子对折后比木条短尺得：；组成方程组即可．
本题是二元一次方程组的应用，列方程组时要抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系；因为此类题要列二元一次方程组，因此要注意两句话；同时本题要注意绳子对折，即取绳子的二分之一．
 13.【答案】 【解析】解：由得，
根据可知，
当时，取得最大值，且最大值为，
当时，取得最小值，且最小值为，
所以．
故答案为：．
由得，根据可得，当时，取得最大值，当时，取得最小值，将和代入解析式，可得答案．
 14.【答案】 【解析】解：点与点关于轴对称，点，
点，
点在正比例函数的图象上，
，
，
点在一个反比例函数的图象上，
反比例函数的表达式为，
故答案为：．
根据轴对称的性质得出点，代入求得，由点在一个反比例函数的图象上，从而求得反比例函数的解析式．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，求得的坐标是解题的关键．
 15.【答案】 【解析】解：过作交于，
则此时，的值最小，且的最小值，
为等边三角形，边长为，
，
，
的最小值为，
故答案为：．
过作交于，则此时，的值最小，且的最小值，根据等边三角形的性质得到，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了轴对称最短路线问题，关键是画出符合条件的图形．
 16.【答案】且 【解析】解：设且，
将得：，
由得：，即，
且．
故答案为：且．
仿照例子，将换成，设且，则有，二者做差后两边同时除以，即可得出结论．
本题考查了规律型中的数字的变化类，解题的关键是仿照例子计算本题属于基础题，难度不大，本题其实是等比数列的求和公式，但初中未接触过该方面的知识，需要借助于错位相减法来求出结论，此题中尤其要注意的取值范围．
 17.【答案】解：


，
当时，原式． 【解析】根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后将的值代入即可解答本题．
本题考查分式的化简求值、特殊角的三角函数值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
 18.【答案】；；
类学生数为：，
类占抽取样本的百分比为：，
类占抽取样本的百分比为：，
补全的统计图如右图所示，
名
即该校九年级男生“引体向上”项目成绩为类的有名． 【解析】解：由题意可得，
抽取的学生数为：，
扇形统计图中类所对的圆心角是：，
故答案为：，；
类学生数为：，
类占抽取样本的百分比为：，
类占抽取样本的百分比为：，
补全的统计图如右图所示，
名
即该校九年级男生“引体向上”项目成绩为类的有名．
根据统计图可以得到抽查的学生数，从而可以求得样本容量，由扇形统计图可以求得扇形圆心角的度数；
根据统计图可以求得类学生数和类与类所占的百分比，从而可以将统计图补充完整；
根据统计图可以估计该校九年级男生“引体向上”项目成绩为类的有多少名．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用本估计总体，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 19.【答案】解：根据题意知：较大矩形的宽为，长为 ，
，
解得或，
当时，，不符合题意，舍去，
，
答：此时的值为；
设矩形养殖场的总面积是，
墙的长度为，
，
根据题意得：，
，
当时，取最大值，最大值为，
答：当时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为． 【解析】本题考查一元二次方程和二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程及函数关系式．
根据题意知：较大矩形的宽为，长为 ，可得，解方程取符合题意的解，即可得的值为；
设矩形养殖场的总面积是，根据墙的长度为，可得，而，由二次函数性质即得当时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为．
 20.【答案】证明：连接，如图：

，
，
，
，
，
，
，
，即，
是的半径，
是的切线；
解：连接，连接，如图：

，
，
，
，
，
是等边三角形，
的半径为，
，，
是的直径，
，
，
在中，
，
答：的长是． 【解析】连接，根据，，得，从而，由，即可得，故是的切线；
连接，连接，由，，得，又，可得是等边三角形，即可得，，而是的直径，得，可得，在中，即得的长是．
本题考查圆的综合应用，涉及圆的切线，等腰三角形性质及应用，含特殊角的直角三角形三边关系等，解题的关键是判定是等边三角形．
 21.【答案】解：在平面直角坐标系中，根据表格中的数据描出相应的点，如图所示．

    观察图象当时，与可能是一次函数关系：
设，把，代入得
解得：，，与的关系式为：，
经验证，，都满足，
因此放水前与的关系式为：  ．
观察图象当时，与就不是一次函数关系：通过观察数据发现：．
因此放水后与的关系最符合反比例函数，关系式为：
所以开闸放水前和放水后最符合表中数据的函数解析式为：  和．
  当时，，解得：，
因此预计水位达到． 【解析】根据描点的趋势，猜测函数类型，发现当时，与可能是一次函数关系：当时，与就不是一次函数关系：通过观察数据发现与的关系最符合反比例函数．
根据图象猜测函数类型，尝试求出，再验证确切性；也可根据自变量和函数的变化关系进行猜测，关系式确定后，可以求自变量函数的对应值．
 22.【答案】解：用描点法画出图形如图，由图象可知函数类别为二次函数．

如图，过点，分别作，垂直于轴，垂足分别为，，

记交轴于点，
则，
点与点关于轴上的点成中心对称，
，
，
≌，
，
直线的解析式为，
时，，
，
又，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
过点作轴于点，
点的橫坐标为，
，
，，
，
，
令，得，
．
当时，的最小值为，
的最小值为．
为定角，不可能为直角．
时，点与点重合，点与点，点重合，此时．
如图，时，有．

由得，
又，，
，
又，
，
化简得，，
解得，不合题意，舍去，
．
综合以上可得，当为直角三角形时，或． 【解析】本题考查了描点法画函数图象，待定系数法，全等三角形的判定与性质，坐标与图形的性质，二次函数的性质，勾股定理，中心对称的性质，直角三角形的性质等知识，熟练掌握方程思想及分类讨论思想是解题的关键．
根据描点法画图即可；
过点，分别作，垂直于轴，垂足分别为，，证明≌，由全等三角形的性质得出，可求出，根据勾股定理得出，由二次函数的性质可得出答案；
分三种不同情况，根据直角三角形的性质得出的方程，解方程求出的值，则可求出答案．
 23.【答案】证明：四边形是矩形，
，，
，，
在和中，

≌；
连接交于点．

≌，
，，
．
．
．
．
在中，，，
，
．
过点作交的延长线于点．

，
．
在中，
．
．
． 【解析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例、锐角三角函数的定义以及解直角三角形，掌握矩形的性质定理、全等三角形的判定定理和性质定理、解直角三角形是解题的关键．
根据勾股定理求出，利用全等三角形的判定定理证明即可；
连接交于点，根据全等三角形的性质得到，，证明，求出，得到答案；
过点作交的延长线于点，根据平行线分线段成比例定理得到，根据余弦的概念求出，计算即可．