2023年江苏省南通市海安市海陵中学中考数学一模试卷（含解析）

2023年江苏省南通市海安市海陵中学中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  是第五代移动通信技术，网络理论下载速度可以达到每秒以上用科学记数法表示是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图是某几何体的三视图，该几何体是(    )

A. 圆柱
B. 球
C. 三棱柱
D. 长方体

3.  正五边形的内角和是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  若关于的方程有两个相等的实数根，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，在中，弦，相交于点，，，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  已知是整数，当取最小值时，的值是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  我国古代数学著作孙子算经中有“多人共车”问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步问人与车各几何？其大意是：每车坐人，两车空出来；每车坐人，多出人无车坐问人数和车数各多少？设车辆，根据题意，可列出的方程是(    )

A.  B.
C.  D.

8.  实数，，在数轴上对应点的位置如图所示，若，则下列结论中一定成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，在菱形中，按如下步骤作图：分别以点和点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点、；作直线，且恰好经过点，与交于点，连接，若，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，在矩形中，动点从点出发，沿方向运动，当点到达点时停止运动，过点作，交于点，设点的运动路程为，，如图所表示的是与的函数关系的大致图象，当点在上运动时，的最大长度是，则矩形的面积是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共30.0分）

11.  要使分式有意义，则的取值范围为_________．

12.  分解因式：        ．

13.  已知点在第三象限，则的取值范围是______ ．

14.  已知二次函数、、为常数，且的与的部分对应值如下表：

则关于的一元二次方程的根是______．

15.  用一个圆心角为，半径为的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为______．

16.  为测量附中国旗杆的高度，小宇的测量方法如下：如图，将直角三角形硬纸板的斜边与地面保持平行，并使边与旗杆顶点在同一直线上．测得米，米，目测点到地面的距离米，到旗杆的水平距离米，按此方法，可计算出旗杆的高度为______米．

17.  如图，在平面直角坐标系中，直线与直线分别与函数的图象交点、两点，连接、，若的面积为，则的值为______ ．

18.  已知点为直线上一点，将一直角三角板的直角顶点放在处旋转，保持两直角边始终轴交于、两点，为轴上一点，连接，，则四边形面积的最小值为______．

三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
先化简，再求值：，其中，．
解方程：．

20.  本小题分
如图是一个手机支架，图是其侧面示意图，，可分别绕点，转动，经测量，，当，转动到，时，求点到的距离．结果保留小数点后一位
参考数据：，，，，，，．

21.  本小题分
为深入学习贯彻党的二十大精神，某学校决定举办“青春心向党，奋进新征程”主题演讲比赛，该校九年级一班有男女共名学生报名参加演讲比赛．
若从报名的名学生中随机选名，则所选的这名学生是女生的概率是______ ；
若从报名的名学生中随机选名，用画树状图或列表的方法，求这名学生都是女生的概率．

22.  本小题分
学校对甲、乙两班各名学生进行“数学学科能力”测试，测试完成后分别抽取了份成绩，整理分析过程如下，请补充完整：
甲班名学生测试成绩统计如下：，，，，，，，，，；
乙班名学生测试成绩不低于，但低于分的成绩如下：，，，，．

【整理数据】按如下分数段整理、描述这两组样本数据：

【分析数据】两组样本数据的平均数、众数、中位数、方差如表所示：

根据以上信息，可以求出：______，______，______，______．
请根据数据分析，你认为哪个班的学生数学学科能力整体水平较好，请说明理由；
若规定得分在分及以上为合格，请估计参加数学学科能力测试的学生中合格的学生共有多少人．

23.  本小题分
如图，，，三点在上，直径平分，过点作交弦于点，在的延长线上取一点，使得．
求证：是的切线；
连接交于点，若，，求的长．

24.  本小题分
已知抛物线经过点点，为抛物线上两个不同的点，且满足，．
用含的代数式表示；
当时，求抛物线的对称轴及的值；
当时，求的取值范围．

25.  本小题分
如图，在中，，，将绕点按顺时针方向旋转得．
如图，当时，、交于点，、交于点，求证：；
如图，当在上时，连，求的值；
若绕点顺时针旋转，，是中点，在延长线上，且，在旋转过程中，的最小值为______．

 

26.  本小题分
对于平面直角坐标系中的图形和点，给出如下定义：为图形上任意一点，将，两点间距离的最小值记为，最大值记为，称与的差为点到图形的“差距离”，记作，即，已知点，
求；
点为直线上的一个动点，当时，点的横坐标是______；
点为函数图象上的任意一点，当时，直接写出的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

2.【答案】 

【解析】解：由几何体的主视图和左视图都是宽度相等的长方形，
故该几何体是一个柱体，
又俯视图是一个圆，
故该几何体是一个圆柱．
故选：．
根据一个空间几何体的主视图和左视图都是宽度相等的长方形，可判断该几何体是柱体，进而根据俯视图的形状，可判断柱体侧面形状，得到答案．
本题考查的知识点是三视图，如果有两个视图为三角形，该几何体一定是锥，如果有两个矩形，该几何体一定柱，其底面由第三个视图的形状决定．
 

3.【答案】 

【解析】解：多边形的内角和为．
故选：．
利用多边形的内角和为即可解决问题．
本题利用多边形的内角和公式即可解决问题．
 

4.【答案】 

【解析】解：方程有两个相等的实数根，
，
解得，
故选：．
本题考查根的判别式，解答本题的关键是明确一元二次方程有两个相等的实数根时．
 

5.【答案】 

【解析】解：和都是所对的圆周角，
，
．
故选：．
先根据圆周角定理得到，然后根据三角形外角的性质计算的度数．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，
最接近的整数是，
当取最小值时，的值是，
故选：．
根据绝对值的意义，由与最接近的整数是，可得结论．
本题考查了估算和绝对值的意义，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查从实际问题抽象出一元一次方程  设车辆，根据乘车人数不变，即可得出关于的一元一次方程即可．
【解答】

解：设车辆，
根据题意得：
故选B．

8.【答案】 

【解析】解：由数轴知，因此不能判断，，，故A，，C错误；
而由得，
由于，
故，
因此D正确，
故选：．
根据、、三个数在数轴上的位置知，再利用有理数的加法法则、除法法则、不等式的性质逐一判断即可得．
本题主要考查不等式的性质，应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以或除以同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以或除以含有字母的数时，一定要对字母是否大于进行分类讨论．
 

9.【答案】 

【解析】解：四边形为菱形，
，
依题意．题中作图为作边垂直平分线，
，，
在中，由勾股定理得：，
，
，

由勾股定理得：
，
故选：．
根据题干的步骤作图即可；由题干的作图步骤可知，此作法为作线段的垂直平分线，可知，，即，则可利用勾股定理求得，从而求得．
此题主要考查垂直平分线的作法，菱形的性质，勾股定理解直角三角形，此题的关键在能根据作图步骤知道作图所表示的含义．
 

10.【答案】 

【解析】解：若点在上时，如图

，，
，
在和中，，，
∽，
由二次函数图象对称性可得在中点时，有最大值，此时，，即，
，当时，代入方程式解得：不合题意，舍去，，
，
，，
矩形的面积为．
故选：．
易证∽，可得，根据二次函数图象对称性可得在中点时，有最大值，列出方程式即可解题．
本题考查了二次函数动点问题，考查了相似三角形的判定和性质，考查了矩形面积的计算，本题中由图象得出为中点是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】先根据分式有意义的条件列出关于的不等式，求出的取值范围即可．
解：分式有意义，
，解得．
故答案为：．
本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解答此题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
故答案为：．
直接提取公因式进行分解因式即可．
本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：点在第三象限，
，
解不等式得：，
解不等式得：，
原不等式组的解集为：，
故答案为：．
根据点的位置可得，然后按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，点的坐标，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

14.【答案】， 

【解析】解：由抛物线经过点，可得抛物线抛物线对称轴为直线，
抛物线经过，对称轴为直线，
抛物线经过，
一元二次方程的根是，．
故答案为：，．
由抛物线经过点，可得抛物线对称轴，根据抛物线对称性及抛物线经过求解．
本题考查抛物线与轴的交点，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程的关系．
 

15.【答案】 

【解析】解：扇形的弧长，
设圆锥的底面半径为，则，
所以．
故答案为：；
根据弧长公式先计算出扇形的弧长，再利用圆的周长和圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长求解．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
 

16.【答案】 

【解析】解：，为直角三角形，
，
，
∽，
，
米，米，米，
，
米，
米，
米，
米，
故答案为：．
根据题意证出∽，进而利用相似三角形的性质得出的长，即可得出答案．
此题主要考查了相似三角形的应用；由三角形相似得出对应边成比例是解题关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：设直线交轴于点，则，连接，

由题意可知，
，
的面积为，
，即，
，
在第二象限，
的横坐标为，
把代入得，，
，
函数的图象过点，
，
故答案为：．
由两条直线的解析式即可得到两直线平行，根据同底等高的三角形面积相等，即可得到，由的面积为，得到，解得的横坐标，代入求得纵坐标，把的坐标代入即可求得的值．
本题考查了两条直线的平行问题，三角形的面积，一次函数图象上点的坐标特征，求得的坐标是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：点为直线上一点，
，
，
过点作于，
，，
设，，，，
，，，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
，

要使四边形面积的最小值，则有最小，
而



当时，即：时，最小，最小值为，
，
故答案为：．
把点的坐标代入直线中，求得的值，进而得出，，在判断出∽，得出，即：，进而得出，再判断出最小时，四边形面积最小，最后配方即可得出结论．
此题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，三角形的面积公式，配方法，将配方成是解本题的关键．
 

19.【答案】解：原式，

；
把，代入得，；

去分母得，，
去括号得，，
移项、合并同类项得，，
系数化为得，，
把代入得：，
是原方程的解． 

【解析】根据平方差公式和完全平方公式进行化简，再代入值进行计算即可；
根据解分式方程的一般步骤进行求解即可．
本题考查了整式的化简求值、解分式方程，熟练掌握平方差公式和完全平方公式及解分式方程的一般步骤是解题的关键．
 

20.【答案】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，垂足为，

则四边形是矩形，
，
在中，，，
，
，
，
，
，
，
在中，，，
，
，
，
答：点到的距离为． 

【解析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，垂足为，分别在和中利用正弦函数求出和的长，则可求得，又可得四边形是矩形，则根据矩形的性质得，即可得出结论．
 

21.【答案】 

【解析】解：由题意可得，

由图可得总共有种等可能情况，是女生的等情况数有种，
所选的这名学生是女生的概率是，
选的这名学生是女生的概率是；
由题意可得，

由图可得总共有种等可能情况，是女生的等情况数有种，
名学生都是女生的概率，
这名学生都是女生的概率为．
利用树状图列出所有情况，找出所选的这名学生是女生的情况，代入即可得到答案；
利用树状图列出所有情况，找出名学生都是女生的情况，代入即可得到答案．
本题考查利用树状图法求概率，解题的关键是正确列出树状图．
 

22.【答案】       

【解析】解：甲班名学生测试成绩统计如下：，，，，，，，，，，
其中出现了两次，次数最多，所以众数；
将乙班名学生测试成绩按从小到大的顺序排列，第、个数字为，．
所以中位数．
甲班组的百分比为：，
，
甲班组的百分比为：，
，
故答案为：，，，；

甲班的学生数学学科能力整体水平较好，
甲班平均数乙班平均数，甲班中位数乙班中位数，甲班的方差乙班的方差，
甲班的学生数学学科能力整体水平较好；

人．
即参加数学学科能力测试的学生中合格的学生共有人．
根据众数和中位数的定义求解可得，的值，根据表中的数据可得，的值；
根据平均数、中位数与方差的意义说明即可；
用总人数乘样本中合格人数所占比例可得．
本题考查了频数率分布直方图：提高读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．也考查了平均数，中位数，众数，方差以及用样本估计总体．
 

23.【答案】证明：平分，
．
，
．
．
，
．
，
．
．
是半径，
是的切线．
解：连接，
是的直径，

．
，，
≌．
，．
，
，．
，
．
，．
．
，
∽．
．
．
． 

【解析】先得出，进而得出，即可得出结论；
连接，利用全等三角形的判定得出≌，进而解答即可．
主要考查了切线的判定，关键是根据全等三角形的判定和性质解答．
 

24.【答案】解：过，
，
；
，为抛物线上两个不同的点，，
，关于对称轴对称，
而，
对称轴为直线，
即：，
；
将点，代入得：
，，
，


，
，，
，．
．
且． 

【解析】将代入，变形即可得答案；
由知、关于对称轴对称，即可根据求出对称轴；
由且得即可得答案．
本题考查二次函数综合知识，解题的关键是熟练应用二次函数的性质．
 

25.【答案】 

【解析】证明：如图中，设交于点，过点作于点．

绕点按顺时针方向旋转得，
≌，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；

解：如图中，过点作于点．

，
可以假设，，则，
，
，
，，
，
，
，
，，，四点共圆，
，
，
，
；

解：如图中，延长到，使得，连接，．

，，，
，
，
，
∽，
，
，
，
，，，
，
，
的最小值为．
故答案为：．
如图中，设交于点，过点作于点利用全等三角形的性质证明，可得结论；
如图中，过点作于点设，，则，求出即可；
如图中，延长到，使得，连接，证明∽，推出，推出，可得，求出即可解决问题．
本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，全等三角形的性质，角平分线的判定，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
 

26.【答案】解：如图中，

，，
点到点、的最小距离为，最大距离为，
；
或；
或 

【解析】解：见答案；

如图中，设．

由题意：和，
解得．
故答案为：或；

如图中，

当时，线段：上任意一点，满足，
当时，线段：上任意一点，满足，
观察图象可知：当或时，函数图象上的任意一点，满足．
画出图形，根据点到图形的“差距离”的定义即可解决问题．
如图中，设由此构建方程即可解决问题．
如图中，取特殊位置当时，当时，分别求解即可解决问题．
本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，点到图形的“差距离”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题，学会寻找特殊位置解决问题，属于中考创新题型．