普通高等学校招生全国统一考试压轴卷二 数学卷（含详解）

普通高等学校招生全国统一考试压轴卷

数学试题（二）

试卷满分：150分     考试用时：120分钟

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．复数满足在复平面内对应的点为，则（    ）

A．     B．     C．     D．

2．设集合，且，则（    ）

A．     B．1     C．2     D．3

3．如图，在中，点在的延长线上，，如果，那么（    ）

A．     B．     C．     D．

4．若的展开式中的系数为40，则（    ）

A．2     B．4     C．     D．

5．已知直线上的两点，且，点为圆上任一点，则的面积的最大值为（    ）

A．     B．     C．     D．

6．已知等差数列的首项为1，前项和为，且对任意，则（    ）

A．     B．     C．     D．

7．已知椭圆的左焦点为，离心率为．倾斜角为的直线与交于两点，并且满足，则的离心率为（    ）

A．     B．     C．     D．

8．设，则下列关系正确的是（    ）

A．     B．     C．     D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．某产品售后服务中心选取了20个工作日，分别记录了每个工作日接到的客户服务电话的数量（单位：次）：

63  38  25  42  56  48  53  39  28  47

45  52  59  48  41  62  48  50  52  27

则这组数据的（    ）

A．众数是48     B．中位数是48           C．极差是37     D．5%分位数是25

10．已知高和底面边长均为2的正四棱锥，则（    ）

A．

B．与底面的夹角的正弦值为

C．二面角的平面角的正切值为2

D．四棱锥的体积为

11．已知曲线关于轴对称，关于原点对称，设函数，则（    ）

A．             B．

C．函数的最小正周期是      D．函数的值域是

12．已知抛物线为上位于焦点右侧的一个动点，为坐标原点，则（    ）

A．若，则

B．若满足，则

C．若交于点，则

D．直线交于两点，且，则

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．某高中学校选拔出四名学生参加知识竞赛，四名学生按顺序作答，要求甲不在第一个出场，乙不在最后一个出场，则不同排法的总数是_________．

14．已知在中，它的内角的对边分别为，若，则_________．

15．已知三棱锥中，，若均在半径为2的球面上，则的最大值为_________．

16．已知函数且，若函数恰有一个零点，则实数的取值范围为_________．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分10分）

已知数列满足．

（1）求数列的通项公式；

（2）求的前项和．

18．（本小题满分12分）

的内角的对边分别为且．

（1）判断的形状；

（2）若为锐角三角形，且，求的最大值．

19．（本小题满分12分）

已知是平行六面体中线段上一点，且．

（1）证明：平面；

（2）已知四边形是菱形，，并且为锐角，，求二面角的正切值．

20．（本小题满分12分）

杭州2022年第19届亚运会（The 19th Asian Games Hangzhou 2022）将于2023年9月23日至10月8日举办．本届亚运会共设40个竞赛大项，包括31个奥运项目和9个非奥运项目．同时，在保持40个大项目不变的前提下，增设了电子竞技项目．与传统的淘汰赛不同，近年来一个新型的赛制“双败赛制”赢得了许多赛事的青睐．

传统的淘汰赛失败一场就丧失了冠军争夺的权利，而在双败赛制下，每人或者每个队伍只有失败了两场才会淘汰出局，因此更有容错率．假设最终进入到半决赛有四支队伍，淘汰赛制下会将他们四支队伍两两分组进行比赛，胜者进入到总决赛，总决赛的胜者即为最终的冠军．双败赛制下，两两分组，胜者进入到胜者组，败者进入到败者组，胜者组两个队伍对决的胜者将进入到总决赛，败者进入到败者组．之前进入到败者组的两个队伍对决的败者将直接淘汰，胜者将跟胜者组的败者对决，其中的胜者进入总决赛，最后总决赛的胜者即为冠军．双败赛制下会发现一个有意思的事情，在胜者组中的胜者只要输一场比赛即总决赛就无法拿到冠军，但是其它的队伍却有一次失败的机会，近年来从败者组杀上来拿到冠军的不在少数，因此很多人戏谑这个赛制对强者不公平，是否真的如此呢？

这里我们简单研究一下两个赛制．假设四支队伍分别为，其中对阵其他三个队伍获胜概率均为，另外三支队伍彼此之间对阵时获胜概率均为．最初分组时同组，同组．

（1）若，在淘汰赛赛制下，获得冠军的概率分别为多少？

（2）分别计算两种赛制下获得冠军的概率（用表示），并据此简单分析一下双败赛制下对队伍的影响，是否如很多人质疑的“对强者不公平”？

21．（本小题满分12分）

已知过右焦点的直线交双曲线于两点，曲线的左右顶点分别为，虚轴长与实轴长的比值为．

（1）求曲线的方程；

（2）如图，点关于原点的对称点为点，直线与直线交于点，直线与直线交于点，求的轨迹方程．

22．（本小题满分12分）

已知函数．

（1）求的零点个数；

（2）当时，恒成立，求的取值范围．

数学试题（二）参考答案

1．【答案】D

【解析】由在复平面内对应的点为可得，即，故选D．

2．【答案】C

【解析】，，又，即，故选C．

3．【答案】B

【解析】∵，∴，故选B．

4．【答案】C

【解析】利用二项式定理可知的展开式中的系数为，得，故选C．

5．【答案】A

【解析】把圆变形为，可知圆心，圆心到直线的距离，则圆上的点到直线的狀离的晘大值为，又，∴的而积的攷大们为．故选A．

6．【答穼】C

【解析】设的公差为，由题设条件可知，且则，

因此，，而符号不确定．故选C．

7．【答案】A

【解析】设，则，因此，的倾斜角为，又，．故选A．

8．【答案】D

【解析】，，

设函数，，设，故在单调递减，，从而在单调递减，故，即；

设，故在单调递增，，即，从而有，因此．

9．【答案】AB

【解析】这组数据中48出现了3次，出现次数最多，因此众数是48，A正确；

从小到大排列数据，第10位和第11位均为48，两者的平均数也是48，因此中位数是48，B正确；最大值为63，最小值为25，因此极差为，C错误；

是整数，分位数应取第1位与第2位的平均值，即25与27的平均值26，D错误．故选AB．

10．【答案】ACD

【解析】设正方形中心为，，A正确；由题易知为所求角，，B错误；

取中点，则为所求角，，C正确；

，D正确．故选ACD．

11．【答案】CD

【解析】关于轴对称，

，①

关于原点对称，

，②

由①②得，A错误；

∴有

∴当时，，，，

当时，，，B错误；

，对于恒成立，C正确；

，对于恒成立，D正确．

故选CD．

12．【答案】ABC

【解析】时，抛物线，，又，∴，A正确；

，又，∴，B正确；

设消得，，取等，又，，C正确；

设，

设，同理：，

，

，当且仅当时，，D错误．故选ABC．

13．【答案】14

【解析】若甲最后出场，则有种，若甲不在最后出场，则有利，共有14种．

14．【答案】

【解析】由已知，化简得，又由于，即．

15．【答案】

【解析】构造长方体，设棱长分别为，则

故，

又可设，

，

故的最大值为．

16．【答案】

【解析】首先注意到，当时，函数在上单调递增，显然满足题设；

当时，，显然函数在上单调递增，

由于，

故存在唯一零点，若只有一个零点，此时也必为极值点，

又此时，则只需，解得；

综上所述，则实数的取值范用为．

17．解：（1）由已知，

即，

令，，

，

又，故意，

同理可得

，

又．

（2），

．

18．解：（1）由题意：，

整理得，

故或，

则或，

为直角三角形或等腰三角形．

（2）由正弦定理：得，∴，又，

，

令，易知，

∴原式，

故当时，即原式取最大值，

即，

综上最大值为．

19．解：（1）记与交于点，延长交于，连接，∵四边形是平行四边形，，即是的中点，又是的中点，，又平面平面平面．

（2）过点作于，由于四边形是菱形，，又由于是的中点，，由于菱形中平面平面，平面．

【方法一：建系】

以为坐标原点，方向分别为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系，不妨设菱形的边长为2，

则，，设，由于，由于，

设平面的法向量为，

则

令，得，

又平面的法向量为，

．

记二面角的大小0，

则，

故二面角的正切值为．

【方法2：几何法】

过点作于，连接，不妨设荾形的边长为2，

平面平面，

则，

过点作交于点，过点作交于点，过点作于点，连接，

则平面平面平面即为所求二面角的平面角，并且平面，，，．

20．解：（1）记拿到冠军分别为事件淘汰赛赛制下，只需要连赢两场即可拿到冠军，因此，

对于想拿到冠军，首先得战胜，然后战胜中的胜者，因此．

（2）记两种寒制下获得冠军的概率分别为，则，而双败赛制下，获得冠军有三种可能性：（1）直接连赢三局；（2）从胜者组掉入败者组然后杀回总决赛；（3）直接掉入败者组拿到冠军，因此，，，因此不论哪种赛制下，获得冠军的概率均小于，

若，双败赛制下，队伍获得冠军的概率更大，其他队俻获得冠军的概率会变小，

若，双败赛制下，以伍获得冠军的概率更小，其他队伍获得冠军的概率会变大，

综上可知：双败赛制下，会使得强者拿到冠军概率变大，强者拿到冠军的概率变低，更加有利于筛选出“强者”，人们“对强者不公平”的质疑是不对的．

21．解：（1）由题意得，又，则，曲线的方程为．

（2）设直线的斜率分別为，直线为，

由得，

，

，

则

．

．

由于点关于原点的对称点为点，．则直线为，直线为，显然，

由得

即，

则直线的方程为，

由得即．

当时，由对称性可知在轴上，

此时直线平行于直线，不符合题意，

故的轨迹方程为．

22．解：（1），

为偶函数，只需讨论在上的零点即可，恒成立，

在上单调递增，

，

在上单调递增，

且，

必然存在使得，

综上所述的䨖点个数为2．

（2），

令

，

即在上单调递增．

①当时，在上单调递增，则．

②时，恒成立，

③时，在上单调递减，即，

综上所述，的取值范围为．