人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.3 空间向量及其运算的坐标表示测试题

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高中数学选择性必修第一册《空间向量》解答题练习1.如图，已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1，在底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别是A1B1，A1A的中点.(1)求的模；(2)求cos〈，〉的值；(3)求证：A1B⊥C1M.【答案解析】解：(1)如图，以点C作为坐标原点O，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系.由题意得B(0，1，0)，N(1，0，1)，所以||＝＝.(2)由题意得A1(1，0，2)，B(0，1，0)，C(0，0，0)，B1(0，1，2)，所以＝(1，﹣1，2)，＝(0，1，2)，·＝3，||＝，||＝，所以cos〈，〉＝＝.(3)证明：由题意得C1(0，0，2)，M(,,2)，＝(﹣1，1，﹣2)，＝(,,0)，所以·＝﹣＋＋0＝0，所以⊥，即A1B⊥C1M.2.如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AC与BD相交于点O，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AB＝AE＝2.(1)求证：BD⊥平面ACFE；(2)当直线FO与平面BED所成的角为45°时，求异面直线OF与BE所成的角的余弦值大小.【答案解析】解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC.∵AE⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥AE.∵AC∩AE＝A，∴BD⊥平面ACFE.(2)以O为原点，，的方向为x，y轴正方向，过O且平行于CF的直线为z轴(向上为正方向)，建立空间直角坐标系，则B(0，，0)，D(0，﹣，0)，E(1，0，2)，F(﹣1，0，a)(a>0)，＝(﹣1，0，a).设平面EBD的法向量为n＝(x，y，z)，则有即令z＝1，则n＝(﹣2，0，1)，由题意得sin45°＝|cos〈，n〉|＝＝＝，解得a＝3或﹣.由a>0，得a＝3，＝(﹣1，0，3)，＝(1，﹣，2)，cos〈，〉＝＝，故异面直线OF与BE所成的角的余弦值为.  3.如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF.(1)证明：平面PEF⊥平面ABFD；(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值.【答案解析】解：(1)证明：由已知可得，BF⊥PF，BF⊥EF，所以BF⊥平面PEF.又BF⊂平面ABFD，所以平面PEF⊥平面ABFD.(2)作PH⊥EF，垂足为H.由(1)得，PH⊥平面ABFD.以H为坐标原点，的方向为y轴正方向，||为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H­xyz.由(1)可得，DE⊥PE.又DP＝2，DE＝1，所以PE＝.又PF＝1，EF＝2，故PE⊥PF.可得PH＝，EH＝.则H(0,0,0)，P(0,0，)，D(﹣1，﹣，0)，＝(1，，)，＝(0,0，)为平面ABFD的法向量.设DP与平面ABFD所成角为θ，则sinθ＝＝＝.所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为.     4.如图，在四棱锥E­ABCD中，底面ABCD为直角梯形，其中CD∥AB，BC⊥AB，侧面ABE⊥平面ABCD，且AB＝AE＝BE＝2BC＝2CD＝2，动点F在棱AE上，且EF＝λFA.(1)试探究λ的值，使CE∥平面BDF，并给予证明；(2)当λ＝1时，求直线CE与平面BDF所成角的正弦值.【答案解析】解：(1)当λ＝时，CE∥平面BDF.证明如下：连接AC交BD于点G，连接GF，∵CD∥AB，AB＝2CD，∴＝＝，∵EF＝FA，∴＝＝，∴GF∥CE，又CE⊄平面BDF，GF⊂平面BDF，∴CE∥平面BDF.(2)取AB的中点O，连接EO，则EO⊥AB，∵平面ABE⊥平面ABCD，平面ABE∩平面ABCD＝AB，且EO⊥AB，∴EO⊥平面ABCD，连接DO，∵BO∥CD，且BO＝CD＝1，∴四边形BODC为平行四边形，∴BC∥DO，又BC⊥AB，∴AB⊥OD，则OD，OA，OE两两垂直，以OD，OA，OE所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系O­xyz，则O(0，0，0)，A(0，1，0)，B(0，﹣1，0)，D(1，0，0)，C(1，﹣1，0)，E(0，0，).当λ＝1时，有＝，∴F(0，，)，∴＝(1，1，0)，＝(﹣1，1，)，＝(0，，).设平面BDF的法向量为n＝(x，y，z)，则有即令z＝，得y＝﹣1，x＝1，则n＝(1，﹣1，)为平面BDF的一个法向量，设直线CE与平面BDF所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈，n〉|＝，故直线CE与平面BDF所成角的正弦值为.5.如图(1)所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6，D，E分别为AC，AB上的点，且DE∥BC，DE＝2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如图(2)所示.(1)求证：A1C⊥平面BCDE；(2)若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；(3)线段BC上是否存在一点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由.【答案解析】解：(1)因为AC⊥BC，DE∥BC，所以DE⊥AC，所以DE⊥A1D，DE⊥CD，A1D∩DC＝D，所以DE⊥平面A1DC，所以DE⊥A1C.又因为A1C⊥CD，DE∩CD＝D，所以A1C⊥平面BCDE.(2)以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.则A1(0，0，2)，D(0，2，0)，M(0，1，)，B(3，0，0)，E(2，2，0).设平面A1BE的法向量为n＝(x，y，z)，则n·＝0，n·＝0.又因为＝(3，0，﹣2)，＝(﹣1，2，0)，所以令y＝1，则x＝2，z＝，所以n＝(2，1，).设CM与平面A1BE所成的角为θ.因为＝(0，1，)，所以sinθ＝|cos〈n，〉|＝＝＝.所以CM与平面A1BE所成角的大小为.(3)线段BC上不存在一点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直.理由如下：假设这样的点P存在，设其坐标为(p，0，0)，其中p∈[0，3].设平面A1DP的法向量为m＝(x1，y1，z1)，则·m＝0，·m＝0，∵＝(0，2，﹣2)，＝(p，﹣2，0)，∴∴z1＝y1，x1＝y1.设y1＝6，则m＝(3p，6，2)，∵平面A1DP与平面A1BE垂直，则m·n＝0，∴6p＋6＋6＝0，p＝﹣2，∵0≤p≤3，∴线段BC上不存在一点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直.6.如图，在Rt△ABC中，AB＝BC＝3，点E，F分别在线段AB，AC上，且EF∥BC，将△AEF沿EF折起到△PEF的位置，使得二面角P﹣EF﹣B的大小为60°．(1)求证：EF⊥PB；(2)当点E为线段AB靠近B点的三等分点时，求直线PC与平面PEF所成角θ的正弦值．【答案解析】解：(1)证明：∵AB＝BC＝3，BC⊥AB，EF∥BC，∴EF⊥AB，翻折后垂直关系没变，有EF⊥PE，EF⊥BE，且PE∩BE＝E，∴EF⊥平面PBE，∴EF⊥PB．(2)∵EF⊥PE，EF⊥BE，∴∠PEB是二面角P﹣EF﹣B的平面角，∴∠PEB＝60°，又PE＝2，BE＝1，由余弦定理得PB＝，∴PB2＋EB2＝PE2，∴PB⊥EB，∴PB，BC，EB两两垂直．以B为坐标原点，BC所在直线为x轴，BE所在直线为y轴，BP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0，0，)，C(3，0，0)，E(0，1，0)，F(2，1，0)，∴＝(0，1，﹣)，＝(2，1，﹣)，设平面PEF的法向量为n＝(x，y，z)，由即令y＝，则z＝1，x＝0，可得n＝(0，，1)，又＝(3，0，﹣)，∴sinθ＝＝．故直线PC与平面PEF所成角θ的正弦值为． 7.如图，在多面体EFABCD中，四边形ABCD，ABEF均为直角梯形， ∠ABC＝∠ABE＝90°，四边形DCEF为平行四边形，平面ABCD⊥平面DCEF.(1)求证：平面ADF⊥平面ABCD；(2)若△ABD是边长为2的等边三角形，且异面直线BF与CE所成的角为45°，求点E到平面BDF的距离.【答案解析】解：(1)∵∠ABC＝∠ABE＝90°，∴AB⊥BC，AB⊥BE.又BC，BE⊂平面BCE，且交于点B，∴AB⊥平面BCE.又CE⊂平面BCE，∴AB⊥CE.又∵AB∥CD，CE∥DF，∴CD⊥DF.又平面ABCD⊥平面DCEF，且交于CD，DF⊂平面DCEF，∴DF⊥平面ABCD.又DF⊂平面ADF，∴平面ADF⊥平面ABCD.(2)∵CE∥DF，∴∠BFD为异面直线BF与CE所成的角，则∠BFD＝45°.在Rt△BDF中，∠BFD＝∠DBF＝45°，∴DF＝BD＝2.∵△ABD是边长为2的等边三角形，∠ABC＝90°，∴在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，∴CD＝1，BC＝.∵CE∥DF，DF⊂平面BDF，CE⊄平面BDF，∴CE∥平面BDF，∴点C到平面BDF的距离即为点E到平面BDF的距离.由(1)可知DF⊥平面ABCD，则DF为三棱锥F﹣BCD的高.设点E到平面BDF的距离为h，由VE﹣BDF＝VC﹣BDF＝VF﹣BCD，得S△BDF·h＝S△BCD·DF，∴h＝.      8.如图①，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E是CD的中点，将△ADE沿AE折起，得到如图②所示的四棱锥D1­ABCE，其中平面D1AE⊥平面ABCE.(1)设F为CD1的中点，试在AB上找一点M，使得MF∥平面D1AE；(2)求直线BD1与平面CD1E所成的角的正弦值．【答案解析】解：(1)如图，取D1E的中点，记为L，连接AL，FL，则FL∥EC，又EC∥AB，∴FL∥AB，且FL＝AB，∴M，F，L，A四点共面，且平面D1AE∩平面AMFL＝AL，若MF∥平面D1AE，则MF∥AL，∴四边形AMFL为平行四边形，∴AM＝FL＝AB.(2)取AE的中点O，过点O作OG⊥AB于G，OH⊥BC于H，连接OD1.∵AD1＝D1E，∴D1O⊥AE，∴D1O⊥平面ABCE，D1O⊥OG，D1O⊥OH，又易得OG⊥OH，故OG，OH，OD1两两垂直，以O为坐标原点，OG，OH，OD1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示．则B(1，3，0)，C(﹣1，3，0)，E(﹣1，1，0)，D1(0，0，)．故＝(﹣1，﹣3，)，＝(1，﹣3，)，＝(0，﹣2，0)．设平面CD1E的一个法向量为m＝(x，y，z)，则即取x＝，得m＝(，0，﹣1)．设直线BD1与平面CD1E所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈m，〉|＝＝＝.即直线BD1与平面CD1E所成的角的正弦值为.  9.如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC，AA1＝2，AC＝2.M是CC1的中点，P是AM的中点，点Q在线段BC1上，且BQ＝QC1.(1)证明：PQ∥平面ABC；(2)若直线BA1与平面ABM所成角的正弦值为，求∠BAC的大小.【答案解析】解：(1)取MC的中点，记为点D，连接PD，QD.∵P为MA的中点，D为MC的中点，∴PD∥AC.又CD＝DC1，BQ＝QC1，∴QD∥BC.又PD∩QD＝D，∴平面PQD∥平面ABC.又PQ⊂平面PQD，∴PQ∥平面ABC.(2)∵BC，BA，BB1两两互相垂直，∴以B为坐标原点，分别以BC，BA，BB1所在的直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系B﹣xyz.设BC＝a，BA＝b，则各点的坐标分别为B(0，0，0)，C(a，0，0)，A(0，b，0)，A1(0，b，2)，M(a，0，1)，∴＝(0，b，2)，＝(0，b，0)，＝(a，0，1).设平面ABM的法向量为n＝(x，y，z)，则∴取x＝1，则可得平面ABM的一个法向量为n＝(1，0，﹣a)，∴|cos〈n，〉|＝＝.又a2＋b2＝8，∴a4＋4a2﹣12＝0.∴a2＝2或﹣6(舍)，即a＝.∴sin∠BAC＝＝.∴∠BAC＝.10.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为矩形，△APB是以角P为直角的等腰直角三角形，平面PAB⊥平面ABCD.(1)证明：平面PAD⊥平面PBC；(2)若M为直线PC的中点，且AP＝AD＝2，求平面AMD与平面BMD的夹角的余弦值.【答案解析】 (1)证明：∵四边形ABCD为矩形，∴AD⊥AB，∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，AD⊂平面ABCD，∴AD⊥平面PAB，又PB⊂平面PAB，则AD⊥PB，又PA⊥PB，PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD，∴PB⊥平面PAD，而PB⊂平面PBC，∴平面PAD⊥平面PBC.(2)解：取AB的中点O，分别以OP，OB所在直线为x，y轴建立空间直角坐标系，如图.由AP＝AD＝2，△APB是以角P为直角的等腰直角三角形，则A(0，﹣，0)，D(0，﹣，2)，B(0，，0)，M(,,1)，＝(﹣,﹣,﹣1)，＝(﹣,﹣,1)，＝(﹣,,﹣1). 设平面MAD的一个法向量为m＝(x,y,z)，由取y＝1，得m＝(-3,1,0)；设平面MBD的一个法向量为n＝，由取y＝﹣1，得n＝(1,-1,﹣).∴cos m，n＝＝﹣，∴平面AMD与平面BMD的夹角的余弦值为.