广东省东莞市石竹实验学校2022-2023学年高一下学期6月月考数学试题及答案

这是一份广东省东莞市石竹实验学校2022-2023学年高一下学期6月月考数学试题及答案，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
 广东省东莞市石竹实验学校2022-2023学年高一6月考试数学试卷（含答案）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  已知复数，则(    )A.  B.  C.  D. 2.  平行四边形ABCD中，E为边BC的中点，F在边DC上且，则(    )A.  B.  C.  D. 3.  抛掷两个质地均匀的骰子，则“抛掷的两个骰子的点数之和是6”的概率为(    )A.  B.  C.  D. 4.  用斜二测画法画水平放置的边长为2的正三角形的直观图，该直观图的面积为(    )A.  B.  C.  D. 5.  在平面直角坐标系xOy中，，，点C满足，，则点C的坐标为(    )A.  B.  C.  D. 6.  若复数，，，在复平面内对应的点在同一个圆上，则正实数a的值为(    )A.  B.  C.  D. 7.  高一某班参加“红五月校园合唱比赛”，10位评委的打分如下：，，则(    )A. 该组数据的平均数为7，众数为
B. 该组数据的第60百分位数为6
C. 如果再增加一位评委给该班也打7分，则该班得分的方差变小
D. 评判该班合唱水平的高低可以使用这组数据的平均数、中位数，也可以使用这组数据的众数8.  在中，，，则的值为(    )A. 1 B.  C.  D. 二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.  已知，为复数，则(    )A. 存在唯一的，使 B. 存在唯一的，使
C. 存在唯一的，使 D. 存在唯一的，使10.  袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中3个白球、2个黑球，从中不放回地依次随机摸出2个球，则(    )A. “至少有一个白球”与“至少有一个黑球”是互斥事件
B. “都是白球”与“都是黑球”是互斥事件
C. “至少有一个白球”与“都是黑球”是对立事件
D. “第一次摸到的是白球”与“第二次摸到的是黑球”相互独立11.  设，，，，，，，则(    )A.  B. 的取值范围是
C. 的最大值是7 D. 的最小值是12.  我国有着丰富悠久的“印章文化”，古时候的印章一般用贵重的金属或玉石制成，本是官员或私人签署文件时代表身份的信物，后因其独特的文化内涵，也被作为装饰物来使用．图1是明清时期的一个金属印章摆件，除去顶部的环可以看作是一个正四棱柱和一个正四棱锥组成的几何体；如图2，已知正四棱柱和正四棱锥的高相等，且底面边长均为2，若该几何体的所有顶点都在球O的表面上，则(    )A. 正四棱柱和正四棱锥的高均为
B. 正四棱柱和正四棱锥组成的几何体的表面积为
C. 球O的表面积为
D. 正四棱锥的侧面、侧棱与其底面所成的角分别为、，则三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.  棣莫佛是出生于法国的数学家．由于在数学上成就卓著，他被选为柏林科学院和巴黎科学院的外籍院士．棣莫佛定理为：，这里，N若，则__________.14.  轴截面是边长为2的正三角形的圆锥的侧面积为__________.15.  高一某班有男生28人，女生21人，现用按比例分配的分层随机抽样的方法从该班全体同学中抽取出一个容量为7的样本，已知抽出的男生的平均身高为176 cm，抽出的女生的平均身高为162 cm，估计该班全体同学的平均身高是__________16.  棱长为1的正四面体的中心为O，S是该正四面体表面的点构成的集合，，若集合T恰有4个元素，则r的值为__________.注：正四面体，是由四个全等正三角形围成的空间封闭图形 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.  本小题分在中，，，，D是线段BC的靠近点B的三等分点．用，表示；求AD的长度． 18.  本小题分如图，在正三棱柱中，，，D为棱AC的中点．证明：平面；求与平面所成角的大小． 19.  本小题分2022年4月16日中国神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，这标志着此次载人飞行任务取得圆满成功．在太空停留期间，航天员们开展了两次“天宫课堂”，在空间站进行太空授课，极大的激发了广大中学生对航天知识的兴趣．为此，某班组织了一次“航空知识答题竞赛”活动，竞赛规则是：两人一组，两人分别从n个题中不放回地依次随机选出2个题回答，若两人答对题数合计不少于3题，则称这个小组为“优秀小组”．现甲乙两位同学报名组成一组，已知n个题中甲同学能答对的题有2个、乙同学答对每个题的概率均为，并且甲乙两人选题过程及答题结果互不影响．若甲同学选出的两个题均能答对的概率为求：；甲乙二人获“优秀小组”的概率． 20.  本小题分已知a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，且求A；若，的面积为，求b， 21.  本小题分某学校1000名学生参加信息技术学分认定考试，用按性别比例分层随机抽样的方法从中抽取了100名学生的成绩，记录他们的分数，并将数据分成8组：…，，整理得到如下频率分布直方图：求图中a的值，并估计全校学生中成绩不低于70分的学生人数；已知样本中分数不低于70的男生占样本中全部男生人数的，且样本中分数不低于70的男生与女生人数之比为，求总体中男生人数和女生人数之比；估计该校1 000名学生成绩的平均值． 22.  本小题分斜三棱柱的体积为4，侧面侧面，平行四边形的面积为求点A到平面的距离；如图，D为的中点，，，，求二面角的大小．
参考答案1.【答案】B 【解析】【分析】本题考查复数的运算和共轭复数，属于基础题.
根据复数的运算法则和共轭复数的概念进行求解即可.【解答】解：，所以  2.【答案】A 【解析】【分析】本题考查了平面向量加减法运算，涉及了平行四边形性质的应用以及相等向量的应用．
利用平行四边形的性质以及向量相等的概念，再利用平面向量基本定理进行转化即可．【解答】解：因为ABCD为平行四边形，
所以，
故
故选：  3.【答案】C 【解析】【分析】本题考查古典概型的概率计算，属于基础题.
先求出总的基本事件数，列举出点数之和是6的基本事件，再由古典概率求解即可.【解答】解：抛掷两个质地均匀的骰子，总的基本事件有个等可能的结果，其中点数之和是6的有，，，，个，
故“抛掷的两个骰子的点数之和是6”的概率为  4.【答案】D 【解析】【分析】本题考查了斜二测画法与应用问题，属于基础题．
根据题意画出图形，结合图形利用斜二测画法规则求出的面积．【解答】解：如图是边长为2的正三角形ABC的直观图，

则，为正三角形ABC的高CD的一半，
即，
则高，
的面积为
故选  5.【答案】A 【解析】【分析】本题考查向量的坐标运算，设点C的坐标为，则，，进而可得，再结合，，即可求解。【解答】解：设点C的坐标为，
因为点，，O为坐标原点，
所以，，
，
因为，，
所以，解得，
所以点C的坐标为
故选：  6.【答案】D 【解析】【分析】本题考查复数的模的求法，属于基础题．
直接利用复数对应点到原点的距离，判断求解即可.【解答】解：设复平面内复数，，，对应的点为，，，，
因为，，，
所以都在以原点为圆心，半径为的圆上，
所以，解得，又，所以
故选  7.【答案】C 【解析】【分析】本题考查数据的平均数、众数、中位数、百分位数、方差，属于基础题.
首先将数据从小到大排列，再根据平均数、众数、中位数、方差、百分位数的定义计算进行判断.【解答】解：这组数据从小到大排列为5、5、6、7、7、7、8、8、8、9，
故平均数为，众数为7和8，中位数为7，故A错误；
方差为，
因为，所以第60百分位数为，故B错误；
如果再增加一位评委给该班也打7分，则平均分不变也为7，
此时的方差为，故C正确；
因为众数有两个，故不能用众数评判该班合唱水平的高低，故 D错误.  8.【答案】B 【解析】【分析】本题考查正弦定理应用，考查两角和与差三角公式应用，属中档题.
由正弦定理得，，代入结合两角和与差三角公式化简即可.【解答】解：由正弦定理得，，



   9.【答案】BCD 【解析】【分析】本题考查复数的运算，属于中档题.
根据复数的运算法则逐项判断即可.【解答】解：设，a，b均为实数，
则，
对于A，时，，
化简得，，有无数组解，错误；
对于B，时，，
所以，解得，有唯一解，正确；
对于C，时，，存在唯一解，正确；
对于D，，
即，
所以，
解得，有唯一解，正确.
故选  10.【答案】BC 【解析】【分析】本题考查互斥事件、对立事件以及独立事件的判断，属于基础题.
根据相关定义逐项判断即可.【解答】解：对于A，当摸出来的两个球是“一黑一白”时，“至少有一个白球”与“至少有一个黑球”同时发生，不是互斥事件，故A错误；
对于B，“都是白球”与“都是黑球”不会同时发生，是互斥事件，故B正确；
对于C，“至少有一个白球”与“都是黑球”不可能同时发生，
且至少一个发生，是对立事件，故C正确；
对于D，“第一次摸到的是白球”对“第二次摸到的是黑球”是有影响，因为“第一次摸到的是白球”后“第二次摸到的是黑球”的概率为，如果“第一次摸到的不是白球”则“第二次摸到的是黑球”的概率为，所以不相互独立，故D错误.
故选  11.【答案】ABD 【解析】【分析】本题考查平面向量的线性表示，考查模、数量积的性质，属于中档题.
根据平面向量的线性运算判断A，根据模以及数量积的性质判断【解答】解：对于A，，正确；
对于B，当同向时，取最大值，
当同向，与反向时，最小值为1，所以的取值范围是正确；
对于C，，
当同向，与反向时，最大值为，故不正确；
对于D，，
当同向，与反向时，最小值为，故正确；
故选  12.【答案】BC 【解析】【分析】本题考查了几何体的结构特征及球的表面积，空间角，几何体表面积，属于中档题．
由图先求出，又，从而可得正四棱锥的高，进而求得球的表面积，几何体的表面积，正四棱锥的侧面、侧棱与其底面所成的角，逐个判断即可.【解答】解：如图，设该几何体的外接球的球心为 O，正四棱柱和正四棱锥的高为h，

根据题意，球O即长方体的外接球，
则其半径为，
又，
所以 ，
解得，
所以，
球O的表面积为，故A错误，C正确，
正四棱柱和正四棱锥组成的几何体的表面积为
，故B正确；
正四棱锥的侧面与其底面所成的角，，
正四棱锥的侧棱与其底面所成的角分别为，，
，所以，故D错误，
故选  13.【答案】2 【解析】【分析】本题考查复数相等和棣莫佛定理，属于基础题.
直接使用棣莫佛定理，结合复数相等的定义进行求解即可.【解答】解：由，
于是有，因为，所以有，
于是有：，
当k为偶数时，显然有，该方程无实根，
当当k为奇数时，显然有，而，
故答案为：  14.【答案】 【解析】【分析】本题考查空间几何体的结构特征及圆锥的侧面积计算，属于基础题.
由圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，可知圆锥的底面半径为1，母线长2，由侧面积公式即可解题.【解答】解：由圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，
可知圆锥的底面半径为1，母线长2，
圆锥的侧面积为
故答案为  15.【答案】170 【解析】【分析】本题主要考查分层抽样和平均数的求法，属于基础题．
先求出男生，女生抽取的人数，然后再进行计算即可得结果.【解答】解：由题意，抽样的比例为，
所以可得抽取的男生为，，
因为抽出的男生的平均身高为176 cm，抽出的女生的平均身高为162 cm，
所以可得该7人同学的平均身高是
即可估计该班全体同学的平均身高是
故答案为  16.【答案】 【解析】【分析】本题考查了棱锥的体积，多面体的内切球问题，属于中档题.
由题意“集合T恰有4个元素”可知，所求的r即为正四面体内切球的半径，先计算正四面体的体积，再利用等体积法得，进而求解r的值.【解答】解：由题意“集合T恰有4个元素”可知，所求的r即为正四面体内切球的半径，
首先计算正四面体的体积：
过点C作于E点，过点A作于F点，
则：，
由于F点是的中心，
，
设四面体的高为H，则：，
，
进而有：，
再求三棱锥的体积：，
由等体积法得：，
，
解得：
故答案为  17.【答案】解：是线段BC的靠近点B的三等分点，


，，，
，

 【解析】本题主要考查平面向量的数量积公式，以及向量的线性运算，属于基础题.
根据已知条件，结合向量的线性运算法则，即可求解.
根据已知条件，结合的结论，以及平面向量的数量积公式，即可求解.
 18.【答案】证明：连接交于E，连接
在平行四边形中，可得E为的中点.
又因为D为棱AC的中点，
所以DE为的中位线，
所以
又平面，平面，所以平面

解：因为为等边三角形，
又D为棱AC的中点，所以
因为三棱柱为正棱柱，
所以平面
又平面ABC，所以
又平面，平面，，
所以平面
即为与平面所成的角.
在中，
在中，，
在中，，
所以
所以与平面所成角的大小为 【解析】本题考查线面平行的判定，线面角求法，属中档题.
连接交于E，连接DE，证得，即可得平面；
依题意，证得平面，得即为与平面所成的角，求解即可.
 19.【答案】解：从n个题中不放回地依次随机选出2个题，共有个样本点，
由古典概型，得，
解得，或舍去
设表示“甲答对的题数为i”，表示“乙答对的题数为i”，
C表示“甲乙二人获得优秀小组”，
由古典概型，，或
由事件的独立性，，，
由题意，，
而事件，，两两互斥，事件与相互独立，，




所以甲乙二人获“优秀小组”的概率为 【解析】本题考查了古典概型的计算与应用，相互独立事件同时发生的概率，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.
由古典概型，得，解方程可得；
利用相互独立事件同时发生的概率公式求解即可.
 20.【答案】解：由及正弦定理得
，
，
，
所以，
又，所以
所以，所以
又，所以，
所以，所以
由题意，，所以①，
由余弦定理，得，
得，即，
即②，
由①②，解得， 【解析】本题考查正、余弦定理和三角形的面积公式，涉及两角和差的三角函数公式，属于中档题.
用正弦定理将已知式子中的边转化成角的正弦，利用两角和差的正弦公式化简整理得，结合角的范围，即可求解；
先通过三角形的面积公式求出bc，再借助余弦定理求得，进而求解.
 21.【答案】解：
解得
样本中成绩不低于70分的频率为
估计全校学生中成绩不低于70分的学生人数为
由题意可知，样本中分数不低于70的学生人数为
所以样本中分数不低于70的男生人数为
又因为样本中分数不低于70的男生占样本中全部男生人数的，
所以样本中全部男生人数为60，女生人数为
所以样本中男生人数与女生人数之比为
从而，总体中男生和女生人数之比为
估计该校1000名学生成绩的平均值为
 【解析】本题考查频率分布直方图应用，考查平均值的估算，属中档题.
根据各小矩形面积和为1，即可求得a，进而求得样本中成绩不低于70分的频率，即可估算全校学生中成绩不低于70分的学生人数；
由知样本中分数不低于70的学生人数为35，根据中比例求解即可；
根据由直方图估算平均数的公式计算即可.
 22.【答案】解：设点A到平面的距离为
因为，
所以
解得，即点A到平面的距离为
因为，由，可得平面
反证法：若AD与平面不垂直，作平面，垂足为，连接，则为直角三角形，因此，即，这是不可能的.因此平面
又平面，
所以
过点A作于E，连接

又，AE，平面ADE，
所以平面ADE，平面ADE，
所以
因此即为二面角的平面角.
在中，因为D为的中点，，，，
所以，即
因为侧面侧面，侧面侧面，，
侧面，所以侧面，侧面，
所以
又，，AB，平面
所以平面ABC，平面ABC，所以
在等腰中，
在矩形中，，所以
在中，
在等腰中，
在中，，
所以
在中，
所以
所以二面角的大小为 【解析】本题考查空间距离求法，二面角的求法，属较难题.
设点A到平面的距离为h，根据等体积法，求解即可.
过点A作于E，证得，得即为二面角的平面角，求解即可.