四川省乐山市犍为县中考数学调研试卷（含详细解析）

这是一份四川省乐山市犍为县中考数学调研试卷（含详细解析），共29页。

一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求）
1．（3分）﹣3的相反数是（　　）
A．﹣3 B．3 C． D．
2．（3分）下列各式中，运算结果等于a2的是（　　）
A．a3﹣a B．a+a C．a•a D．a6÷a3
3．（3分）如图，是由6个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体，若从标有①，②，③，④的四个小正方体中取走一个后，余下几何体与原几何体的主视图相同，则取走的正方体是（　　）

A．① B．② C．③ D．④
4．（3分）下列图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
5．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣3x+a＝0有两个不相等的实数根，则a的值不可能是（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．3
6．（3分）小红在“养成阅读习惯，快乐阅读，健康成长”读书大赛活动中，随机调查了本校初二年级20名学生，在近5个月内每人阅读课外书的数量，数据如表所示：
人数
3
4
8
5
课外书数量（本）
12
13
15
18
根据小红调查的学生每人阅读课外书的数量，判断下列说法正确的是（　　）
A．样本为20名学生 B．众数是8本
C．中位数是14本 D．平均数是14.9本
7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1cm，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转得到Rt△AB'C'，使点C'落在AB边上，连接BB'，则BB'的长度是（　　）

A．1cm B．2cm C．cm D．2cm
8．（3分）下列各选项中因式分解正确的是（　　）
A．x2﹣1＝（x﹣1）2 B．a3﹣2a2+a＝a2（a﹣2）
C．m2n﹣2mn+n＝n（m﹣1）2 D．﹣2y2+4y＝﹣2y（y+2）
9．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边OC、OA分别在x轴和y轴上，OA＝15，点D是边AB上靠近点A的三等分点，将△OAD沿直线OD折叠后得到OA'D，若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过A'点，则k的值为（　　）

A．54 B．108 C．48 D．27
10．（3分）如右上图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠AOD＝120°，AB＝2，点E是BD上一动点，点P是AE的中点，连接PB、PO，则PB+PO的最小值为（　　）

A． B．3 C． D．
二、填空题（本大题6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）用“＞”或“＜”符号填空：﹣6 　 　﹣8．
12．（3分）计算：﹣＝　 　．
13．（3分）如图，已知a∥b，∠1＝55°，∠A＝25°，则∠2的度数为 　 　．



14．（3分）在一次函数y＝kx+2中，y的值随着x值的增大而减小，则点P（3，k）在第 　 　象限．
15．（3分）如右上图，港口A在观测站O的正东方向，OA＝4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船与观测站之间的距离（即OB的长）为　 　km．


16．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（﹣6，4），AB⊥x轴于点B，已知双曲线y＝（k＜0，x＜0）把Rt△AOB分成W1、W2两部分，且与AB、OA分别交于点C、D．
（1）连接OC，若S△OAC＝9，则点D的坐标为 　 　；
（2）若W1内（不含边界）的整点（横、纵坐标均为整数的点）与W2内（不含边界）的整点个数比为3：4，则k的取值范围是 　 　．

三、（本大题共3个小题，每小题9分，共27分）
17．（9分）计算：．
18．（9分）解不等式组：．
19．（9分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C．E是边BC上一点，且DE＝DC．求证：AD＝BE．

四、(本大题共3个小题，每小题10分，共30分)
20．（10分）小丽解分式方程＝+1的过程如下：
解：去分母，得l﹣x＝1+（x﹣4）…①
去括号，得1﹣x＝1+x﹣4…②
移项，得﹣x﹣x＝1﹣4﹣1…③
合并同类项，得﹣2x＝﹣4…④
系数化为1，得x＝2…⑤
（1）请指出她解答过程中从第 　 　步开始出现错误（填序号）；
（2）写出正确的解答过程．
21．（10分）某校为了解学生对“A：古诗词，B：国画，C：武术，D：书法”等中国传统文化项目的最喜爱情况，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查（每人限选一项），并将调查结果绘制成如下不完整的统计图（如图），根据右上图中的信息解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共调查了 　 　名学生；扇形统计图中，项目D对应扇形的圆心角为 　 　度；
（2）若该校共有学生2000人，请根据上述调查结果估计该校学生中最喜爱“A：古诗词”的有多少人；
（3）若该校在A，B，C，D四项中任选两项成立课外兴趣小组，请用画树状图或列表的方法求恰好选中项目A和D的概率．
22．（10分）书法是中华民族的文化瑰宝，是人类文明的宝贵财富，是我国基础教育的重要内容．某学校准备为学生的书法课购买一批毛笔和宣纸，已知购买40支毛笔和100张宣纸需要280元；购买30支毛笔和200张宣纸需要260元．
（1）求毛笔和宣纸的单价；
（2）某超市给出以下两种优惠方案：
方案A：购买一支毛笔，赠送一张宣纸；
方案B：购买200张宣纸以上，超出的部分按原价打八折，毛笔不打折．学校准备购买毛笔50支，宣纸a张（a＞200），请问选择哪种方案购买更划算？并说明理由．
五、(本大题共2个小题，每小题10分，共20分)
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y＝的图象交于A（4，﹣2）、B（﹣2，n）两点，与x轴交于点C．
（1）求k2，n的值；
（2）请直接写出不等式k1x+b的解集；
（3）将x轴下方的图象沿x轴翻折，点A落在点A′处，连接A′B，A′C，求△A′BC的面积．

24．（10分）如图，AB为⊙O的直径，AC是⊙O的一条弦，D为弧BC的中点，过点D作DE⊥AC，垂足为AC的延长线上的点E，连接DA．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）延长ED交AB的延长线于F，若AE＝8，tan∠ADE＝2，求BF的长．

六、(本大题共2个小题,第25题12分,第26题13分,共25分)
25．（12分）【证明体验】
（1）如图1，AD为△ABC的角平分线，∠ADC＝60°，点E在AB上，AE＝AC．求证：DE平分∠ADB．
【思考探究】
（2）如图2，在（1）的条件下，F为AB上一点，连结FC交AD于点G．若FB＝FC，DG＝2，CD＝3，求BD的长．
【拓展延伸】
（3）如图3，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，∠BCA＝2∠DCA，点E在AC上，∠EDC＝∠ABC．若BC＝5，CD＝2，AD＝2AE，求AC的长．

26．（13分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝x2+bx+c经过坐标原点和点A，顶点为点M．
（1）求抛物线的关系式及点M的坐标；
（2）点E是直线AB下方的抛物线上一动点，连接EB，EA，当△EAB的面积等于时，求E点的坐标；
（3）将直线AB向下平移，得到过点M的直线y＝mx+n，且与x轴负半轴交于点C，取点D（2，0），连接DM，求证：∠ADM﹣∠ACM＝45°．


参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求）
1．（3分）﹣3的相反数是（　　）
A．﹣3 B．3 C． D．
【考点】相反数．菁优网版权所有
【答案】B
【分析】根据相反数的概念解答即可．
【解答】解：﹣3的相反数是﹣（﹣3）＝3．
故选：B．
【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．
2．（3分）下列各式中，运算结果等于a2的是（　　）
A．a3﹣a B．a+a C．a•a D．a6÷a3
【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法．菁优网版权所有
【答案】C
【分析】根据同底数幂的运算及整式的加减运算进行计算判断即可．
【解答】解：A、∵a3与a不是同类项，不能进行合并运算，∴选项A不符合题意；
B、∵a+a＝2a，∴选项B不符合题意；
C、∵a•a＝a2，∴选项C符合题意；
D、∵a6÷a3＝a3，∴选项D不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了同底数幂的运算及整式的加减运算，熟记同底数幂的运算法则及整式的加减运算法则是解题的关键．
3．（3分）如图，是由6个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体，若从标有①，②，③，④的四个小正方体中取走一个后，余下几何体与原几何体的主视图相同，则取走的正方体是（　　）

A．① B．② C．③ D．④
【考点】简单组合体的三视图．菁优网版权所有
【答案】A
【分析】根据题意得到原几何体的主视图，结合主视图选择．
【解答】解：原几何体的主视图是：

故取走的正方体是①．
故选：A．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图．视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上．
4．（3分）下列图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．菁优网版权所有
【答案】B
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，不合题意；
B、是中心对称图形，不是轴对称图形，符合题意；
C、不是中心对称图形，是轴对称图形，不合题意；
D、不是中心对称图形，也是轴对称图形，不合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形的关键是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
5．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣3x+a＝0有两个不相等的实数根，则a的值不可能是（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．3
【考点】根的判别式．菁优网版权所有
【答案】D
【分析】根据根的判别式得到Δ＝（﹣3）2﹣4×1×a＞0，然后解关于a的不等式，即可求出a的范围，并根据选项判断．
【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣3）2﹣4×1×a＞0
解得a＜．
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
6．（3分）小红在“养成阅读习惯，快乐阅读，健康成长”读书大赛活动中，随机调查了本校初二年级20名学生，在近5个月内每人阅读课外书的数量，数据如表所示：
人数
3
4
8
5
课外书数量（本）
12
13
15
18
根据小红调查的学生每人阅读课外书的数量，判断下列说法正确的是（　　）
A．样本为20名学生 B．众数是8本
C．中位数是14本 D．平均数是14.9本
【考点】众数；加权平均数；中位数．菁优网版权所有
【答案】D
【分析】根据众数、中位数、平均数的定义求解即可．
【解答】解：A．样本为本校初二年级20名学生近5个月内每人阅读课外书的数量，故A选项不符合题意；
B．样本数据的众数为15，故B选项不符合题意；
C．样本数据的中位数是＝15，故C选项不符合题意；
D．平均数为＝14.9（本），故D选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查众数、中位数和平均数，解题的关键是掌握众数、中位数和平均数的定义．
7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1cm，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转得到Rt△AB'C'，使点C'落在AB边上，连接BB'，则BB'的长度是（　　）

A．1cm B．2cm C．cm D．2cm
【考点】旋转的性质；含30度角的直角三角形．菁优网版权所有
【答案】B
【分析】由直角三角形的性质得到AB＝2AC＝2cm，然后根据旋转的性质和线段垂直平分线的性质得到AB′＝BB′．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1cm，
∴AC＝AB，则AB＝2AC＝2cm．
又由旋转的性质知，AC′＝AC＝AB，B′C′⊥AB，
∴B′C′是△ABB′的中垂线，
∴AB′＝BB′．
根据旋转的性质知AB＝AB′＝BB′＝2cm．
故选：B．
【点评】本题主要考查了旋转的性质和含30度角的直角三角形，此题实际上是利用直角三角形的性质和旋转的性质将所求线段BB'与已知线段AC的长度联系起来求解的．
8．（3分）下列各选项中因式分解正确的是（　　）
A．x2﹣1＝（x﹣1）2 B．a3﹣2a2+a＝a2（a﹣2）
C．m2n﹣2mn+n＝n（m﹣1）2 D．﹣2y2+4y＝﹣2y（y+2）
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．菁优网版权所有
【答案】C
【分析】各项分解得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A选项：x2﹣1＝（x+1）（x﹣1），故A不合题意；
B选项：a3﹣2a2+a＝a（a2﹣2a+1）＝a（a﹣1）2，故B不合题意；
C选项：m2n﹣2mn+n＝n（m2﹣2m+1）＝n（m﹣1）2，故C符合题意；
D选项：﹣2y2+4y＝﹣2y（y﹣2），故D不合题意．
故选：C．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
9．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边OC、OA分别在x轴和y轴上，OA＝15，点D是边AB上靠近点A的三等分点，将△OAD沿直线OD折叠后得到OA'D，若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过A'点，则k的值为（　　）

A．54 B．108 C．48 D．27
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；正方形的性质；坐标与图形变化﹣对称；翻折变换（折叠问题）．菁优网版权所有
【答案】B
【分析】过A'作EF⊥x轴于E，交AB于F，由四边形OABC是正方形，OA＝15，点D是边AB上靠近点A的三等分点，将△OAD沿直线OD折叠后得到△OA'D，可得A'D＝AD＝5，OA'＝OA＝15，∠OA'D＝∠OAB＝90°，证明△A'DF∽△OA'E，有＝＝＝＝，即可得，即可解得A'（9，12），再用待定系数法k＝9×12＝108．
【解答】解：过A'作EF⊥x轴于E，交AB于F，如图：

∵四边形OABC是正方形，OA＝15，
∴∠OAB＝90°，AB＝15，
∵点D是边AB上靠近点A的三等分点，
∴AD＝AB＝5，
∵将△OAD沿直线OD折叠后得到△OA'D，
∴A'D＝AD＝5，OA'＝OA＝15，∠OA'D＝∠OAB＝90°，
∴∠DA'F＝90°﹣∠OAE＝∠A'OE，
∵∠DFA'＝90°＝∠A'EO，
∴△A'DF∽△OA'E，
∴＝＝＝＝，
∴A'E＝DF，OE＝A'F，
∵A'F+A'E＝OA＝15，AD+DF＝OE，
∴，
解得：，
∴A'（9，12），
把A'（9，12）代入y＝得：
12＝，
解得：k＝108，
故选：B．
【点评】本题考查反比例函数图象上点坐标的特征，涉及正方形性质，翻折变换，相似三角形的判定与性质等，解题的关键是利用相似三角形对应边成比例，求出A'的坐标．
10．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠AOD＝120°，AB＝2，点E是BD上一动点，点P是AE的中点，连接PB、PO，则PB+PO的最小值为（　　）

A． B．3 C． D．
【考点】轴对称﹣最短路线问题；等边三角形的判定与性质；三角形中位线定理；矩形的性质．菁优网版权所有
【答案】C
【分析】取AB的中点F，作直线PF，根据三角形的中位线定理得PF∥BE，作点B关于直线PF的对称点H，连接BH交直线PF于点G，连接OH，则PB＝PH，∠PGB＝90°，由矩形的性质得OA＝OB，因为∠AOB＝180°﹣∠AOD＝60°，所以△AOB是等边三角形，则OB＝AB＝2，∠BFG＝∠ABO＝60°，所以∠BPG＝30°，因为AF＝BF＝1，所以FG＝BF＝，则HG＝BG＝＝，所以BH＝2BG＝，即可根据勾股定理求得OH＝＝，由PO+PH≥OH，得PO+PB≥，则PO+PB的最小值为．
【解答】解：取AB的中点F，作直线PF，
∵点P是AE的中点，
∴PF∥BE，
作点B关于直线PF的对称点H，连接BH交直线PF于点G，连接OH，
∵PG垂直平分BH，
∴PB＝PH，∠PGB＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝2，
∴BF＝AF＝1，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，AC＝BD，
∴OA＝OB，
∵∠AOD＝120°，
∴∠AOB＝180°﹣∠AOD＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OB＝AB＝2，∠BFG＝∠ABO＝60°，
∴∠BPG＝30°，
∴FG＝BF＝，
∴HG＝BG＝＝，
∴BH＝2BG＝，
∴OH＝＝，
∵PO+PH≥OH，
∴PO+PB≥，
∴PO+PB的最小值为，
故选：C．

【点评】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、等边三角形的判定与性质、三角形的中位线定理、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、两点之间线段最短等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
二、填空题（本大题6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）用“＞”或“＜”符号填空：﹣6 　＞　﹣8．
【考点】有理数大小比较．菁优网版权所有
【答案】＞．
【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
【解答】解：|﹣6|＝6，|﹣8|＝8，
∵6＜8，
∴﹣6＞﹣8．
故答案为：＞．
【点评】此题主要考查了有理数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．
12．（3分）计算：﹣＝　2　．
【考点】分式的加减法．菁优网版权所有
【答案】2．
【分析】根据同分母分式加减法则进行计算即可．
【解答】解：原式＝
＝
＝2．
故答案为：2
【点评】本题考查了同分母分式的加减，同分母分式的加减，分母不变，分子相加减．
13．（3分）如图，已知a∥b，∠1＝55°，∠A＝25°，则∠2的度数为 　80°　．

【考点】平行线的性质；三角形的外角性质．菁优网版权所有
【答案】80°．
【分析】先根据平行线的性质求出∠ACB的度数，再由三角形外角的性质即可得出结论．
【解答】解：∵a∥b，∠1＝55°，
∴∠ACB＝∠1＝55°，
∵∠A＝25°，
∴∠2＝∠A+∠ACB＝25°+55°＝80°．
故答案为：80°．

【点评】本题考查的是平行线的性质和三角形外角的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．
14．（3分）在一次函数y＝kx+2中，y的值随着x值的增大而减小，则点P（3，k）在第 　四　象限．
【考点】一次函数图象与系数的关系．菁优网版权所有
【答案】四．
【分析】因为在正比例函数y＝kx+2中，y的值随着x值的增大而减小，所以k＜0，再根据象限的坐标特征可得答案．
【解答】解：∵在正比例函数y＝kx+2中，y的值随着x值的增大而减小，
∴k＜0，
∴一次函数y＝kx+2的图象经过第二、四象限．
∴点P（3，k）在第四象限．
故答案为：四．
【点评】本题考查一次函数图象与系数的关系，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
15．（3分）如图，港口A在观测站O的正东方向，OA＝4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船与观测站之间的距离（即OB的长）为　（2+2）　km．

【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】作AD⊥OB于点D，根据题目条件得出∠OAD＝60°、∠DAB＝45°、OA＝4km，再分别求出AD、OD、BD的长，从而得出答案．
【解答】解：如图所示，过点A作AD⊥OB于点D，

由题意知，∠AOD＝30°，OA＝4km，
则∠OAD＝60°，
∴∠DAB＝45°，
在Rt△OAD中，AD＝OAsin∠AOD＝4×sin30°＝4×＝2（km），
OD＝OAcos∠AOD＝4×cos30°＝4×＝2（km），
在Rt△ABD中，BD＝AD＝2km，
∴OB＝OD+BD＝2+2（km），
故答案为：（2+2）．
【点评】本题主要考查解直角三角形的应用﹣方向角问题，解题的关键是构建合适的直角三角形，并熟练运用三角函数进行求解．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（﹣6，4），AB⊥x轴于点B，已知双曲线y＝（k＜0，x＜0）把Rt△AOB分成W1、W2两部分，且与AB、OA分别交于点C、D．
（1）连接OC，若S△OAC＝9，则点D的坐标为 　（﹣3，2）　；
（2）若W1内（不含边界）的整点（横、纵坐标均为整数的点）与W2内（不含边界）的整点个数比为3：4，则k的取值范围是 　﹣8＜k＜﹣5　．

【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
【答案】（1）（﹣3，2）；（2）﹣8＜k＜﹣5．
【分析】（1）连接OC，求出△BOC的面积，求出反比例函数的关系式，由点A坐标求出OA关系式，与反比例函数组成方程组，求出交点D即可．
（2）绘图判断若W1内的整点与W2内的整点个数，按要求需满足在M、N之间，求出经过点M及点N的反比例关系式，从而判断k的取值范围．
【解答】解：∵A的坐标为（﹣6，4），
∴S△AOB＝×6×4＝12，
∵S△OAC＝9，
∴S△BOC＝12﹣9＝3，
∴＝3，
∴k＝±6，
∵k＜0，
∴k＝﹣6，
∴y＝，
∵A的坐标为（﹣6，4），
∴OA：y＝﹣x，
∴＝﹣x，
∴x＝±3，
当x＝﹣3时，用＝﹣2，
∴点D坐标为（﹣3，2）．
故答案为：（﹣3，2）．

（2）如图，由图得△AOB中的整点共7个，
若W1内的整点与W2内的整点个数比为3：4，
则W1内3个，W2内4个，
∵M（﹣4，2），
∴反比例经过点M时，y＝，
∵N（﹣5，1），
∴反比例经过点M时，y＝，
∵反比例函数需满足在M、N之间，
∴﹣8＜k＜﹣5．

【点评】本题考查了反比例函数的应用，反比例函数的几何意义是解题关键．
三、（本大题共3个小题，每小题9分，共27分）
17．（9分）计算：．
【考点】实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．菁优网版权所有
【答案】3．
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：
＝
＝3﹣+
＝3．
【点评】本题考查了实数的运算，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18．（9分）解不等式组：．
【考点】解一元一次不等式组．菁优网版权所有
【答案】﹣1≤x＜2．
【分析】先分别求得每个不等式的解集，再求它们的公共部分即可．
【解答】解：，
由不等式①得：x≥﹣1，
由不等式②得：x＜2，
∴不等式组的解集为﹣1≤x＜2．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式的方法是解题的关键．
19．（9分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C．E是边BC上一点，且DE＝DC．求证：AD＝BE．

【考点】平行四边形的判定与性质．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】根据等边对等角的性质求出∠DEC＝∠C，再由∠B＝∠C得∠DEC＝∠B，所以AB∥DE，得出四边形ABED是平行四边形，进而得出结论．
【解答】证明：∵DE＝DC，
∴∠DEC＝∠C．
∵∠B＝∠C，
∴∠B＝∠DEC，
∴AB∥DE，
∵AD∥BC，
∴四边形ABED是平行四边形．
∴AD＝BE．
【点评】本题主要考查了平行四边形的判定和性质．解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定定理和性质定理的运用．
四、(本大题共3个小题，每小题10分，共30分)
20．（10分）小丽解分式方程＝+1的过程如下：
解：去分母，得l﹣x＝1+（x﹣4）…①
去括号，得1﹣x＝1+x﹣4…②
移项，得﹣x﹣x＝1﹣4﹣1…③
合并同类项，得﹣2x＝﹣4…④
系数化为1，得x＝2…⑤
（1）请指出她解答过程中从第 　①　步开始出现错误（填序号）；
（2）写出正确的解答过程．
【考点】解分式方程．菁优网版权所有
【答案】（1）①；
（2）见解答．
【分析】（1）根据等式的两边同乘（x﹣4），即可判断；
（2）根据解分式方程正确的步骤求解即可．
【解答】解：（1）她解答过程中从第①步开始出现错误．
故答案为：①；
（2）去分母，得1﹣x＝﹣1+（x﹣4），
去括号，得1﹣x＝﹣1+x﹣4，
移项，得﹣x﹣x＝﹣1﹣4﹣1，
合并同类项，得﹣2x＝﹣6，
系数化为1，得x＝3，
经检验x＝3是原方程的解，
∴原方程的解为x＝3．
【点评】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
21．（10分）某校为了解学生对“A：古诗词，B：国画，C：武术，D：书法”等中国传统文化项目的最喜爱情况，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查（每人限选一项），并将调查结果绘制成如下不完整的统计图（如图），根据图中的信息解答下列问题：

（1）在这次调查中，一共调查了 　200　名学生；扇形统计图中，项目D对应扇形的圆心角为 　90　度；
（2）若该校共有学生2000人，请根据上述调查结果估计该校学生中最喜爱“A：古诗词”的有多少人；
（3）若该校在A，B，C，D四项中任选两项成立课外兴趣小组，请用画树状图或列表的方法求恰好选中项目A和D的概率．
【考点】列表法与树状图法；用样本估计总体；扇形统计图；折线统计图．菁优网版权所有
【答案】（1）200，90；
（2）800人；
（3）．
【分析】（1）由C项目人数及其所占百分比可得总人数，用360°乘以D项目人数所占比例即可；
（2）根据所给B项的百分比求得B项人数，总人数减去其余各项人数为A项人数，用总人数乘以样本中A项目人数所占比例即可；
（3）列表或树状图将所有等可能的结果列举出来后利用概率公式求解即可．
【解答】解：（1）在这次调查中，一共调查的总人数＝30÷15%＝200（人）；项目D对应扇形的圆心角×360°＝90°，
故答案为：200，90；
（2）B项目人数为200×20%＝40（人），
则A项目的人数为：200﹣40﹣30﹣50＝80（人），
∵（人），
∴该校最喜爱项目A的学生约有800人；
（3）列表得：

A
B
C
D
A

AB
AC
AD
B
BA

BC
BD
C
CA
CB

CD
D
DA
DB
DC

由列表可见，所有可能出现的结果共有12种，并且这些结果出现的可能性相等，其中恰好选中项目A和D的结果有2种，
∴P（恰好选中项目A和D）＝．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率的知识．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
22．（10分）书法是中华民族的文化瑰宝，是人类文明的宝贵财富，是我国基础教育的重要内容．某学校准备为学生的书法课购买一批毛笔和宣纸，已知购买40支毛笔和100张宣纸需要280元；购买30支毛笔和200张宣纸需要260元．
（1）求毛笔和宣纸的单价；
（2）某超市给出以下两种优惠方案：
方案A：购买一支毛笔，赠送一张宣纸；
方案B：购买200张宣纸以上，超出的部分按原价打八折，毛笔不打折．学校准备购买毛笔50支，宣纸a张（a＞200），请问选择哪种方案购买更划算？并说明理由．
【考点】二元一次方程组的应用；一元一次方程的应用．菁优网版权所有
【答案】（1）毛笔的单价为6元，宣纸的单价为0.4元；
（2）当购买的宣纸数量超过200张不足450张时，选择方案A更划算；当购买的宣纸数量等于450张时，选择两方案所需费用相同；当购买的宣纸数量超过450张时，选择方案B更划算．
【分析】（1）设毛笔的单价为x元，宣纸的单价为y元，根据“购买40支毛笔和100张宣纸需要28元；购买30支毛笔和200张宣纸需要260元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买宣纸m（m＞200）张，利用总价＝单价×数量，可找出选择方案A和选择方案B所需费用，分0.4m+280＜0.32m+316，0.4m+280＝0.32m+316和0.4m+280＞0.32m+316三种情况，求出m的取值范围（或m的值）即可得出结论．
【解答】解：（1）设毛笔的单价为x元，宣纸的单价为y元，
依题意得：，
解得：．
答：毛笔的单价为6元，宣纸的单价为0.4元．
（2）设购买宣纸m（m＞200）张．
选择方案A所需费用为50×6+0.4×（m﹣50）＝0.4m+280（元）；
选择方案B所需费用为50×6+0.4×200+0.4×0.8×（m﹣200）＝0.32m+316．
当0.4m+280＜0.32m+316时，解得：m＜450，
∴当200＜m＜450时，选择方案A更划算；
当0.4m+280＝0.32m+316时，解得：m＝450，
∴当m＝450时，选择方案A和方案B所需费用一样；
当0.4m+280＞0.32m+316时，解得：m＞450，
∴当m＞450时，选择方案B更划算．
答：当购买的宣纸数量超过200张不足450张时，选择方案A更划算；当购买的宣纸数量等于450张时，选择两方案所需费用相同；当购买的宣纸数量超过450张时，选择方案B更划算．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用、二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式（或一元一次方程）．
五、(本大题共2个小题，每小题10分，共20分)
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y＝的图象交于A（4，﹣2）、B（﹣2，n）两点，与x轴交于点C．
（1）求k2，n的值；
（2）请直接写出不等式k1x+b的解集；
（3）将x轴下方的图象沿x轴翻折，点A落在点A′处，连接A′B，A′C，求△A′BC的面积．

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）将A点坐标代入y＝
（2）用函数的观点将不等式问题转化为函数图象问题；
（3）求出对称点坐标，求面积．
【解答】解：（1）将A（4，﹣2）代入y＝，得k2＝﹣8．
∴y＝﹣
将（﹣2，n）代入y＝﹣
n＝4．
∴k2＝﹣8，n＝4
（2）根据函数图象可知：
﹣2＜x＜0或x＞4
（3）将A（4，﹣2），B（﹣2，4）代入y＝k1x+b，得k1＝﹣1，b＝2
∴一次函数的关系式为y＝﹣x+2
与x轴交于点C（2，0）
∴图象沿x轴翻折后，得A′（4，2），
S△A'BC＝（4+2）×（4+2）×﹣×4×4﹣×2×2＝8
∴△A'BC的面积为8．
【点评】本题是一次函数和反比例函数综合题，使用的待定系数法，考查用函数的观点解决不等式问题．
24．（10分）如图，AB为⊙O的直径，AC是⊙O的一条弦，D为弧BC的中点，过点D作DE⊥AC，垂足为AC的延长线上的点E，连接DA．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）延长ED交AB的延长线于F，若AE＝8，tan∠ADE＝2，求BF的长．

【考点】切线的判定与性质；解直角三角形；垂径定理；圆周角定理．菁优网版权所有
【答案】（1）详见解答；
（2）．
【分析】（1）根据切线的判定方法，连接OD，证出OD⊥EF即可；
（2）利用圆周角定理以及相似三角形的性质即可求出答案．
【解答】（1）证明：连接OD．
∵OA＝OD，
∴∠DAO＝∠ODA，
∵D 是弧BC 的中点，
∴＝，
∴∠CAD＝∠DAB，
∴∠CAD＝∠ODA，
∴OD∥AE，
∵DE⊥AE，
∴OD⊥DE，
∵OD是半径，
∴DE 是⊙O 的切线；
（2）解：在Rt△ADE 中，
∵AE＝8，tan∠ADE＝2＝，
∴DE＝4，
∴AD＝＝4，
连接BD，
∵AB为直径，
∴∠E＝∠ADB＝90°，
∵∠EAD＝∠DAB，
∴△AED∽△ADB，
∴，
∴，
∴⊙O 的半径为5，
∵∠ODF＝∠AEF＝90°，∠F＝∠F，
∴△ODF∽△AEF，
∴，
∴，
解得BF＝．

【点评】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理以及直角三角形的边角关系，掌握切线的判定方法，圆周角定理以及直角三角形的边角关系是正确解答的前提．
六、(本大题共2个小题,第25题12分,第26题13分,共25分)
25．（12分）【证明体验】
（1）如图1，AD为△ABC的角平分线，∠ADC＝60°，点E在AB上，AE＝AC．求证：DE平分∠ADB．
【思考探究】
（2）如图2，在（1）的条件下，F为AB上一点，连结FC交AD于点G．若FB＝FC，DG＝2，CD＝3，求BD的长．
【拓展延伸】
（3）如图3，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，∠BCA＝2∠DCA，点E在AC上，∠EDC＝∠ABC．若BC＝5，CD＝2，AD＝2AE，求AC的长．

【考点】四边形综合题．菁优网版权所有
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）；
（3）．
【分析】（1）由△EAD≌△CAD得∠ADE＝∠ADC＝60°，因而∠BDE＝60°，所以DE平分∠ADB；
（2）先证明△BDE∽△CDG，其中CD＝ED，再由相似三角形的对应边成比例求出BD的长；
（3）根据角平分线的特点，在AB上截取AF＝AD，连结CF，构造全等三角形和相似三角形，由相似三角形的性质求出AC的长．
【解答】（1）证明：如图1，∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠CAD，
∵AE＝AC，AD＝AD，
∴△EAD≌△CAD（SAS），
∴∠ADE＝∠ADC＝60°，
∵∠BDE＝180°﹣∠ADE﹣∠ADC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠BDE＝∠ADE，
∴DE平分∠ADB．
（2）如图2，∵FB＝FC，
∴∠EBD＝∠GCD；
∵∠BDE＝∠CDG＝60°，
∴△BDE∽△CDG，
∴；
∵△EAD≌△CAD，
∴DE＝CD＝3，
∵DG＝2，
∴BD＝＝＝.
（3）如图3，在AB上取一点F，使AF＝AD，连结CF．
∵AC平分∠BAD，
∴∠FAC＝∠DAC，
∵AC＝AC，
∴△AFC≌△ADC（SAS），
∴CF＝CD，∠FCA＝∠DCA，∠AFC＝∠ADC，
∵∠FCA+∠BCF＝∠BCA＝2∠DCA，
∴∠DCA＝∠BCF，
即∠DCE＝∠BCF，
∵∠EDC＝∠ABC，即∠EDC＝∠FBC，
∴△DCE∽△BCF，
∴，∠DEC＝∠BFC，
∵BC＝5，CF＝CD＝2，
∴CE＝＝＝4；
∵∠AED+∠DEC＝180°，∠AFC+∠BFC＝180°，
∴∠AED＝∠AFC＝∠ADC，
∵∠EAD＝∠DAC（公共角），
∴△EAD∽△DAC，
∴＝，
∴AC＝2AD，AD＝2AE，
∴AC＝4AE＝CE＝×4＝．



【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，解第（3）题时，应注意探究题中的隐含条件，通过适当添加辅助线构造全等三角形和相似三角形；此题难度较大，属于考试压轴题．
26．（13分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝x2+bx+c经过坐标原点和点A，顶点为点M．
（1）求抛物线的关系式及点M的坐标；
（2）点E是直线AB下方的抛物线上一动点，连接EB，EA，当△EAB的面积等于时，求E点的坐标；
（3）将直线AB向下平移，得到过点M的直线y＝mx+n，且与x轴负半轴交于点C，取点D（2，0），连接DM，求证：∠ADM﹣∠ACM＝45°．

【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有
【答案】（1）y＝x2﹣2x；点M的坐标为（3，﹣3）；（2）点E的坐标为（1，﹣）或（，﹣）；（3）见解答．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）由△EAB的面积＝S△EHB+S△EHA＝×EH×OA＝6×（﹣x+3﹣x2+2x）＝，即可求解；
（3）由直线CM的表达式知，tan∠MCD＝，则sin∠MCD＝，则DM＝CDsin∠MCD＝（2+3）×＝，由点D、M的坐标得，DM＝＝，即可求解．
【解答】解：（1）对于y＝﹣x+3，令y＝﹣x+3＝0，解得x＝6，令x＝0，则y＝3，
故点A、B的坐标分别为（6，0）、（0，3），
∵抛物线y＝x2+bx+c经过坐标原点，故c＝0，
将点A的坐标代入抛物线表达式得：0＝×36+6b，解得b＝﹣2，
故抛物线的表达式为y＝x2﹣2x；
则抛物线的对称轴为x＝3，当x＝3时，y＝x2﹣2x＝﹣3，
则点M的坐标为（3，﹣3）；

（2）如图1，过点E作EH∥y轴交AB于点H，

设点E的坐标为（x，x2﹣2x），则点H（x，﹣x+3），
则△EAB的面积＝S△EHB+S△EHA＝×EH×OA＝6×（﹣x+3﹣x2+2x）＝，
解得x＝1或，
故点E的坐标为（1，﹣）或（，﹣）；

（3）∵直线AB向下平移后过点M（3，﹣3），
故直线CM的表达式为y＝﹣（x﹣3）﹣3＝﹣x﹣，
令y＝﹣x﹣＝0，解得x＝﹣3，
故点C（﹣3，0）；
过点D作DH⊥CM于点H，

∵直线CM的表达式为y＝﹣x﹣，故tan∠MCD＝，则sin∠MCD＝，
则DH＝CDsin∠MCD＝（2+3）×＝，
由点D、M的坐标得，DM＝＝，
则sin∠HMD＝＝，
故∠HMD＝45°＝∠DMC＝∠ADM﹣∠ACM＝45°，
∴∠ADM﹣∠ACM＝45°．
【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、解直角三角形、面积的计算等，其中（3），确定∠DMC＝∠ADM﹣∠ACM是本题解题的关键．
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