上海市嘉定区第二中学2023届高三三模数学试题（含解析）

上海市嘉定区第二中学2023届高三三模数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、填空题

1．设集合，则__________.

2．若复数是的一个根，则______.

3．二项式的展开式中的系数等于__________.

4．一般的数学建模包含如下活动过程：①建立模型；②实际情境；③提出问题；④求解模型；⑤实际结果；⑥检验结果，请写出正确的序号顺序________．

5．在中，已知，则角的大小为__________.

6．某工厂生产的产品的质量指标服从正态分布．质量指标介于99至101之间的产品为良品，为使这种产品的良品率达到，则需调整生产工艺，使得至多为________．(若，则)

7．已知，与垂直，，且与的夹角是钝角，则在方向上的投影为______.

8．若关于的方程在上有实数解，则实数的取值范围是__________.

9．甲､乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和体积分别为和.若，则___________.

10．在等差数列中，若，且它的前n项和有最大值，则当取得最小正值时，n的值为_______.

11．若P，Q分别是抛物线与圆上的点，则的最小值为________．

12．下图改编自李约瑟所著的《中国科学技术史》，用于说明元代数学家郭守敬在编制《授时历》时所做的天文计算.图中的都是以为圆心的圆弧，是为计算所做的矩形，其中分别在线段上，.记，，，，给出四个关系式，其中成立的等式的序号有__________.

①

②；

③；

④.

二、单选题

13．下列关于统计概率知识的判断，正确的是（    ）

A．将总体划分为层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为、和，且已知，则总体方差

B．在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数越接近于

C．若，，则事件、相互独立

D．某医院住院的位新冠患者的潜伏天数分别为、、、、、、、，则该样本数据的第百分位数为

14．已知函数与它的导函数的定义域均为，则“在上严格增”是“在上严格增”的（    ）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．非充分非必要条件

15．已知双曲线的离心率为，点的坐标为，若上的任意一点都满足，则（    ）

A． B．

C． D．

16．已知函数，若满足（、、互不相等），则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

三、解答题

17．如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，分别为棱，的中点，.

(1)求证：平面；

(2)求直线与平面所成角的正弦值.

18．已知数列的前项和为，对任意的正整数，点均在函数图象上.

(1)证明：数列是等比数列；

(2)问中是否存在不同的三项能构成等差数列？说明理由.

19．烧烤是某地的特色美食，今年春季一场始于烟火、归于真诚的邂逅，让无数人前往“赶烤”.当地某烧烤店推出150元的烧烤套餐，调研发现，烧烤店成本y（单位：千元，包含人工成本、原料成本、场地成本、设备损耗等各类成本）与每天卖出套餐数x（单位：份）的关系如下：

与可用回归方程（其中为常数）进行模拟.参考数据与公式：设，则

线性回归直线中，.

(1)填写表格中的三个数据，并预测该烧烤店一天卖出100份的利润是多少元.（利润=售价-成本，结果精确到1元）

(2)据统计，由于烧烤的火爆，饮料需求也激增.4月份的连续16天中某品牌饮料每天为该地配送的箱数的频率分布直方图如图，用这16天的情况来估计相应的概率.供货商拟购置n辆小货车专门运输该品牌饮料，一辆货车每天只能运营一趟，每辆车每趟最多只能装载40箱该饮料，满载发车，否则不发车.若发车，则每辆车每趟可获利500元；若未发车，则每辆车每天平均亏损200元.若或4，请从每天的利润期望角度给出你的建议.

20．已知椭圆的左、右焦点分别为和的下顶点为A，直线，点在上.

(1)若，线段的中点在轴上，求的坐标；

(2)若直线与轴交于，直线经过右焦点，在中有一个内角的余弦值为，求；

(3)在椭圆上存在一个点到的距离为，使，当变化时，求的最小值.

21．已知函数，其导函数为，

(1)若函数有三个零点，且，试比较与的大小.

(2)若，试判断在区间上是否存在极值点，并说明理由.

(3)在（1）的条件下，对任意的，总存在使得成立，求实数的最大值.

参考答案：

1．

【分析】化简集合，即可得出的值.

【详解】由题意，

在中，解得：，

∴，

故答案为：.

2．

【分析】设，，代入中，得到方程组，求出，求出模长即可.

【详解】由题意得，设，，

则，即，

所以，

因为，所以，故，

故.

故答案为：

3．5

【分析】首先写出展开式的通项，再令求出，最后代入计算可得.

【详解】二项式展开式的通项为，，

令，解得，所以，所以展开式中的系数为.

故答案为：

4．②③①④⑥⑤

【分析】根据给定条件，利用数学建模的活动过程及顺序写出结论作答.

【详解】数学建模活动，根据实际情境，提出问题，基于问题，建立模型，通过模型的求解，以检验模型解决问题的结果，

若结果不符合实际，还需重新建立模型；若结果符合实际，问题的回答便有了实际的结果，

所以正确的序号顺序是②③①④⑥⑤.

故答案为：②③①④⑥⑤

5．

【分析】利用正弦定理化边为角，再结合二倍角的正弦公式即可得解.

【详解】因为，

由正弦定理得，即，

又因为，所以，

所以，

所以.

故答案为：.

6．/0.5

【分析】根据题意以及正态曲线的特征可知，的解集，即可根据集合的包含关系列出不等式组，从而得解．

【详解】依题可知，，再根据题意以及正态曲线的特征可知，的解集，

由可得，，

所以，解得：，故σ至多为．

故答案为：．

7．

【分析】设，利用向量垂直及模的坐标公式求出向量的坐标，最后根据投影公式直接计算即可.

【详解】设，因为，与垂直，所以，即，

又，所以，即，解得或，

因为与的夹角是钝角，所以，所以，

则在方向上的投影为.

故答案为：.

8．

【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简，结合三角函数性质判定值域即可.

【详解】原方程

等价于

即函数，在上有交点，

∵，∴，，故，

则.

故答案为：

9．

【分析】由题意知甲，乙两个圆锥的侧而展开图刚好拼成个圆，设圆的半径（即圆锥母线）为3，结合，即可求出，再利用勾股定理可得，由此即可求出答案.

【详解】由题意知甲，乙两个圆锥的侧而展开图刚好拼成个圆，

设圆的半径（即圆锥母线）为3，

甲､乙两个圆锥的底面半径分别为，高分别为，

由，则，

解得，

由勾股定理得，

所以，

故答案为：.

10．.

【详解】试题分析：因为等差数列前项和有最大值，所以公差为负，所以由得，所以，＝，所以当时，取到最小正值．

考点：1、等差数列性质；2、等差数列的前项和公式．

【方法点睛】求等差数列前项和的最值常用的方法有：(1)先求，再利用或求出其正负转折项，最后利用单调性确定最值；(2)利用性质求出其正负转折项，便可求得前项和的最值；（3）利用等差数列的前项和 (为常数)为二次函数，根据二次函数的性质求最值．

11．/

【分析】设点，圆心，的最小值即为的最小值减去圆的半径，求出的最小值即可得解．

【详解】依题可设，圆心，根据圆外一点到圆上一点的最值求法可知，

的最小值即为的最小值减去半径．

因为，，

设，

，由于恒成立，

所以函数在上递减，在上递增，即，

所以，即的最小值为．

故答案为：．

12．①③④

【分析】利用题设中的垂直关系可得、、、，利用这些直角三角形逐项计算各角的三角函数后可得它们的关系，从而可得正确的选项.

【详解】因为四边形是矩形，故，而，

平面，故平面.

因为四边形是矩形，故，故，而，

而平面，故平面.

而，，，.

故，，而平面，

故平面，因平面，故,

同理，.

在中，有；

在中，有；

在中，有；

故，故①正确.

在中，有，

在中，有；

故，故，故③正确.

在中，有，

在中，有；

故，故④正确.

若不成立，否则由④的结论可得，这样为锐角矛盾.

故答案为：①③④.

【点睛】思路点睛：立体几何中的角的关系的计算，一般放置在直角三角形进行讨论，注意利用空间中的垂直关系实现不同面中的垂直关系的转化.

13．C

【分析】利用方差公式可判断A选项；利用相关系数与线性相关关系可判断B选项；利用条件概率公式以及独立事件的定义可判断C选项；利用百分位数的定义可判断D选项.

【详解】对于A选项，设层数据分别为、、、；、、、，

因为，所以，总体平均数为，

所以，，，

所以，总体方差为

，

则，

所以，当或时，，否则，A错；

对于B选项，在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数的绝对值越接近于，B错；

对于C选项，由条件概率公式可得，所以，，

所以，，故，

所以，事件、相互独立，C对；

对于D选项，将样本数据由小到大排列分别为、、、、、、、，

所以，该样本数据的第百分位数为，D错.

故选：C.

14．D

【分析】通过特例可得两个条件之间的推出关系，从而可得正确的选项.

【详解】取，则，而为上严格增函数，

而不是上严格增函数，

故“在上严格增”推不出“在上严格增”.

取，，则是上严格增函数，

而不是上严格增函数，

故“在上严格增”推不出“在上严格增”.

故“在上严格增”是“在上严格增”的非充分非必要条件，

故选：D.

15．C

【分析】依题意即有恒成立，设点，把表示为关于的二次函数，求出此函数的最小值，即可建立不等式求解.

【详解】设，因为，所以，

则，

所以当时取得最小值为，

依题意恒成立，所以，

即，化简整理得，，

即，又，所以，解得.

故选：C

16．D

【分析】作出函数的图象，根据，利用数形结合法求解.

【详解】解：作出函数的图象，如图所示：

不妨设，

因为，

由函数的性质得，，即，

所以，

故选：D

17．(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由线面平行的判定定理即可证明；

（2）以点为坐标原点，、、分别为、、轴，如图建立空间直角坐标系.求出直线的方向向量和平面的法向量，由线面角的向量公式代入即可得出答案.

【详解】（1）证明：在四棱锥中，

取的中点，连接、，

因为是的中点，所以，且.

又因为底面是正方形，是的中点，

所以，且.所以.

所以四边形是平行四边形，所以.

由于平面，平面，所以平面.

（2）因为底面是正方形，所以.又因为平面.

所以以点为坐标原点，、、分别为、、轴，如图建立空间直角坐标系.

，，，，，.

，，

设平面的法向量为.有：即令，则，

所以..设直线与平面所成角为.

有：.

所以直线与平面所成角的正弦值为.

18．(1)证明见解析

(2)不存在，理由见解析

【分析】（1）由题意，得到，求得，结合等比数列的定义，即可求解；

（2）由（1）得到，求得，假设存在使得成等差数列，化简得到，即可求解.

【详解】（1）证明：对任意的正整数，点均在函数图象上，

可得，即，

又因为，可得，

所以数列表示首项为，公比为的等比数列.

（2）解：不存在.

理由：由（1）得，

当时，可得，

又因为，所以，

反证法：因为，且从第二项起数列严格单调递增，

假设存在使得成等差数列，

可得，即，

两边同除以，可得

因为是偶数，是奇数，所以，

所以假设不成立，即不存在不同的三项能构成等差数列.

19．(1)表格见解析，（元）

(2)建议购买3辆车

【分析】（1）根据表格与参考公式计算数据补全空并求出回归方程、估计成本即可；

（2）由频率分布直方图得出送货箱数的概率，再由离散型随机变量的分布列与期望公式得出购3辆车和购4辆车时每天的利润的分布列，比较期望大小即可.

【详解】（1）由表格及公式通过计算器可计算得

补全填空如下：

根据题意，，

所以

所以，

又，所以，

所以时，（千元），

即卖出100份的成本为11764元，

故利润（元）.

（2）根据频率分布直方图，可知送货箱数的概率分布表为：

设该运输户购3辆车和购4辆车时每天的利润分别为元，

则的可能取值为，其分布列为：

故，

的可能取值为，其分布列为：

故，

即购置3辆小货车的利润更高，建议购买3辆车.

20．(1)

(2)或

(3)

【分析】（1）由题意及条件先得出椭圆方程，由AM的中点在轴上先得出M纵坐标，再代入直线方程即可求得M；

（2）分类讨论中哪个内角余弦值为，分别解三角形求得对应的值即可；

（3）根据点到直线的距离公式化简得出

，再根据三角函数的有界性得出

，解不等式求出的取值范围即可求得的最小值.

【详解】（1）由题意可得，

的中点在轴上，则由中点坐标公式可知：A、M的纵坐标之和为0，

的纵坐标为，代入得：.

（2）  

由直线方程可知，由直线方程可知，故有如下两种情况：

①若，则，，即，

.

②若，则，

，

.

即，

综上或.

（3）设，则由题意得，

显然椭圆在直线的左下方，则，

即，

，

据此可得，

整理可得，即1，

又

从而.即的最小值为.

21．(1)

(2)存在，理由见解析

(3)2

【分析】（1）根据分析得到，是方程的两根，由韦达定理得，计算出；

（2）由导函数为二次函数，开口向上，结合特殊点的函数值及零点存在性定理得到极值点情况；

（3）将分别代入，得到不等式组，整理得到，求出，进而求出的最大值.

【详解】（1）因为，故一正一负，

，所以，所以是方程的两根，

由韦达定理得，

因为

所以，故，，，

因为，，所以；

（2），开口向上，

，，，

①当时，，

根据零点存在定理可知，存在使得，

且时，，单调递增，时，，单调递减，

所以在区间上存在极大值点，

②当时，，，

根据零点存在定理可知，存在使得，且时，，

时，，所以在区间上存在极小值点；

（3）对任意的，总存在使得成立，

设，的最大值为，则，

即①，②，③，

由①+③得④，

由②得⑤，

④+⑤得，即，

当且仅当，即时取等，所以的最大值为2.

【点睛】设一元三次方程的三个根为，

原方程可化为，

整理得，

比较左右两边同类项，得到一元三次的根与系数关系：

.