2023年北京市昌平区中考二模数学试卷（含解析）

这是一份2023年北京市昌平区中考二模数学试卷（含解析），共32页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年北京市昌平区中考二模数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．经文化和旅游部数据中心测算，2023年清明节假期（4月5日），全国国内旅游出游2376.64万人次，较去年清明节当日增长22.7%．将23766400用科学记数法表示应为（　　）
A． B． C． D．
2．图是某几何体的三视图，该几何体是（　　）
  
A．三棱锥 B．三棱柱 C．圆柱 D．长方体
3．若实数在数轴上的对应点的位置如图所示，则以下结论正确的是（　　）

A． B． C． D．
4．某餐厅计划推出一个新菜品，在菜品研发阶段研制出两种味道，为测试哪种味道更符合当地人口味，随机抽取餐厅内的5位当地顾客分别为两种味道的菜品打分，打分情况如下表，下列关系全部正确的是（　　）
口味
顾客1
顾客2
顾客3
顾客4
顾客5

7
9
8
6
10

5
6
10
10
9
A． B．
C． D．
5．《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆.”度方知圆，感悟数学之美.如图，正方形的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆的半径为（　　）
  
A． B．2 C． D．4
6．一个不透明的盒子中装有10个除颜色外无其他差别的小球，其中有1个黄球和3个绿球，其余都是红球，从中随机摸出一个小球，恰好是红球的概率为（　　）
A． B． C． D．
7．船航行的海岸附近有暗礁，为了使船不触上暗礁，可以在暗礁的两侧建立两座灯塔.只要留心从船上到两个灯塔间的角度不超过一定的大小，就不用担心触礁.如图所示的网格是正方形网格，点是网格线交点，当船航行到点的位置时，此时与两个灯塔间的角度（的大小）一定无触礁危险.那么，对于四个位置，船处于___________时，也一定无触礁危险.（　　）
  
A．位置 B．位置 C．位置 D．位置
8．《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期，如图，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．某学校小组仿制了一套浮箭漏，通过观察，每2小时记录一次箭尺读数，得到表格如下．
供水时间（小时）
0
2
4
6
8
箭尺读数（厘米）
6
18
30
42
54

那么箭尺读数和供水时间最可能满足的函数关系是（　　）
  
A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．二次函数关系 D．反比例函数关系

二、填空题
9．若分式有意义，则x的取值范围是___________．
10．分解因式：______．
11．分式方程的解为________．
12．写出一个比大且比小的整数 _____．
13．如图，在中，平分若，则___________．
  
14．不等式的解集为___________.
15．一个正多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个正多边形是正___________边形.
16．某旅店的客房有两人间和三人间两种，两人间每间200元，三人间每间250元，某学校50人的研学团到该旅店住宿，租住了若干客房.其中男生27人，女生23人.若要求男女不能混住，且所有租住房间必须住满.
（1）要想使花费最少，需要___________间两人间；
（2）现旅店对两人间打八折优惠，且仅剩15间两人间，此时要想花费最少，需要___________间三人间.

三、解答题
17．计算：.
18．已知，求代数式的值．
19．用尺规“三等分任意角”是数学史上一个著名难题，它已经被数学家伽罗瓦用《近世代数》和《群论》证明是不可能的．但对于特定度数的已知角，如角，角等，是可以用尺规进行三等分的．下面是小明的探究过程：
已知：如图1，．
求作：射线三等分．
  
作法：如图2，
①在射线上取任一点；
②分别以为圆心，长为半径画弧，两弧在上方交于点，在下方交于点，连接；
③作直线交于点；
④以为圆心，长为半径作圆，交线段于点（点不与点重合）；
⑤作射线．
所以射线即为所求射线．
(1)利用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明．
证明：，
为等边三角形．
．
．
为的直径，
___________．
又，
平分（　　）（填推理的依据）．
．
．
即射线三等分．
20．关于的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程有一个根小于0，求的取值范围．
21．如图，在菱形中，对角线交于点，点是过点作的平行线与过点作的垂线（垂足为）的交点.

(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)连接，求证：四边形是矩形.
22．在平面直角坐标系中，函数过点.
(1)求这个反比例函数的解析式；
(2)当时，对于的每一个值，函数的值都大于函数的值，直接写出的取值范围.
23．如图，是直径，是上一点，过点作直线，使．

(1)求证：是的切线；
(2)点是弧中点，连接并延长，分别交于点，若，，求线段的长．
24．兴寿镇草莓园是北京最大的草莓基地，通过一颗颗小草莓，促进了农民增收致富，也促进了农旅融合高质量发展．小梅家有一个草莓大棚，大棚的一端固定在离地面高的墙体处，另一端固定在离地面高的墙体处，记大棚的截面顶端某处离的水平距离为，离地面的高度为，测量得到如下数值：

0
1
2
4
5

1




  小梅根据学习函数的经验，发现是的函数，并对随的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小梅的探究过程，请补充完整：
(1)在下边网格中建立适当的平面直角坐标系，描出表中各组数值所对应的点，并画出函数的图象；
  
解决问题：
(2)结合图表回答，大棚截面顶端最高处到地面的距离高度为___________；此时距离的水平距离为___________；
(3)为了草莓更好的生长需要在大棚内安装补光灯，补光灯采用吊装模式悬挂在顶部，已知补光灯在距离地面时补光效果最好，若在距离处水平距离的地方挂补光灯，为使补光效果最好补光灯悬挂部分的长度应是多少？（灯的大小忽略不计）
25．某学校初中各年级进行体质健康测试，为了解学生成绩，从七年级和九年级各随机抽取40名学生的成绩进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息.
a.七年级成绩的频数分布直方图如下（数据分成5组：，）

b.七年级成绩在这一组的是：
82    82    83    84    85    85    85    87    87    88    88
c.七年级、九年级成绩的平均数、中位数如下：

平均数
中位数
七年级
87.55

九年级
86.25
90

根据以上信息，回答下列问题：
(1)写出表中的值；
(2)分别对本次抽取的学生的成绩进行等级赋分，不少于90分就可以赋予“优秀”等级，七年级赋予“优秀”等级的学生人数为，九年级赋予“优秀”等级的学生人数为，判断大小，并说明理由；
(3)该校共有七年级学生310人，不少于80分就可以赋予“良好”等级，估计该校七年级所有学生本次体质健康测试成绩等级为良好及以上的人数为___________（直接写出结果）.
26．在平面直角坐标系中，点是抛物线上的点．
(1)当时，求抛物线对称轴，并直接写出与大小关系；
(2)若对于任意的，都有，求的取值范围．
27．在等边中，点是中点，点是线段上一点，连接，将射线绕点顺时针旋转，得到射线，点是射线上一点，且，连接.
  
(1)补全图形；
(2)求度数；
(3)用等式表示的数量关系，并证明.
28．在平面直角坐标系中，对于点，点和直线，点关于的对称点，点是直线上一点，将线段绕点逆时针旋转得到，如果线段与直线有交点，称点是点关于直线和点的“双垂点”.
    
(1)若，点中是点关于轴和点的“双垂点”的是___________；
(2)若点，点是直线上的点，点是点关于轴和点的“双垂点”，求点的坐标；
(3)点在以为圆心，1为半径的圆上，直线，若圆上存在点是点关于直线和点的“双垂点”，直接写出的取值范围.

参考答案：
1．C
【分析】根据科学记数法的表示方法求解即可．
【详解】．
故选：C．
【点睛】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．
2．B
【分析】根据主视图和左视图确定为矩形判断出是柱体，根据俯视图判断出这个几何体是三棱柱，即可得．
【详解】解：∵主视图和左视图是矩形
∴该几何体是柱体，
∵俯视图是三角形，
∴该几何体是三棱柱，
故选：B．
【点睛】本题考查了简单立体图形的三视图，解题的关键是根据三视图还原几何体．
3．D
【分析】根据数轴上点的位置，先确定a、b的范围，再逐个判断得出结论．
【详解】解：根据数轴可得，，，
∴，，，，即D正确，
故选：D．
【点睛】本题考查了数轴、绝对值、有理数乘法的符号法则、相反数以及有理数的减法．认真分析数轴得到有用信息是解决本题的关键．
4．C
【分析】根据平均数和方差公式求解即可．
【详解】，
，
，
，
∴．
故选：C．
【点睛】此题考查了平均数和方差，解题的关键是熟练掌握平均数和方差公式．
5．C
【分析】如图，连接，利用相似多边形的性质求出正方形的面积，求出 可得结论．
【详解】解：如图，连接．
  
∵正方形与四边形是位似图形，，正方形的面积为4，
∴四边形是正方形，面积为，
∴，，
∴，
∴四边形的外接圆的半径为．
故选C．
【点睛】本题考查位似变换，相似多边形的性质等知识，解题的关键是掌握位似图形的概念．
6．A
【分析】直接根据概率公式求解．
【详解】解：∵盒子中装有个红球，
∴从中随机摸出一个小球，恰好是红球的概率是；
故选：A．
【点睛】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
7．B
【分析】先利用格点找出的外接圆的圆心，再判断哪个点在的外接圆上即可．
【详解】解：如图，
  
由网格可知，点O是和垂直平分线的交点，
即点O是的外接圆的圆心，
，
点M在的外接圆上，
，
船处于位置B时，也一定无触礁危险，
故选B．
【点睛】本题考查圆周角定理，三角形的外心，勾股定理与网格问题等，解题的关键有两个，一是找出的外接圆的圆心，二是掌握同弧所对的圆周角相等．
8．B
【分析】先建立平面直角坐标系，然后描出各点，观察这些点的分别规律即可得出结论．
【详解】解：如图，以供水时间为横轴，箭尺读数为纵轴建立平面直角坐标系，描出以表格中数据为坐标的点，，，，：
  
观察图中各点的分布规律，可知它们都在同一条直线上，
∴箭尺读数和供水时间最可能满足的函数关系是一次函数．
故选B．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象是一条直线是解题的关键．
9．x≠4．
【分析】根据分式有意义的条件列不等式即可．
【详解】解：若分式有意义，则分母不为0，
可得，x-4≠0，
解得x≠4，
故答案为：x≠4．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件列出不等式是解题关键．
10．
【分析】先提取公因式2x，再利用完全平方公式分解因式即可．
【详解】解：


故答案为：．
【点睛】本题主要考查了综合提取公因式法和公式法分解因式，掌握完全平方公式是解答关键．
11．
【分析】先去分母化为整式方程，解整式方程，检验即可．
【详解】解：，
方程两边都乘以约去分母得：，
解这个整式方程得，
检验：当时，，
∴是原分式方程的解．
故答案为：．
【点睛】本题考查分式方程的解法，掌握分式方程的解法与步骤是解题关键．
12．3（答案不唯一）
【分析】先对和进行估算，再根据题意即可得出答案．
【详解】解：∵＜2＜3＜4＜，
∴比大且比小的整数有2，3，4.
故答案为：3（答案不唯一）．
【点睛】此题考查了估算无理数的大小，估算出与是解题的关键．
13．1
【分析】作交于点F，首先根据角平分线的性质得到，然后利用三角形面积公式求解即可．
【详解】如图所示，作交于点F，
  
∵平分，
∴，
∴．
故答案为：1．
【点睛】此题考查了角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质．
14．
【分析】根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，求出不等式的解集即可．
【详解】解：，
去分母，得：，
去括号，得：，
移项、合并同类项，得： ，
系数化为1，得： ，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，熟练掌握运算步骤是解答本题的关键，注意不等式两边同时除以一个负数时，不等式要变号．
15．6
【分析】根据多边形的内角和公式与外角和定理列出方程，求解即可得到答案．
【详解】解：设这个多边形的边数为，
根据题意得：，
解得：，
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了多边形内角和公式，多边形外角和定理，解题关键是掌握多边形内角和公式：以及多边形的外角和等于．
16． 1 8
【分析】（1）要想使花费最少，则应尽可能多租三人间；
（2）两人间打八折优惠时，应尽可能多租两人间，注意所有租住房间必须住满．
【详解】解：（1）由题意知，两人间每间200元，平均每人100元，三人间每间250元，平均每人元，
因此要想花费最少，则应尽可能多租三人间，
花费最少时，27个男生租9个三人间，23个女生可以租7个三人间和1个两个间，
故答案为：1；
（2）两人间打八折优惠，则160元，平均每人80元，
此时，要想花费最少，则应尽可能多租两人间，
设27个男生租x个两个间，y个三个间，23个女生租m个两个间，n个三个间，
则，，
当，时，满足，
因此27个男生租12个两个间，1个三个间，
此时还剩两人间：（个），
因此m可以取3，2，1，0，
当时，女生需要租三人间个，不合题意；
当时，女生需要租三人间个，不合题意；
当时，女生需要租三人间个，符合题意；
因此需要租三人间：（个），
故答案为：8．
【点睛】本题考查二元一次方程的应用，解题的关键是根据题意列出二元一次方程，注意“所有租住房间必须住满”这一条件．
17．5
【分析】直接利用零指数幂的性质以及绝对值的性质、特殊角的三角函数、负指数幂的性质分别化简得出答案．
【详解】解：


=5．
【点睛】本题主要考查实数的混合运算，掌握零指数幂，负整数指数幂，绝对值以及特殊角的三角函数的运算法则，是解题的关键．
18．1
【分析】先将原式化简，将整理为，然后将整体代入即可求出答案．
【详解】解：

，
∵，
∴．
∴原式．
【点睛】本题主要考查了整式的运算以及求代数式的值，先利用平方差公式和单项式乘以多项式化简原式，再利用整体思想代入求值是解题的关键．
19．(1)见解析
(2)，等腰三角形三线合一

【分析】（1）根据作法补全图形即可；
（2）首先证明出为等边三角形，然后得到，然后根据直径的性质得到，然后根据等腰三角形三线合一性质证明即可．
【详解】（1）如图所示，
  
（2）证明：，
为等边三角形．
．
．
为的直径，
．
又，
平分（等腰三角形三线合一）（填推理的依据）．
．
．
即射线三等分．
故答案为：，等腰三角形三线合一．
【点睛】此题考查了圆直径的性质，等腰三角形三线合一性质，等边三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
20．(1)见解析
(2)

【分析】（1）先求出判别式，利用配方法变为完全平方式即可，
（2）利用求根公式，先求一元二次方程含k 的根，让其一根小于0，求出范围即可．
【详解】（1）解：，
，
，
方程总有两个实数根；
（2）解：，
，
，
方程有一根小于0，
，
．
【点睛】本题考查一元二次方程的判别式与根的范围问题，掌握根的判别式的用途，会用根的判别式解决方程根的情况，会利用求根公式解方程，会用条件利用不等式，会解不等式是关键．
21．(1)见解析
(2)见解析

【分析】（1）根据菱形的性质可得，进而可得，根据两组对边平行的四边形是平行四边形即可证明；
（2）先证四边形是平行四边形，再根据可证四边形是矩形．
【详解】（1）证明：四边形是菱形，
，
又，
，即，
又，
四边形是平行四边形；
（2）证明：四边形是菱形，
，
由（1）得四边形是平行四边形，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是矩形．
【点睛】本题考查菱形的性质，平行四边形的判定和性质，矩形的判定，解题的关键是掌握菱形的对角线互相平分且垂直．
22．(1)
(2)且

【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）求得直线经过点时的解析式，利用数形结合思想即可求解．
【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∴这个反比例函数的解析式为；
（2）解：将代入，
解得，

∵当时，对于的每一个值，函数的值都大于函数的值，
∴且．
【点睛】本题考查了一次函数图象与反比例函数的交点问题，函数与不等式的关系，掌握数形结合思想是解题的关键．
23．(1)见解析
(2)

【分析】（1）首先根据直径的性质得到，然后利用余角的性质得到，即可证明出是的切线；
（2）首先根据题意画出图形，然后根据三角函数得到，，进而得到，然后根据垂径定理得到，进而得到，利用三角函数求出，即可求解．
【详解】（1）∵是直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是直径，
∴是的切线；
（2）如图所示，

∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点是弧中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴解得，
∴．
【点睛】此题考查了圆的综合题，三角函数，切线的证明，垂径定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
24．(1)见解析
(2)4；3
(3)为使补光效果最好补光灯悬挂部分的长度应是．

【分析】（1）描点，连线，即可画出函数的图象；
（2）结合图表回答，即可解答；
（3）利用待定系数法求得抛物线的解析式，令，求得函数值，即可解答．
【详解】（1）解：描点，连线，函数的图象如图所示，
  ；
（2）解：根据图表知，大棚截面顶端最高处到地面的距离高度为；此时距离的水平距离为；
故答案为：4；3；
（3）解：设抛物线的解析式为，
把，，，代入得，，
解得，
∴抛物线的解析式为，
令，则，
，
答：为使补光效果最好补光灯悬挂部分的长度应是．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用，根据点的坐标画出函数图象是解题关键．
25．(1)87
(2)，理由见解析
(3)217

【分析】（1）根据中位数的定义及七年级组的数据求解；
（2）比较两组数据的中位数即可；
（3）利用样本估计总体思想求解．
【详解】（1）解：由条形统计图及知组的数据可知，将七年级成绩的数据按从小到大顺序排列，第20位和第21位均是87，
因此七年级成绩的中位数是87，
即m的值为87；
（2）解：，理由如下：
七年级成绩的中位数是87，九年级成绩的中位数是90，
九年级成绩的中位数大于七年级成绩的中位数，
；
（3）解：（人），
故答案为：217．
【点睛】本题考查中位数，利用中位数做决策，利用样本估计总体等，解题的关键是掌握中位数的定义．
26．(1)抛物线的对称轴为，
(2)或

【分析】（1）当时，抛物线，抛物线过点，，根据对称轴公式即可得到对称轴，再根据点比点离对称轴水平距离远，且抛物线开口向上，即可得到与大小关系；
（2）分三种情况：①当时；②当时；③当时，，分别讨论即可得到答案．
【详解】（1）解：当时，抛物线，抛物线过点，，
抛物线的对称轴为，
点比点离对称轴水平距离远，且抛物线开口向上，
；
（2）解：①当时，
，
，
恒成立，
，
，
，
；
②当时，
，
，
恒不成立，
舍去；
③当时，，
，
，
恒成立，
，
，
，
，
，
综上所述，或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，采用分类讨论的思想是解题的关键．
27．(1)见解析；
(2)；
(3)，理由见解析；

【分析】（1）根据旋转的画法得到，再根据点在上即可得到；
（2）根据旋转角及三角形外角的性质得到；
（3）根据圆周角、圆心角的性质及等边三角形的三线合一性得到同弦所对的圆心角等于圆周角的倍即可解答．
【详解】（1）解：如图所示即为所求，
  
（2）解：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴；
（3）解：，理由如下：
连接，作于点，
∵，，
∴是等边三角形，
∴是的垂直平分线，
∴，
∵是等边三角形，
∴是的平分线，
∵，
∴，
∵，
∴
∵与所对的弦是，
∴圆是的外接圆，
∴，
  
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，同弦所对的圆心角、圆周角的性质，同圆或者等圆的半径相等，掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键．
28．(1)
(2)
(3)

【分析】（1）根据新定义进行判断即可求解；
（2）根据题意得出点是直线上的点，则点关于轴的对称点在直线上，点在直线上，且，别作轴，轴，交轴于点，与交于点，证明，设得出代入直线，求得，即可求得；
（3）根据新定义可得的轨迹与直线垂直，在上找到一点，得点落在上，则当的轨迹所在直线与相切时，取得最大值，根据题意画出图形，求得的最大值，同理可得的最小值.
【详解】（1）解：解：如图所示，

故答案为：．
（2）解：根据题意，点是直线上的点，则点关于轴的对称点在直线上，
由题意可得，点在直线上，且，
如图所示，作轴于点，分别作轴，轴，交轴于点，与交于点，

∴四边形为矩形，
∵
∴
又∵
∴
∴
∴四边形为正方形，
设
∴
∵
∴
将点代入直线中，
解得：
∴
∴
（3）解：由（1）可得，点的轨迹为垂直于直线垂直的一条直线，
当时，如图所示，
在上找到一点，得点落在上，则当的轨迹所在直线与相切时，取得最大值，

∵，关于直线对称，
∴
如图所示，当刚好在直线上时，，依题意，是等腰直角三角形，
∵直线与直线垂直，且过点
∴直线的解析式为
∵
∴，
如图所示，当时，

同理可得，
综上所述，．
【点睛】本题考查了几何新定义，理解新定义中点轨迹是解题的关键．