2023年宁夏银川景博学校中考二模数学试题（含解析）

这是一份2023年宁夏银川景博学校中考二模数学试题（含解析），共27页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年宁夏银川景博学校中考二模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．若，，，则，，的大小关系是（   ）
A． B． C． D．
2．如果直线与交点坐标是，则是下面哪个方程组的解（   ）
A． B． C． D．
3．小明同学对数据26，36，36，46，5■，52进行统计分析．发现其中一个两位数的个位数字被墨水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是（    ）
A．平均数 B．方差 C．中位数 D．众数
4．四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形．当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变．如图，改变正方形ABCD的内角，正方形ABCD变为菱形ABC′D′．若∠D′AB＝30°，则菱形ABC′D′的面积与正方形ABCD的面积之比是（　　）

A．1 B． C． D．
5．主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走米时恰好站在舞台的黄金分割点上长为，则满足的方程是（   ）

A． B． C． D．以上都不对
6．如图，港口A在观测站O的正东方向，OA＝4km．某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为（  ）

A．4km B．2km C．2km D．（＋1）km
7．一件工艺品进价为100元，标价130元售出，每天平均可售出100件．根据销售统计，一件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出5件，某店为减少库存量，同时使每天平均获得的利润为3000元，每件需降价的钱数为（　　）
A．12元 B．10元 C．8元 D．5元
8．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，其对称轴为直线x＝1，有如下结论：
①c＜1；
②2a＋b＝0；
③b2＜4ac；
④若方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x1，x2，则x1＋x2＝2.

其中正确的结论是(　　)
A．①② B．①③ C．②④ D．③④

二、填空题
9．因式分解： __________．
10．如图，在一块长为20m，宽为14m的草地上有一条宽为2m的曲折小路，运用你所学的知识求出这块草地的绿地面积为________m2

11．若是一元二次方程的两个实数根，则=__________．
12．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是___________．

13．如图，在平面直角坐标系中，点，，的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为_______．

14．如图是一个几何体的三视图，根据图中所示数据计算这个几何体的侧面积是_________

15．图中有三个正方形，最大正方形的边长为，利用轴对称的相关知识，得到阴影部分的面积为_____

16．伊斯兰数学家塔比伊本库拉在其著作《以几何方法证明代数问题》中讨论了二次方程的几何解法．例如：可以用如图来解关于的方程，其中为长方形，为正方形，且，，则几何图形中的某条线段就是方程的一个正根，则这个方程的正根是线段___________


三、解答题
17．如图，在8×8的正方形网格中，已知的顶点都在格点上，请在所给网格中按要求画出图形．

(1)在图1中，将绕着点C顺时针方向旋转得到（点A，B的对应点分别为，），并画出．
(2)在图2中，以点C为位似中心，作的位似图形，并使边长放大到原来的2倍，请画出的位似图形．
18．老师在黑板上书写了一道题目的正确计算过程，随后用手遮住了其中一部分，如图所示：

(1)求被手遮住部分的代数式．
(2)等式左边代数式的值能等于吗？请说明理由．
19．解不等式组．
20．为进一步落实“德、智、体、美、劳”五有并举工作，某中学以体有为突破口，准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球，用于学校开展球类活动，已知篮球的单价比足球单价的2倍少30元，用1200元购买足球的数量是用900元购买篮球数量的2倍．
(1)足球和篮球的单价各是多少元？
(2)根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共200个，总费用不超过15600元，学校最多可以购买多少个篮球？
21．如图，已知中，，请用直尺不带刻度和圆规，按下列要求作图不要求写作法，但要保留作图痕迹．

(1)在图中，求作点，使四边形为平行四边形；
(2)在图中，求作菱形，使菱形的顶点落在边上；
(3)在（2）的条件下，若，，求菱形的周长．
22．2022年5月10日，搭载天舟四号货运飞船的长征七号遥五运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射，发射取得圆满成功．为激发广大青少年了解航天知识的热情，某校组织了航天知识的相关讲座和课程，并进行了航天知识竞赛，教务处随机抽取了50份竞赛卷进行统计，发现最低分为65分，最高分为100分，并绘制了如下尚不完整的统计图表．
组别
成绩x（分）
频数（人数）
各组总分（分）
A
95≤x≤100
8
778
B
85≤x＜95
m
2070
C
75≤x＜85
n
1280
D
65≤x＜75
3
222
请根据图表提供的信息，解答下列问题：
(1)m＝______，C组所占圆心角度数为______°；
(2)此次被抽取的竞赛卷成绩的中位数落在______组，并求此次被抽取的竞赛卷成绩的平均数；
(3)学校计划对成绩为95≤x≤100的学生进行奖励，若该校共有1000人参加此次竞赛，请估计此次竞赛获得奖励的学生人数．
23．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC、AC分别交于D、E两点，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．

（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若AE＝4，cosA＝，求DF的长．
24．心理学家研究发现，一般情况下，在一节40分钟的课中，学生的注意力随教师讲课时间的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散，经过实验分析可知，学生的注意力指数y随时间x（分）的变化规律如图所示，其中、分别为线段，平行于x轴，为双曲线的一部分．上课开始时，注意力指数为20，第10分钟时，注意力指数为40．根据图像信息，

回答下列问题：
(1)中间一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态持续的时长为__________分钟；
(2)若开始上课第x分钟学生的注意力指数和上课第40分钟时的注意力指数相等，求x的值；
(3)一道数学题，需要讲19分钟，为了讲解效果，要求学生的注意力指数至少为36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力指数达到所需要的状态下讲解完这道题？请说明理由．
25．如图，抛物线与轴交于，两点，过点的直线交抛物线于点．

(1)求抛物线的解析式．
(2)点是线段上一个动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，求线段最大时点的坐标．
(3)点是抛物线上的动点，在轴的正半轴上是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由．
26．综合与实践
动手实践：数学研究的一个重要内容就是研究变化过程中的不变量．
数学课上张老师拿了两块相似比为1：2的三角板，按图1放置，使角的顶点C重合，点D、点E分别在边上，．将三角板绕点C逆时针旋转，记旋转角为α．

(1)当时，______．
(2)如图2，当时，______．
尝试探究：
(3)猜想：当时，的值是否有变化？请选择图3或图4其中一种情况加以证明．
拓展延伸：
(4)如图5，在中，，点D、点E分别是边的中点，连接．将绕点C逆时针旋转，当旋转至E、B、A三点在同一条直线上时，请你直接写出线段的长______．

参考答案：
1．B
【分析】利用零指数，负整数指数幂的运算法，计算a、b、c的值，再比较大小．
【详解】，
，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了零指数，负整数指数幂运算．关键是熟悉运算法则，利用计算结果比较大小．
2．D
【分析】由于函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．那么所求方程组的解即为两函数的交点坐标．
【详解】解：直线与交点坐标为，
解为的方程组是，
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组的知识，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
3．C
【分析】利用平均数、中位数、方差和标准差的定义对各选项进行判断．
【详解】解：这组数据的平均数、方差和标准差都与第5个数有关，而这组数据的中位数为36与46的平均数，与第5个数无关．
故选：C．
【点睛】本题考查了方差：它也描述了数据对平均数的离散程度.也考查了中位数、平均数和众数的概念，解题的关键是熟练掌握平均数、中位数、方差和标准差的定义．
4．B
【分析】如图，连接DD＇，延长交AD于E，由菱形，可得,进一步说明,得到菱形AE=AD；又由正方形ABCD，得到AB=AD,即菱形的高为AB的一半，然后分别求出菱形和正方形ABCD的面积，最后求比即可．
【详解】解：如图：延长交AD于E
∵菱形
∴
∵
∴
∴AE=AD
又∵正方形ABCD
∴AB=AD,即菱形的高为AB的一半
∴菱形ABC′D′的面积为，正方形ABCD的面积为AB2．
∴菱形ABC′D′的面积与正方形ABCD的面积之比是．
故答案为B．

【点睛】本题主要考出了正方形的性质、菱形的性质以及含30°直角三角形的性质，其中表示出菱形ABC′D′的面积是解答本题的关键．
5．A
【分析】点P是的黄金分割点，且，，则，根据，即可求解．
【详解】解：由题意知，点P是的黄金分割点，且，，则，，
，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．
6．C
【详解】试题分析：过点A作AD⊥OB，则AD=OA=2km，根据题意可得：△ABD为等腰直角三角形，则AB=2km.
考点：三角函数的应用

7．B
【分析】设每件工艺品降价x元，则每天的销售量为（100+5x）件，根据每日的利润＝每件的利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．
【详解】设每件工艺品降价x元，则每天的销售量为（100+5x）件，
根据题意得：（130﹣100﹣x）（100+5x）＝3000，
整理得：x2﹣10x＝0，
解得：x1＝0，x2＝10．
∵要减少库存量，
∴x＝10．
故选B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8．C
【分析】由抛物线与y轴的交点在1的上方，得到c大于1，故选项①错误；由抛物线的对称轴为x=1，利用对称轴公式得到关于a与b的关系，整理得到2a+b=0，选项②正确；由抛物线与x轴的交点有两个，得到根的判别式大于0，整理可判断出选项③错误；令抛物线解析式中y=0，得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系表示出两根之和，将得到的a与b的关系式代入可得出两根之和为2，选项④正确，即可得到正确的选项．
【详解】由抛物线与y轴的交点位置得到：c>1，选项①错误；
∵抛物线的对称轴为 ∴2a+b=0，选项②正确；
由抛物线与x轴有两个交点,得到b2−4ac>0,即b2>4ac，选项③错误；
令抛物线解析式中y=0,得到ax2+bx+c=0，
∵方程的两根为x1,x2,且,及
∴ 选项④正确，
综上，正确的结论有②④.
故选:C
【点睛】考查二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数系数对图象的影响是解题的关键.
9．
【分析】先提公因式，然后利用完全平方公式进行分解即可．
【详解】

．
故答案为：．
【点睛】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．
10．216
【分析】将小路平移到这块草地的上方和左侧，可得草地是矩形，根据面积的和差，可得答案．
【详解】解：平移使路变直，绿地拼成一个长(20−2)米，宽(14−2)米的矩形，
绿地的面积（20−2）（14−2）＝216（m2），
故答案为216．
【点睛】本题考查了平移的应用，根据平移使不规则图形转化成易求面积的矩形是解题关键．
11．-3
【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．
【详解】由根与系数的关系可知：x1+x2=﹣1，x1x2=﹣2，
∴x1+x2+x1x2=﹣3
故答案为﹣3．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型．
12．
【分析】根据数轴判断出a、b的取值范围，然后判断出，，的正负情况，再根据二次根式的性质去掉根号，进行计算即可得解．
【详解】解：根据图形可得，，
∴，，，
∴


．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，实数与数轴．根据图形判断出a、b的取值范围，是解题的关键．
13．（2，1）
【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．
【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，
可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．
如图所示，则圆心是（2，1）．
故答案为（2，1）．

【点睛】本题考查垂径定理的应用，解答此题的关键是熟知垂径定理，即“垂直于弦的直径平分弦”．
14．
【分析】由几何体的三视图可得出原几何体为圆锥，根据图中给定数据求出侧面积即可．
【详解】解：由几何体的三视图可得出原几何体为圆锥，
根据主视图中给定数据可知圆锥的母线长是，底面圆的直径是6，
因此圆锥的侧面积为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了由三视图判断几何体、圆锥表面积的计算，由几何体的三视图可得出原几何体为圆锥是解题的关键．
15．17
【分析】分别求出正方形的边长即可解决问题．
【详解】解：如图，

正方形的边长为6，
，
四边形是正方形，
，
设正方形的边长为，则，
，
，
，
，
故答案为：17．
【点睛】本题考查正方形的性质，勾股定理，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
16．/
【分析】设正方形的边长为，则，根据，可得，所以，进而可得是方程的其中一个正根．
【详解】解：设正方形的边长为，
则，
，
，
，
则方程的其中一个正根为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程，数学常识，正方形的性质，解决本题的关键是理解一元二次方程定义．
17．(1)图形见解析；
(2)图形见解析．

【分析】（1）根据旋转的性质得出对应点，，依次连接即可得到；
（2）利用位似图形的性质以及位似比得到对应点，依次连接即可得到所求图形．
【详解】（1）解：如图1所示，即为所求作，

（2）解：的位似图形如图2所示：

【点睛】本题考查了画旋转图形和位似图形，熟练掌握旋转变换和位似变换的性质得出对应点是解题关键．
18．(1)
(2)不能，理由见解析

【分析】（1）设被手遮住部分的代数式为A，根据题意得出A的表达式，再根据分式混合运算的法则进行计算即可；
（2）令原代数式的值为0，求出x的值，代入代数式中的式子进行验证即可．
【详解】（1）设被手遮住部分的代数式为A，
则

；
（2）原代数式的值不能等于0．
若原代数式的值为0，则，即，解得，
当时，，分式无意义，
∴故原代数式的值不能等于0．
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，在解答此类提问题时要注意x的取值要保证每一个分式有意义．
19．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】解：
由，得：，
由，得：，
则不等式组的解集为．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
20．(1)足球的单价是60元，篮球的单价是90元
(2)120个

【分析】（1）设足球的单价是元，则篮球的单价是元，由题意：用1200元购买足球的数量是用900元购买篮球数量的2倍，列出分式方程，解方程即可；
（2）设学校可以购买篮球，则可以购买个足球，由总价单价数量，且购买足球和篮球的总费用不超过15600元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【详解】（1）解：设足球的单价是元，则篮球的单价是元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：足球的单价是60元，篮球的单价是90元．
（2）设学校可以购买个篮球，则可以购买个足球，
依题意得：，
解得：，
答：学校最多可以购买120个篮球．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
21．(1)见解析
(2)见解析
(3)10

【分析】（1）作，然后截取，连接，即可；
（2）作的垂直平分线交于点D，再以点A为圆心，为半径画弧交于点E，连接，即可；
（3）设与交于点F，则，，再由，可得，再由勾股定理可得，即可．
【详解】（1）解：如图，四边形即为所求；

理由：根据作法得：，
∴，
∴四边形为平行四边形；
（2）解：如图，菱形即为所求；

理由：根据作法得：垂直平分，，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
（3）解：设与交于点F，则，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴菱形周长为．
【点睛】本题主要考查了尺规作图，平行四边形的判定，菱形的判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
22．(1)23，115.2
(2)B，87
(3)160人

【分析】（1）根据题目中的信息用总数乘百分比即可得到答案，利用总数和每个的频数求出C的频数，再求出所占的百分比，最后求出圆心角即可．
（2）利用中位数和平均数的定义解答即可．
（3）利用样本估算总体即可．
【详解】（1）解：根据题目中的信息得m=50×46%=23，
n=50-23-3-8=16，
∴C组所占圆心角度数为：，
故答案为：23，115.2°．
（2）解：把本次抽查的学生成绩按从小到大的顺序排列，排在第25和26位的数的平均数是中位数，而第25和26都在B组，故平均数也是在B组，故此次被抽取的竞赛卷成绩的中位数落在B组，
（778+2070+1280+222）÷50=87．
故答案为：B，87．
（3）解：1000×16%=160（人）
故此次竞赛获得奖励的学生人数是160人．
【点睛】本题考查频率分布表、扇形统计图、用样本估算总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
23．（1）证明见解析（2）
【分析】（1）证明：如图，连接OD，作OG⊥AC于点G，推出∠ODB=∠C；然后根据DF⊥AC，∠DFC=90°，推出∠ODF=∠DFC=90°，即可推出DF是⊙O的切线．
（2）首先判断出：AG=AE=2，然后判断出四边形OGFD为矩形，即可求出DF的值是多少．
【详解】证明：如图，连接OD，作于点G，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
是的切线．
解：，
，
，
，
，
四边形OGFD为矩形，
．
【点睛】此题主要考查了切线的性质和应用，等腰三角形的性质和应用，以及解直角三角形的应用，要熟练掌握．
24．(1)15
(2)
(3)老师不能在学生注意力指数达到所需要的状态下讲解完这道题；理由见解析

【分析】（1）根据函数图像获得信息直接回答即可；
（2）先求出反比例函数和一次函数解析式，然后求出当时，反比例函数y的值，再将这个值代入一次函数解析式求出x的值即可；
（3）先求出时所对应的一次函数和反比例函数中x的值，然后再求出这两个值的差与19进行比较即可．
【详解】（1）解：根据图像可知，学生的注意力保持较为理想的稳定状态持续的时长为：
（分钟）；
故答案为：15．
（2）解：设一次函数解析式为：，把，代入得：
，
解得：，
∴一次函数解析式为：，
设反比例函数解析式为，把代入得：
，
解得：，
∴反比例函数解析式为，
把代入得：，
把代入得：，
解得：，
即开始上课第2.5分钟学生的注意力指数和上课第40分钟时的注意力指数相等．
（3）解：把代入得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
∵，
∴老师不能在学生注意力指数达到所需要的状态下讲解完这道题．
【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用，解题的关键是数形结合，从函数图像中获得信息，求出一次函数和反比例函数解析式．
25．(1)
(2)
(3)或或

【分析】（1）将点A和点B的坐标代入即可求出结论；
（2）先利用抛物线解析式求出点C的坐标，然后利用待定系数法求出直线的解析式，设点P的坐标为，点E的坐标为且，从而求出与x的函数解析式，然后利用二次函数求最值即可；
（3）设点D的坐标为，点F的坐标为，根据平行四边形的对角线分类讨论，然后根据平行四边形的对角线互相平分和中点公式列出方程，即可分别求解．
【详解】（1）将，两点坐标分别代入抛物线解析式中，得，
，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）将点代入抛物线解析式中，得，
，
∴点C的坐标为，
设直线的解析式为，
将和点的坐标分别代入，得，
，
解得：，
∴直线的解析式为，
设点P的坐标为，点E的坐标为且，
∴，
，
，
∵，
∴抛物线的开口向下，
∴当时，PE有最大值，最大值为，
此时点P的坐标为；
（3）存在，
设点D的坐标为，点F的坐标为，
若和为平行四边形的对角线时，
∴的中点即为的中点，
∴，
解②，得，，
将代入①，解得：；
将代入①，解得：；
∴此时点D的坐标为或；
若和为平行四边形的对角线时，
∴的中点即为的中点，
∴，
解②，得，（此时点F和点C重合，故舍去），
将代入①，解得：；
∴此时点D的坐标为；
若和为平行四边形的对角线时，
∴的中点即为的中点，
∴，
解②，得，（此时点F和点C重合，故舍去），
将代入①，解得：，
∵点在轴的正半轴上，故舍去；
综上：存在，此时点D的坐标为或或．

【点睛】此题考查的是二次函数与几何图形的综合大题，掌握利用待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式、利用二次函数求最值和平行四边形的性质是解题关键．
26．(1)2
(2)2
(3)不变，证明见解析
(4)或

【分析】（1）根据直角三角形的性质求出，根据相似三角形的性质计算，得到答案；
（2）结合图形计算即可；
（3）证明，根据相似三角形的性质计算，得到答案；
（4）分点在的延长线上、点在线段上两种情况，根据相似三角形的性质解答即可．
【详解】（1）在中，，，
，
，
与的相似比为，
，，
，，
，
故答案为：2；
（2）如图2，，，
，
故答案为：2；
（3）的值不变，
证明如下：如图3，
，
，
，
，即，
，
，
的值不变；
（4）如图中，当点在的延长线上时，

在中，，，，
则，
点、点分别是边、的中点，
，，，
，
，
，
，即，
，
，
，
，
如图中，当点在线段上时，，

，
，
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综上所述，的长为或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查的是旋转变换、相似三角形的判定和性质、平行线的性质、勾股定理，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，灵活运用分类讨论的思想思考问题．