2023年山东省泰安市东平县中考三模数学试题（含解析）

这是一份2023年山东省泰安市东平县中考三模数学试题（含解析），共32页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年山东省泰安市东平县中考三模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．某市冬季中的一天，中午12时的气温是，经过6小时气温下降了，那么当天18时的气温是（    ）
A． B． C． D．
2．下列运算正确的是（    ）
A． B． C． D．
3．开展中小学生课后服务，是促进学生健康成长、帮助家长解决按时接送学生困难的重要举措．据统计，全国义务教育学校共有7743.1万名学生参加了课后服务．将7743.1万用科学记数法表示为（   ）
A．7.7431×106 B．7.7431×107 C．0.77431×108 D．77.431×106
4．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，是等腰三角形，，将一个含的直角三角板如图放置，若，则（    ）
  
A． B． C． D．
6．如图，是甲、乙两位同学五次体育测试成绩的折线统计图，下列说法正确的是（    ）

A．甲同学成绩的众数是85 B．乙同学成绩的中位数是85
C．甲同学成绩的方差更大 D．乙同学成绩的平均数更大
7．如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD=8cm，AE=2cm，则OF的长度是（　　）

A．3cm B． cm C．2.5cm D． cm
8．如图，点O是半圆圆心，BE是半圆的直径，点A，D在半圆上，且，，过点D作于点C，则阴影部分的面积是（　　）

A． B． C． D．
9．已知二次函数的部分对应值如下表．同学们讨论得出了下列结论：①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线；③当时，；④是方程的一个根．其中正确的结论有（  ）
x
…


0
1
3
5
…
y
…
7
0




…
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．为了研究吸烟是否对肺癌有影响，某肿瘤研究所随机地抽查了10000人，并进行统计分析，结果显示：在吸烟者中患肺癌的比例是，在不吸烟者中患肺癌的比例是，吸烟者患肺癌的人数比不吸烟者患肺癌的人数多22人．如果设这10000人中，吸烟者患肺癌的人数为x，不吸烟者患肺癌的人数为y，根据题意，下面列出的方程组正确的是（    ）
A． B．
C． D．
11．如图所示，在菱形中，，点E，F分别为边上的点，且，连接交于点，连接交于点O，则下列结论：①；②；③；④．其中正确结论有（    ）

A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①③④
12．如图，直角三角形顶点在矩形的对角线上运动，连接．，，，则的最小值为(    )．

A． B． C． D．

二、填空题
13．计算的结果为_____．
14．如图，点A的坐标为（1，3），点B在x轴上，把△OAB沿x轴向右平移到△ECD，若四边形ABDC的面积为15，则点C的坐标为 ________．

15．如图，在⊙O中，AB切⊙O于点A，连接OB交⊙O于点C，过点A作AD∥OB交⊙O于点D，连接CD．若∠B=50°，则∠OCD的度数等于___________．

16．在综合实践课上，小聪所在小组要测量一条河的宽度，如图，河岸EF∥MN，小聪在河岸MN上点A处用测倾器测得河对岸小树C位于东北方向，然后沿河岸走了30米，到达B处，测得河对岸电线杆D位于北偏东30°方向，此时，其他同学测得CD＝10米．则河的宽度为________米(结果保留根号).

17．如图，将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第3行第4列的数为23，则位于第25行第11列的数是 ．

18．四边形是边长为9的正方形纸片，将其沿折叠，使点B落在边上的处，点A对应点为，且，则的长是______．
  

三、解答题
19．（1）先化简再求值：，其中
（2）解不等式组：
20．“端午节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“粽子”的习俗．我市某食品厂为了解市民对去年销量较好的肉馅粽、豆沙馅粽、红枣馅粽、蛋黄馅粽（以下分别用A、B、C、D表示）这四种不同口味粽子的喜爱情况，在节前对某居民区市民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图（尚不完整）．

请根据以上信息回答：
（1）本次参加抽样调查的居民有多少人？
（2）将两幅不完整的图补充完整；
（3）若居民区有8000人，请估计爱吃D粽的人数；
（4）若有外型完全相同的A、B、C、D粽各一个，煮熟后，小王吃了两个．用列表或画树状图的方法，求他第二个吃到的恰好是C粽的概率．
21．如图，在平面直角坐标系中，已知点，反比例函数的图象经过点A，动直线与反比例函数的图象交于点M，与直线交于点N．

(1)求k的值；
(2)求面积的最大值；
22．某超市准备购进甲、乙两种牛奶进行销售，若甲种牛奶的进价比乙种牛奶的进价每件少5元，其用90元购进甲种牛奶的数量与用100元购进乙种牛奶的数量相同．
（1）求甲种牛奶、乙种牛奶的进价分别是每件多少元？
（2）若该商场购进甲种牛奶的数量是乙种牛奶的3倍少5件，两种牛奶的总数不超过95件，该商场甲种牛奶的销售价格为49元，乙种牛奶的销售价格为每件55元，则购进的甲、乙两种牛奶全部售出后，可使销售的总利润（利润＝售价﹣进价）超过371元，请通过计算求出该商场购进甲、乙两种牛奶有哪几种方案？
23．如图，在矩形ABCD中，E是BC上的一点，DE平分，，F是AB上一点，G是FD的中点．

(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若，，求的长．
24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，且OC＝2OA．
（1）试求抛物线的解析式；
（2）直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，与抛物线交于点P，与直线BC交于点M，记m＝，试求m的最大值及此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，点Q是x轴上的一个动点，点N是坐标平面内的一点，是否存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形？如果存在，请求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由．

25．定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．
（1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，若∠A＝α，请用含α的代数式表示∠E．
（2）如图2，四边形ABCD内接于⊙O，＝，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O于点F，连结BF并延长交CD的延长线于点E．求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．
（3）如图3，在（2）的条件下，连结AE，AF，若AC是⊙O的直径．
①求∠AED的度数；
②若AB＝8，CD＝5，求△DEF的面积．


参考答案：
1．B
【分析】根据有理数减法计算即可．
【详解】解: ∵中午12时的气温是，经过6小时气温下降了，
∴当天18时的气温是．
故选B．
【点睛】本题考查有理数的减法，掌握有理数的减法法则是解题关键．
2．C
【分析】根据合并同类项法则、积的乘方法则、多项式乘多项式法则、完全平方公式逐项计算，即可得出答案．
【详解】解：与不是同类项，不能合并，故A选项计算错误，不合题意；
，故B选项计算错误，不合题意；
，故C选项计算正确，符合题意；
，故D选项计算错误，不合题意；
故选C．
【点睛】本题考查合并同类项、积的乘方、多项式乘多项式、完全平方公式，熟练掌握上述运算法则是解题的关键．
3．B
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【详解】解：7743.1万=77431000=7.7431×107，
故选：B．
【点睛】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．
4．A
【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
【详解】A．是轴对称图形，故A符合题意；
B．不是轴对称图形，故B不符合题意；
C．不是轴对称图形，故C不符合题意；
D．是轴对称图形，故D不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．

5．D
【分析】由平行线的性质推出，根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质得到，据此即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
6．D
【分析】根据折线图得到甲、乙两组数据，分别计算出两组数据的众数、中位数、方差、平均数即可．
【详解】解：由折线图可知，甲同学的五次成绩为：85，90，80，85，80，
该组数据的众数为：80和85，
中位数为：85，
平均数为：，
方差为：；
由折线图可知，乙同学的五次成绩为：100，85，90，80，95，
该组数据没有众数，
中位数为：90，
平均数为：，
方差为：；
综上可知，甲同学成绩的众数是80和85，故A选项错误；
乙同学成绩的中位数是90，故B选项错误；
甲同学成绩的方差比乙同学的方差小，故C选项错误；
乙同学成绩的平均数比甲同学的大，故D选项正确；
故选D．
【点睛】本题考查折线统计图，求一组数据的平均数、方差、中位数、众数等，解题的关键是掌握平均数、方差、中位数、众数的定义及求解方法．
7．D
【详解】分析：根据垂径定理得出OE的长，进而利用勾股定理得出BC的长，再利用相似三角形的判定和性质解答即可．
详解：连接OB，

∵AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，BD=8cm，AE=2cm．
在Rt△OEB中，OE2+BE2=OB2，即OE2+42=（OE+2）2
解得：OE=3，
∴OB=3+2=5，
∴EC=5+3=8．
在Rt△EBC中，BC=．
∵OF⊥BC，
∴∠OFC=∠CEB=90°．
∵∠C=∠C，
∴△OFC∽△BEC，
∴，即，
解得：OF=．
故选D．
点睛：本题考查了垂径定理，关键是根据垂径定理得出OE的长．
8．B
【分析】如图：连接，根据已知条件可得是等边三角形，将阴影部分的面积转化为扇形的面积求解即可．
【详解】解：如图：连接，

∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵与与是等底等高的三角形，
∴．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了扇形面积的计算，判断出△AOD与△ABD与△AOB是等底等高的三角形，且△AOB是等边三角形，掌握扇形的面积公式是解题关键．
9．C
【分析】①在对称轴的右侧，随的增大而增大，即可求解；
②根据表格中数据的对称性即可求解；
③根据函数的对称性，则时，，即可求解；
④根据表格中数据即可得出结论．
【详解】解：∵时，，时，，
∴函数的对称轴为直线，在对称轴的右侧，随的增大而增大，故抛物线的开口向上，
故①正确，符合题意；②错误，不合题意；
∵当时，，根据函数的对称性，则时，，
故当时，，
故③正确，符合题意；
∵由表格知，当时，，即，
则是方程的一个根，
故④正确，符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的最值，抛物线与轴的交点，仔细分析表格数据，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
10．B
【分析】根据“吸烟者患肺癌的人数比不吸烟者患肺癌的人数多22人，以及在吸烟者中患肺癌的比例是，在不吸烟者中患肺癌的比例是，”分别列出方程组成方程组，即可得出答案．
【详解】解：由题意可得，
，
故选：B．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
11．A
【分析】由菱形中，，易证得是等边三角形，则可得，由即可证得，可得，由外角性质可得，可判断①②，由点A，H，C，D四点共圆，可得，，可证，可判断③，通过证明，可得，可得，可判断④，即可求解．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
即是等边三角形，
同理：是等边三角形，
∴，
在和中，
，
∴；
∴，
∵，
∴，
故①正确，②正确；
∵，
∴点A，H，C，D四点共圆，
∴，
∴，
∴，
∴，故③正确；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故④正确；
综上可知，正确的有：①②③④，
故选A．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆的内接四边形，圆周角定理，菱形的性质，等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，难度较大，综上综合运用上述知识点，逐步推导认证是解题的关键．
12．D
【分析】过点作于点，连接，由，推出、、、四点共圆，再证为定值，推出点在射线上运动，当时，的值最小，然后求出与，即可解决问题．
【详解】解：过点作于点，连接，如图所示：

，
、、、四点共圆，
，
，，
，
，
，
点在射线上运动，
当时，的值最小，
四边形是矩形，
，
，
，
，
即 ，
，
在中，由勾股定理得： ，
的最小值 ．
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的性质、解直角三角形、勾股定理、四点共圆、圆周角定理，熟练掌握矩形的性质，利用垂线段最短解决最值问题是解题的关键．
13．+2
【分析】先根据二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可．
【详解】解：
＝2﹣+2
＝+2．
故答案为：+2．
【点睛】本题主要考查了二次根式的加减运算，熟记二次根式的运算法则是解题的关键．
14．（6，3）
【分析】根据平移的性质得出四边形ABDC是平行四边形，从而得A和C的纵坐标相同，根据四边形ABDC的面积求得AC的长，即可求得C的坐标．
【详解】解：∵把△OAB沿x轴向右平移到△ECD，
∴四边形ABDC是平行四边形，
∴AC＝BD，A和C的纵坐标相同，
∵四边形ABDC的面积为15，点A的坐标为（1，3），
∴3AC＝15，
∴AC＝5，
∴C（6，3），
故答案为：（6，3）．
【点睛】本题考查了坐标与图形的变换-平移，平移的性质，平行四边形的性质，求得平移的距离是解题的关键．
15．20°/20度
【分析】连接OA，如图，根据切线的性质得到∠OAB=90°，则利用互余可计算出∠AOB=40°，再利用圆周角定理得到∠ADC=20°，然后根据平行线的性质得到∠OCD的度数．
【详解】解：连接OA，如图，

∵AB切⊙O于点A，
∴OA⊥AB，
∴∠OAB=90°，
∵∠B=50°，
∴∠AOB=90°-50°=40°，
∴∠ADC=∠AOB=20°，
∵AD∥OB，
∴∠OCD=∠ADC=20°．
故答案为：20°．
【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．
16．
【详解】试题分析：如图作BH⊥EF，CK⊥MN，垂足分别为H、K，则四边形BHCK是矩形，

设CK=HB=x，
∵∠CKA=90°，∠CAK=45°，
∴∠CAK=∠ACK=45°，
∴AK=CK=x，BK=HC=AK﹣AB=x﹣30，
∴HD=x﹣30+10=x﹣20，
在Rt△BHD中，∵∠BHD=90°，∠HBD=30°，
∴，即
解得x=30+10．
∴河的宽度为（）米．
故答案为：
考点：解直角三角形的应用.
17．1173

【分析】根据数字的变化关系发现规律第n行，第n列的数据为：2×n×(n-1)+1，即可得第25行第25列的数据为：1201，再依次减2，到第25行第11列的数据，即可．
【详解】解：第1行第1列的数是1，这里，
1=2×1×(1-1)+1，
第2行第2列的数是5，这里，
5=2×2×(2-1)+1，
第3行第3列的数是13，这里，
13=2×3×(3-1)+1，
第4行第4列的数是25，这里，
25=2×4×(4-1)+1，
……
∴第n行第n列的数是2×n×(n-1)+1，
第25行第25列的数是
2×25×(25-1)+1=50×24+1=1201，
观察数据的排列，发现排列规律：第奇数行从右往左的数据依次减少2，
第25行最右边的数是1201，这里，1201位于第25行第25列，
从第25列到第11列需要移动的列数为：25-11=14(列)，
从右往左的数据每移动1列，数据就减少2，
∴第25行第11列的数是：
1201-14×2=1173．
故答案为：1173．
【点睛】本题考查了数字的变化类，解决本题的关键是观察数字的变化寻找探究规律，利用规律解决问题．
18．2
【分析】设，由折叠有性质知，，，推出，求得与的相似比为，于是，然后利用勾股定理列方程即可得到结果．
【详解】解：设，
由折叠有性质知，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴与的相似比为，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，即，
解得（舍去），
∴，
∴，即，
解得，
∴，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了图形翻折变换的性质，正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟知图形翻折不变性的性质是解题的关键．
19．（1），；（2）．
【分析】（1）先通分，再利用同分母分式的加减法则化简，然后把化成整体代入化简后的结果，即可求解；
（2）分别求出两个不等式的解集，即可求解．
【详解】解：（1）




，
当即，原式；
（2），
解不等式得：，
解不等式得：，
∴原不等式组的解集为．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，解一元一次不等式组，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
20．（1）600；（2）见解析；（3）3200；（4）

【详解】（1）60÷10%=600（人）．
答：本次参加抽样调查的居民有600人．
（2）如图，

（3）8000×40%=3200（人）．
答：该居民区有8000人，估计爱吃D粽的人有3200人．
（4）如图；

共有12种等可能的情况，其中他第二个吃到的恰好是C粽的有3种，
∴P（C粽）==．
答：他第二个吃到的恰好是C粽的概率是．
21．(1)；
(2)的面积的最大值为．

【分析】（1）把点A坐标代入，即可求出k的值；
（2）先求出直线的解析式，设，则，则，由三角形的面积公式得出的面积是t的二次函数，即可得出面积的最大值．
【详解】（1）解：把点代入反比例函数得：，
∴；
（2）解：设直线的解析式为：，
根据题意得：，
解得：，，
∴直线的解析式为：，
设，则，
∴，
∴的面积，
∵，
∴S有最大值，
当时，的面积的最大值为．
【点睛】本题是反比例函数综合题目，考查了用待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式、二次函数的最值问题等知识；掌握待定系数法和三角形面积算法是解题的关键．
22．（1）甲种牛奶、乙种牛奶的进价分别是每件45元、50元；（2）商场购进甲种牛奶67件，乙种牛奶24件；或商场购进甲种牛奶70件，乙种牛奶25件；
【分析】（1）设甲种牛奶进价为x元，则乙种牛奶进价为：元；根据题意列分式方程并求解，即可得到答案；
（2）设该商场购进乙种牛奶数量为m件，则该商场购进甲种牛奶数量为件；根据题意，分别列一元一次不等式并求解，即可得到的值，通过计算即可得到答案．
【详解】（1）设甲种牛奶进价为x元，则乙种牛奶进价为：元
根据题意，得：
∴
当时，，且
∴是方程的解
∴
∴甲种牛奶、乙种牛奶的进价分别是每件45元、50元；
（2）设该商场购进乙种牛奶数量为m件，则该商场购进甲种牛奶数量为件
∵两种牛奶的总数不超过95件
∴
∴
∵销售的总利润（利润＝售价﹣进价）超过371元
∴
∴
∴
∴
∴商场购进甲种牛奶67件，乙种牛奶24件；或商场购进甲种牛奶70件，乙种牛奶25件．
【点睛】本题考查了分式方程、一元一次不等式的知识；解题的关键是熟练掌握分式方程、一元一次不等式的性质，从而完成求解．
23．(1)见解析
(2)见解析
(3)

【分析】（1）过点E作EM⊥DF，垂足为M，四边形ABCD是矩形和DE平分，可得，∠EDF=∠EDC，可证△DEM≌△DEC（AAS），，∠DEM=∠DEC，同理可证，进而可证的结论；
（2）由（1）得，∠FDE=∠CDE，∠DEF=∠DCE=90°，可证△DFE∽△DEC，然后根据相似三角形的性质即可证得结论；
（3）由（2）的结论可得，根据题意，可求得，，易证△GHE∽△CHD，然后根据即可求得答案．
【详解】（1）证明：如图，过点E作EM⊥DF，垂足为M，

∴，
∵四边形ABCD是矩形，
∴，
∵DE平分，
∴∠EDF=∠EDC，
∵，
∴△DEM≌△DEC（AAS），
∴，∠DEM=∠DEC，
∵，
∴∠DEM+∠MEF=∠DEC+∠BEF=90°．
∴∠MEF=∠BEF，
又∵，，
∴
∴BE=ME，
∴BE=EC．
（2）解：由（1）得，∠FDE=∠CDE，∠DEF=∠DCE=90°，
∴△DFE∽△DEC，
∴，
∴．
（3）解：∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
∵GF=GD，
∴EG=GD，
∴∠GED=∠GDE，
∴∠GED=∠CDE
∴，
∴△GHE∽△CHD，
∴
即，
解得：．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线、勾股定理等，熟练掌握全等三角形的判定与性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键．
24．（1）y=﹣（x+2）（x﹣4）或y=﹣x2+x+4或y=﹣（x﹣1）2+．（2）最大值为，此时P（2，4）．（3）（，3）或（6，﹣3）．
【分析】（1）设抛物线的解析式为y=a（x+2）（x﹣4），根据已知条件求得点C的坐标代入解析式求得a值，即可得抛物线的解析式；
（2）作PE⊥x轴于E，交BC于F，易证△CMD∽△FMP，根据相似三角形的性质可得m=，设P（n，﹣n2+n+4），则F（n，﹣n+4），用n表示出PF的长，从而得到m、n的二次函数关系式，利用二次函数的性质解决问题即可；
（3）存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形，分DP是矩形的边和DP是矩形的对角线两种情况求点N的坐标．
【详解】解：（1）因为抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣2，0）、B（4，0）两点，设y=a（x+2）（x﹣4），
∵OC=2OA，OA=2，
∴C（0，4），代入抛物线的解析式得到a=﹣，
∴y=﹣（x+2）（x﹣4）或y=﹣x2+x+4或y=﹣（x﹣1）2+．
（2）如图1中，作PE⊥x轴于E，交BC于F．

∵CD∥PE，
∴△CMD∽△FMP，
∴m==，
∵直线y=kx+1（k＞0）与y轴交于点D，则D（0，1），
∵BC的解析式为y=﹣x+4，
设P（n，﹣n2+n+4），则F（n，﹣n+4），
∴PF=﹣n2+n+4﹣（﹣n+4）=﹣（n﹣2）2+2，
∴m==﹣（n﹣2）2+，
∵﹣＜0，
∴当n=2时，m有最大值，最大值为，此时P（2，4）．
（3）存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形．
①当DP是矩形的边时，有两种情形，
a、如图2﹣1中，四边形DQNP是矩形时，

有（2）可知P（2，4），代入y=kx+1中，得到k=，
∴直线DP的解析式为y=x+1，可得D（0，1），E（﹣，0），
由△DOE∽△QOD可得=，
∴OD2=OE•OQ,
∴1=•OQ，
∴OQ=，
∴Q（，0）．
根据矩形的性质，将点P向右平移个单位，向下平移1个单位得到点N，
∴N（2+，4﹣1），即N（，3）
b、如图2﹣2中，四边形PDNQ是矩形时，

∵直线PD的解析式为y=x+1，PQ⊥PD，
∴直线PQ的解析式为y=﹣x+，
∴Q（8，0），
根据矩形的性质可知，将点D向右平移6个单位，向下平移4个单位得到点N，
∴N（0+6，1﹣4），即N（6，﹣3）．
②当DP是对角线时，设Q（x，0），则QD2=x2+1，QP2=（x﹣2）2+42，PD2=13，
∵Q是直角顶点，
∴QD2+QP2=PD2，
∴x2+1+（x﹣2）2+16=13，
整理得x2﹣2x+4=0，方程无解，此种情形不存在，
综上所述，满足条件的点N坐标为（，3）或（6，﹣3）．
【点睛】本题为二次函数压轴题，综合考查了二次函数、待定系数法、最大值问题、相似三角形、矩形等知识点．第（3）问涉及存在型问题，有一定的难度．在解题过程中，注意数形结合思想、分类讨论思想及方程思想等的应用．
25．（1）∠E＝α；（2）见解析；（3）①∠AED＝45°；②
【分析】（1）由角平分线的定义可得出结论；
（2）由圆内接四边形的性质得出∠FDC+∠FBC=180°，得出∠FDE=∠FBC，证得∠ABF=∠FBC，证出∠ACD=∠DCT，则CE是△ABC的外角平分线，可得出结论；
（3）①连接CF，由条件得出∠BFC=∠BAC，则∠BFC=2∠BEC，得出∠BEC=∠FAD，证明△FDE≌△FDA（AAS），由全等三角形的性质得出DE=DA，则∠AED=∠DAE，得出∠ADC=90°，则可求出答案；
②过点A作AG⊥BE于点G，过点F作FM⊥CE于点M，证得△EGA∽△ADC，得出，求出，设AD=4x，AC=5x，则有（4x）2+52=（5x）2，解得x=，求出ED，CE的长，求出DM，由等腰直角三角形的性质求出FM，根据三角形的面积公式可得出答案．
【详解】解：（1）∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，
∴∠E＝∠ECD﹣∠EBD＝（∠ACD﹣∠ABC）＝α，
（2）如图1，延长BC到点T，

∵四边形FBCD内接于⊙O，
∴∠FDC+∠FBC＝180°，
又∵∠FDE+∠FDC＝180°，
∴∠FDE＝∠FBC，
∵DF平分∠ADE，
∴∠ADF＝∠FDE，
∵∠ADF＝∠ABF，
∴∠ABF＝∠FBC，
∴BE是∠ABC的平分线，
∵，
∴∠ACD＝∠BFD，
∵∠BFD+∠BCD＝180°，∠DCT+∠BCD＝180°，
∴∠DCT＝∠BFD，
∴∠ACD＝∠DCT，
∴CE是△ABC的外角平分线，
∴∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．
（3）①如图2，连接CF，

∵∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角，
∴∠BAC＝2∠BEC，
∵∠BFC＝∠BAC，
∴∠BFC＝2∠BEC，
∵∠BFC＝∠BEC+∠FCE，
∴∠BEC＝∠FCE，
∵∠FCE＝∠FAD，
∴∠BEC＝∠FAD，
又∵∠FDE＝∠FDA，FD＝FD，
∴△FDE≌△FDA（AAS），
∴DE＝DA，
∴∠AED＝∠DAE，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∴∠AED+∠DAE＝90°，
∴∠AED＝∠DAE＝45°，
②如图3，过点A作AG⊥BE于点G，过点F作FM⊥CE于点M，

∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠FAC＝∠EBC＝∠ABC＝45°，
∵∠AED＝45°，
∴∠AED＝∠FAC，
∵∠FED＝∠FAD，
∴∠AED﹣∠FED＝∠FAC﹣∠FAD，
∴∠AEG＝∠CAD，
∵∠EGA＝∠ADC＝90°，
∴△EGA∽△ADC，
∴，
∵在Rt△ABG中，AG＝，
在Rt△ADE中，AE＝AD，
∴，
在Rt△ADC中，AD2+DC2＝AC2，
∴设AD＝4x，AC＝5x，则有（4x）2+52＝（5x）2，
∴x＝，
∴ED＝AD＝，
∴CE＝CD+DE＝，
∵∠BEC＝∠FCE，
∴FC＝FE，
∵FM⊥CE，
∴EM＝CE＝，
∴DM＝DE﹣EM＝，
∵∠FDM＝45°，
∴FM＝DM＝，
∴S△DEF＝DE•FM＝．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了角平分线的定义，圆周角定理，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．