2023届中考数学热点题型突破 专题八 新定义问题

专题八 新定义问题

1.对任意两个实数a，b定义两种运算：并且定义运算顺序仍然是先做括号内的，例如，，，那么等于(   )

A. B.3 C.6 D.

2.我们知道, 如果直角三角形的三边的长都是正整数, 这样的三个正整数就叫做一组勾股数. 定义: 如果一个 正整数m能表示为两个正整数 a,b的平方和, 即, 那么称m 为广义勾股数. 下面的结论:

① 7 不是广义勾股数;

②13 是广义勾股数;

③两个广义勾股数的和是广义勾股数;

④两个广义勾股数的积是广义勾股数;

⑤若，，, 其中x,y,z,m,n 均为正整数, 则x,y,z 为一组勾股数;

⑥一个正奇数 (除 1 外) 与两个和等于此正奇数的平方的连续正整数是一组勾股数.

正确的是(   )

A.①②⑤⑥  B.①③④⑤

C.②④⑥  D.②④⑤⑥

3.对x,y定义一种新运算T,规定:（其中a,b均为非零常数）,这里等式右边是通常的四则运算,例如:,若,,则结论正确的个数为(   )

（1）,;

（2）若,则;

（3）若,m,n均取整数,则或或;

（4）若,当n取s,t时,m对应的值为c,d,当时,;

（5）若对任意有理数x,y都成立(这里和T均有意义),则

A.2个 B.3个 C.4个 D.5个

4.阅读材料:定义:如果一个数的平方等于,记为,这个数i叫做虚数单位,把形如为实数)的数叫做复数,其中a叫这个复数的实部,b叫这个复数的虚部.它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似:

例如计算:;

;

;

.

根据以上信息,完成下面的计算:

__________.

5.定义:在平面直角坐标系xOy中,如果将点绕点旋转得到点Q,那么称线段PQ为“拓展带”,点Q为点P的“拓展带”.

（1）当时,点的“拓展带”坐标为__________.

（2）如果,当点的“拓展带”N在函数的图象上时,t的值为__________.

6.新定义:在平面直角坐标系中,对于点和点,若满足时,;时,,则称点是点的限变点.例如:点的限变点是,则点的限变点是____________.若点在二次函数的图象上,则当时,其限变点的纵坐标的取值范围是____________.

7.阅读以下材料：指数与对数之间有密切的联系，它们之间可以互化.

对数的定义：一般地，若(且)，那么x叫做以a为底N的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式，可以转化为指数式.

我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：

(，，，)，理由如下：

设，，则，，

，由对数的定义得

又，

.

请解决以下问题：

(1)将指数式转化为对数式__________；

(2)求证：(，，，)；

(3)拓展运用：计算__________.

8.定义 如果一个正整数等于两个连续偶数的平方差, 那么称这个正整数为 “奇巧数”.

发现 数28,32,36 中, 是 “奇巧数” 的是

探究 已知正奇数的 4 倍一定是 “奇巧数”, 设一个正奇数为 (n为正整数), 请你论证这个结论.

9.已知一个三位自然数N, 若满足十位数字与个位数字之和减去百位数字为 0 , 则称这个数为“雪花 数”, 并把其十位数字与个位数字的乘积记为. 定义 为 “雪花 数”, m,n为常数),已知，. 例如: 945，，945是 “雪 花数”, ，634，，634不是 “雪花数”.

(1)请填空: 817 _______“雪花数”, 527______ “雪花数” (填“是”或“不是”);

(2)求出常数m,n 的值;

(3)已知s 是个位数字不为 1 的 “雪花数”, 其十位数字为, 个位数字为b, 将s 的个位数字移 到十位上,十位数字移到百位上, 百位数字移到个位上, 得到一个新数, 若s 与 的差能被17整 除, 求出所有满足条件的 s及由这些s 两两组合形成的P 的值.

答案以及解析

1.答案：A

解析：，故选A.

2.答案：A

解析：7  不能表示为两个正整数的平方和, 7不是广义勾股数,故结论 ① 正确., 13是广义勾股数,故结论②正确. 两个广义勾股数的 和不一定是广义勾股数, 如 5 和 10 是广义勾股数, 但是 它们的和 15 不是广义勾股数, 故结论③错误 . 两个广义勾股数的积不一定是广义勾股数, 如 2 和 2 是广义勾股数, 但 ，4 不是广义勾股数, 故 结论④错误. , 即. 又x,y,z 均为正整数, 故 结论⑤正确. 设正奇数为 (k为正整数), 2 个连续正整数为p,, 由题意得,,,. 又 ,p, 都是正整数, 结论⑥正确. 综 上, 正确结论有①②⑤⑥.

故选 A.

3.答案：C

解析:由题意可知,,,

即,

解得,故（1）正确;

,;

,

,则;故（2）正确

m,n均取整数,,

的取值为,,,1,2,4;

当,即时,;

当,即时,;

当,即时,;

当,即时,;

当,即时,;

当,即时,;

故（3）不正确,

,,

,

当时,

;故（4）正确;

,

,,

,

,

,

对任意有理数x,y都成立(这里和均有意义),则

故（5）正确

故选C

4.答案：

解析：.

5.答案：①.

②.2

解析:（1）根据“拓展带”的定义,互为“拓展带”的两点关于点成中心对称,

互为“拓展带”的两点的横坐标互为相反数,纵坐标的平均数等于t,

点的“拓展带”坐标为.

（2）根据“拓展带”的定义,点M和点N关于点成中心对称,

设N点坐标为,则,,

解得,,

在函数的图象上,

,

解得.

6.答案：①.

②.

解析:,,

,

点的限变点是,

点在二次函数的图象上,

当时,,

,

当时,,

当时,,

综上,当时,其限变点的纵坐标n'的取值范围是,

故答案为:,.

7.答案：(1)

(2)证明见解析

(3)2

解析：(1)解：根据指数与对数关系得：.故答案为：；

(2)解：设，，则，，，

..

(3)解：.故答案为：2.

8.答案：见解析

解析：发现 28,36

，，32不是两个连 续偶数的平方差,

28,36 是“奇巧数”.

探究 正奇数的 4 倍为.

总能表示为两个连续偶数的平方差,

正奇数的 4 倍一定是“奇巧数”.

9.答案： (1) 是，不是

(2)

(3)见解析

解析：817，, 817 是“雪花数”;527，,

527不是 “雪花数”.

(2)，，，

①，，，，

②联立①②得解得

(3) 由 “雪花数” 的定义可知, 由题意可知,

s与 的差能被 17 整除，

能被 17 整除,

为 17 的倍数.

s为“雪花数”, 且个位数字不为 1 ,

，且,

，34,51,68 或 85 .

若, 则 不符合题意;

若, 则 符合题意;

若, 则 符合题意;

若, 则 此时, 不符合题意;

若, 则 此时, 不符合题意.

综上可得 或 615 .