高考数学一轮复习课时质量评价8函数的奇偶性与周期性含答案

课时质量评价(八)

A组　全考点巩固练

1．已知函数f(x)＝x＋＋1，f(a)＝3，则f(－a)的值为(　　)

A．－3    B．－1    C．1    D．2

B　解析：由题意得f(a)＋f(－a)＝a＋＋1＋(－a)＋＋1＝2, 所以f(－a)＝2－f(a)＝2－3＝－1．故选B．

2．(2021·南京模拟)下列函数中，是偶函数且在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是(　　)

A．y＝2x B．y＝

C．y＝|x| D．y＝－x2＋1

D　解析：A选项，根据y＝2x的图象知该函数非奇非偶，可知A错误；B选项，由y＝的定义域为[0，＋∞)，知该函数非奇非偶，可知B错误；C选项，当x∈(0，＋∞)时，y＝|x|＝x为增函数，不符合题意，可知C错误；D选项，函数的定义域为R，由－(－x)2＋1＝－x2＋1，可知该函数为偶函数，根据其图象可看出该函数在(0，＋∞)上单调递减，可知D正确．

3．(2021·全国乙卷)设函数f(x)＝，则下列函数中为奇函数的是(　　)

A．f(x－1)－1 B．f(x－1)＋1

C．f(x＋1)－1 D．f(x＋1)＋1

B　解析：由题意可得f(x)＝＝－1＋，对于A，f(x－1)－1＝－2不是奇函数；对于B，f(x－1)＋1＝是奇函数；对于C，f(x＋1)－1＝－2，定义域不关于原点对称，不是奇函数；对于D，f(x＋1)＋1＝，定义域不关于原点对称，不是奇函数．

4．(2021·全国甲卷)设f(x)是定义域为R的奇函数，且f(1＋x)＝f(－x)．若f ＝，则f ＝(　　)

A．－ B．－ 

C． D．

C　解析：由题意可得：f ＝f ＝f ＝－f ，

而f ＝f ＝f ＝－f ＝－，故f ＝．

5．已知函数f(x)＝为奇函数，则f(a)＝(　　)

A．－1B．1    C．0D．±1

C　解析：因为函数f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，则有f(－1)＝－f(1)，即1＋a＝－a－1，即2a＝－2，得a＝－1(符合题意)，

所以f(x)＝

所以f(－1)＝(－1)2＋(－1)＝0．

6．已知f(x)是R上的偶函数，且当x＞0时，f(x)＝x2－x－1，则当x＜0时，f(x)＝________．

x2＋x－1　解析：当x＜0时，－x＞0，则f(－x)＝(－x)2－(－x)－1＝x2＋x－1，又f(x)是偶函数，所以f(x)＝f(－x)＝x2＋x－1．

7．若函数f(x)＝ax＋b，x∈[a－4，a]的图象关于原点对称，则a＝________；函数g(x)＝bx＋，x∈[－4，－1]的值域为________．

2　　解析：由函数f(x)的图象关于原点对称，可得a－4＋a＝0，即a＝2．则函数f(x)＝2x＋b，其定义域为[－2,2]，所以f(0)＝0，所以b＝0，所以g(x)＝．易知g(x)在[－4，－1]上单调递减，故值域为[g(－1)，g(－4)]，即．

8．已知函数g(x)是R上的奇函数，且当x<0时，g(x)＝－ln(1－x)，函数f(x)＝若f(6－x2)>f(x)，则实数x的取值范围是__________．

(－3,2)　解析：因为g(x)是奇函数，所以当x>0时，g(x)＝－g(－x)＝ln(1＋x)．易知f(x)在R上是增函数，由f(6－x2)>f(x)，可得6－x2>x，即x2＋x－6<0，所以－3<x<2．

9．已知函数f(x)＝是奇函数．

(1)求实数m的值；

(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．

解：(1)设x＜0，则－x＞0，

所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x．

又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，

于是x＜0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2．

(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，

结合f(x)的图象知

所以1＜a≤3，故实数a的取值范围是(1,3]．

10．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2．

(1)求证：f(x)是周期函数；

(2)求当x为何值时，函数f(x)取得最小值，最小值是多少？

(1)证明：因为f(x＋2)＝－f(x)，

所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．

所以f(x)是周期为4的周期函数．

(2)解：因为当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2＝－(x2－2x)＝－(x－1)2＋1，所以当x＝1时，f(x)有最大值1．又因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以当x∈[－2,0]时，当x＝－1时，f(x)有最小值－1．

又因为f(x)的周期为4，所以当x＝－1＋4k(k∈Z)，f(x)有最小值－1．

B组　新高考培优练

11．(2021·新高考全国Ⅱ卷)已知函数f(x)的定义域为R，f(x＋2)为偶函数，f(2x＋1)为奇函数，则(　　)

A．f ＝0

B．f(－1)＝0

C．f(2)＝0

D．f(4)＝0

B　解析：因为函数f(x＋2)为偶函数，则f(x＋2)＝f(－x＋2)，可得f(x＋3)＝f(－x＋1)．

因为函数f(2x＋1)为奇函数，则f(－2x＋1)＝－f(2x＋1)，所以f(－x＋1)＝－f(x＋1)，

所以f(x＋3)＝－f(x＋1)＝f(x－1)，即f(x)＝f(x＋4)，故函数f(x)是以4为周期的周期函数．因为函数F(x)＝f(2x＋1)为奇函数，则F(0)＝f(1)＝0，

故f(－1)＝－f(1)＝0，其它三个选项未知．

12．(多选题)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论正确的是(　　)

A．f(x)·g(x)是偶函数

B．|f(x)|·g(x)是奇函数

C．f(x)·|g(x)|是奇函数

D．|f(x)·g(x)|是偶函数

CD　解析：对于A，f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)，函数是奇函数，故A错误；对于B，|f(－x)|·g(－x)＝|f(x)|·g(x)，函数是偶函数，故B错误；对于C，f(－x)·|g(－x)|＝－f(x)·|g(x)|，函数是奇函数，故C正确；对于D，|f(－x)·g(－x)|＝|f(x)·g(x)|，函数是偶函数，故D正确．

13．(多选题)(2021·日照联考)已知定义在R上的函数f(x)满足条件f(x＋2)＝－f(x)，且函数f(x－1)为奇函数，则(　　)

A．函数f(x)是周期函数

B．函数f(x)的图象关于点(－1,0)对称

C．函数f(x)为R上的偶函数

D．函数f(x)为R上的单调函数

ABC　解析：因为f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故f(x)是周期函数，A正确；因为函数f(x－1)为奇函数，所以函数f(x－1)的图象关于原点中心对称，所以f(x)的图象关于点(－1,0)对称，B正确；因为函数f(x－1)为奇函数，所以f(－x－1)＝－f(x－1)，又f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋1)＝－f(x－1)，所以f(x＋1)＝f(－x－1)，即f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)为R上的偶函数，C正确；因为函数f(x－1)为奇函数，所以f(－1)＝0，又函数f(x)为R上的偶函数，所以f(1)＝0，所以函数f(x)不单调，D不正确．

14．(多选题)设f(x)－x2＝g(x)，若函数f(x)为偶函数，则g(x)的解析式可能为(　　)

A．g(x)＝x3

B．g(x)＝cos x

C．g(x)＝x2＋1

D．g(x)＝xex

BC　解析：因为f(x)＝x2＋g(x)，且f(x)为偶函数，所以有(－x)2＋g(－x)＝x2＋g(x)，即g(－x)＝g(x)，所以g(x)为偶函数，由选项可知，只有选项BC中的函数为偶函数．故选BC．

15．已知函数f(x)对任意x∈R满足f(x)＋f(－x)＝0，f(x－1)＝f(x＋1)．若当x∈[0,1)时，f(x)＝ax＋b(a＞0且a≠1)，且f ＝．

(1)求实数a，b的值；

(2)求函数g(x)＝f2(x)＋f(x)的值域．

解：(1)因为f(x)＋f(－x)＝0，

所以f(－x)＝－f(x)，即f(x)是奇函数．

因为f(x－1)＝f(x＋1)，所以f(x＋2)＝f(x)，即函数f(x)是周期为2的周期函数，

所以f(0)＝0，即b＝－1．

又f ＝f ＝－f ＝1－＝，解得a＝．

(2)当x∈[0,1)时f(x)＝ax＋b＝－1∈，

由f(x)为奇函数知，当x∈(－1,0)时，f(x)∈，

又因为f(x)是周期为2的周期函数，所以f(－1)＝f(1)＝－f(－1)＝0，

所以当x∈R时，f(x)∈，

设t＝f(x)∈，所以g(x)＝f2(x)＋f(x)＝t2＋t＝－，

即g(x)＝－∈．

故函数g(x)＝f2(x)＋f(x)的值域为．

16．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意实数x都有f ＝－f 成立．

(1)证明：y＝f(x)是周期函数，并指出其周期；

(2)若f(1)＝2，求f(2)＋f(3)的值；

(3)若g(x)＝x2＋ax＋3，且y＝|f(x)|·g(x)是偶函数，求实数a的值．

(1)证明：由f ＝－f ，

且f(－x)＝－f(x)，

知f(3＋x)＝f ＝－f

＝－f(－x)＝f(x)，

所以y＝f(x)是周期函数，且T＝3是其一个周期．

(2)解：因为f(x)为定义在R上的奇函数，

所以f(0)＝0，且f(－1)＝－f(1)＝－2．

又T＝3是y＝f(x)的一个周期，

所以f(2)＋f(3)＝f(－1)＋f(0)＝－2＋0＝－2．

(3)解：因为y＝|f(x)|·g(x)是偶函数，

且|f(－x)|＝|－f(x)|＝|f(x)|，

所以|f(x)|为偶函数．

故g(x)＝x2＋ax＋3为偶函数，即g(－x)＝g(x)恒成立，于是(－x)2＋a(－x)＋3＝x2＋ax＋3恒成立．于是2ax＝0恒成立，所以a＝0．