高考数学一轮复习课时质量评价11对数与对数函数含答案

课时质量评价(十一)

A组　全考点巩固练

1．若函数f(x)与g(x)的图象关于直线y＝x对称，函数f(x)＝，则f(2)＋g(4)＝(　　)

A．3B．4    C．5D．6

D　解析：因为函数f(x)与g(x)的图象关于直线y＝x对称，又f(x)＝＝2x，所以g(x)＝log2x，所以f(2)＋g(4)＝22＋log24＝6．

2．计算：÷100＝(　　)

A．1    B．    C．－10    D．－20

D　解析：原式＝(lg 2－2－lg 52)×100＝lg×10＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20．故选D．

3．设a＝30.7，b＝，c＝log0.70.8，则a，b，c的大小关系为(　　)

A．a<b<c B．b<a<c

C．b<c<a D．c<a<b

D　解析：a＝30.7>1，b＝＝30.8>1，且a<b，c＝log0.70.8<log0.70.7＝1，所以c<a<b．

4．下列函数中，其图象与函数y＝ln  x的图象关于直线x＝1对称的是(　　)

A．y＝ln(1－x) B．y＝ln(2－x)

C．y＝ln(1＋x) D．y＝ln(2＋x)

B　解析：易知y＝ln x与y＝ln(－x)的图象关于y轴对称，将y＝ln(－x)的图象向右平移2个单位长度所得图象为y＝ln [－(x－2)]＝ln(2－x)，即与y＝ln  x的图象关于直线x＝1对称．

5．已知函数f(x)＝|ln x|．若0<a<b，且f(a)＝f(b)，则a＋4b的取值范围是(　　)

A．(4，＋∞) B．[4，＋∞)

C．(5，＋∞) D．[5，＋∞)

C　解析：由f(a)＝f(b)得|ln a|＝|ln b|．根据函数y＝|ln x|的图象及0<a<b，得－ln  a＝ln  b,0<a<1<b，所以＝b．

令g(b)＝a＋4b＝4b＋，易得g(b)在(1，＋∞)上单调递增，所以g(b)>g(1)＝5．

6．函数y＝loga(x－1)＋2(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点________．

(2,2)　解析：当x＝2时，函数y＝loga(x－1)＋2(a＞0，且a≠1)的值为2，所以图象恒过定点(2,2)．

7．若函数f(x)＝x2－(a－2)x＋1(x∈R)为偶函数，则loga＋log＝________．

－2　解析：因为函数f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(－x)，即x2－(a－2)x＋1＝x2＋(a－2)x＋1恒成立，所以a－2＝0，即a＝2，所以loga＋log＝log2＋log2＝log2＝log2＝－2．

8．已知函数f(x)＝ln ，若f(a)＋f(b)＝0，且0＜a＜b＜1，则ab的取值范围是_________．

　解析：由题意可知ln＋ln＝0，

即ln＝0，从而·＝1，化简得a＋b＝1，

故ab＝a(1－a)＝－a2＋a＝－＋．又0＜a＜b＜1，

所以0＜a＜，故0＜－＋＜，即ab∈．

9．已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)．

(1)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间．

(2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

解：(1)因为f(1)＝1，所以log4(a＋5)＝1，得a＝－1，

故f(x)＝log4(－x2＋2x＋3)．

由－x2＋2x＋3＞0，得－1＜x＜3，函数的定义域为(－1,3)．

令g(x)＝－x2＋2x＋3，

则g(x)在(－1,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减．

又y＝log4x在(0，＋∞)上单调递增，

所以f(x)的单调递增区间是(－1,1)，单调递减区间是(1,3)．

(2)假设存在实数a使f(x)的最小值为0，

则h(x)＝ax2＋2x＋3应有最小值1，

因此解得a＝．

故存在实数a＝使f(x)的最小值为0．

B组　新高考培优练

10．若函数y＝a|x|(a>0，且a≠1)的值域为[1，＋∞)，则函数y＝loga|x|的大致图象是(　　)

B　解析：由于y＝a|x|的值域为[1，＋∞)，所以a>1，则y＝logax在(0，＋∞)上是增函数．又函数y＝loga|x|的图象关于y轴对称，所以y＝loga|x|的大致图象应为选项B．

11．(多选题)(2021·临沂期末)若10a＝4,10b＝25，则下列结论正确的是(　　)

A．a＋b＝2  　　 B．b－a＝1

C．ab＞8(lg 2)2  　　 D．b－a＞lg 6

ACD　解：由10a＝4,10b＝25，得a＝lg 4，b＝lg 25，则a＋b＝lg 4＋lg 25＝lg 100＝2，A正确；b－a＝lg 25－lg 4＝lg，又lg＞lg 6，所以b－a＞lg 6，B错误，D正确；又ab＝4lg 2lg 5＞4lg 2lg 4＝8(lg 2)2，C正确．

12．(多选题)设x，y，z为正实数，且log2x＝log3y＝log5z＞0，则，，的大小关系可能是(　　)

A．＜＜  　　 B．＝＝

C．＜＜  　　 D．＜＜

ABC　解析：设log2x＝log3y＝log5z＝k＞0，可得x＝2k＞1，y＝3k＞1，z＝5k＞1，所以＝2k－1，＝3k－1，＝5k－1．

①若0＜k＜1，则函数f(x)＝xk－1单调递减，所以＞＞，即＜＜，故C正确；

②若k＝1，则函数f(x)＝xk－1＝1，所以＝＝，故B正确；

③若k＞1，则函数f(x)＝xk－1单调递增，所以＜＜，故A正确．

综上可知，，的大小关系可能是ABC．

13．已知函数y＝loga(x＋3)－(a>0，a≠1)的图象恒过定点A，则点A的坐标为__________；若点A也在函数f(x)＝3x＋b的图象上，则f(log32)＝________．

　1　解析：令x＋3＝1可得x＝－2，此时y＝loga1－＝－，

所以定点A的坐标为．因为点A在函数f(x)＝3x＋b的图象上，

故－＝3－2＋b，解得b＝－1．所以f(x)＝3x－1，则f(log32)＝3－1＝2－1＝1．

14．已知函数f(x)＝loga(3－ax)(a>0，且a≠1)．

(1)当x∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围．

(2)是否存在实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上单调递减，并且最大值为1? 如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．

解：(1)设t(x)＝3－ax，因为a>0，所以t(x)＝3－ax为减函数．

当x∈[0,2]时，t(x)的最小值为3－2a．

因为当x∈[0,2]时，f(x)恒有意义，即x∈[0,2]时，3－ax>0恒成立．

所以3－2a>0，所以a<．

又a>0且a≠1，所以0<a<1或1<a<．

所以实数a的取值范围为(0,1)∪．

(2)由(1)知函数t(x)＝3－ax为减函数．

因为f(x)在区间[1,2]上单调递减，

所以y＝logat在[1,2]上单调递增，所以a>1．

当x∈[1,2]时，t(x)的最小值为3－2a，f(x)的最大值为f(1)＝loga(3－a)，

所以即

故不存在实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上单调递减，并且最大值为1．