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高考数学一轮复习课时质量评价27平面向量基本定理及坐标表示含答案
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课时质量评价(二十七)A组 全考点巩固练1.已知点M(5,-6)和向量a=(1,-2),若=-3a,则点N的坐标为( )A.(2,0) B.(-3,6)C.(6,2) D.(-2,0)A 解析:因为=+=-3a=(5,-6)-3(1,-2)=(2,0),所以点N的坐标为(2,0).2.已知向量a=(-1,2),b=(3,m),m∈R,则“m=-6”是“a∥(a+b)”的( )A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件A 解析:由题意得a+b=(2,2+m),由a∥(a+b),得-1×(2+m)=2×2,所以m=-6.当m=-6时,a+b=(2,-4)=-2(-1,2),可得a∥(a+b),则“m=-6”是“a∥(a+b)”的充要条件.3.如图,在△ABC中,BE是边AC的中线,O是边BE的中点.若=a,=b,则=( )A.a+b B.a+bC.a+b D.a+bB 解析:因为在△ABC中,BE是AC边上的中线,所以=.因为O是BE边的中点,所以=(+),所以=+.又因为=a,=b,所以=a+b.4.如图,在正方形ABCD中,M是BC的中点,若=λ+μ,则λ+μ=( )A. B. C. D.2B 解析:以A为坐标原点建立平面直角坐标系(图略),设正方形边长为1,由此,=(1,1),=,=(-1,1),故1=λ-μ,1=λ+μ,解得λ=,μ=,λ+μ=.5.(2022·河南新乡三模)设向量e1,e2是平面内的一组基底,若向量a=-3e1-e2与b=e1-λe2共线,则λ=( )A. B.- C.-3 D.3B 解析:因为a与b共线,所以存在μ∈R,使得a=μb,即-3e1-e2=μ(e1-λe2).故μ=-3,-λμ=-1,解得λ=-.故选B.6.已知向量a=(1-sin θ,1),b=.若a∥b,则锐角θ=( )A. B. C. D.B 解析:因为a∥b,所以(1-sin θ)×(1+sin θ)-1×=0,得sin2θ=,所以sin θ=±,故锐角θ=.7.已知向量e1,e2不共线,实数x,y满足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2,则2x-y=________.9 解析:由平面向量基本定理可知解得故2x-y=9.8.(2021·福建三明模拟)如图,在△ABC中,已知-=,点P在线段BN上.若=λ+,则实数λ的值为________. 解析:-=可化为=,即=.因为=λ+,所以=λ+.由B,P,N三点共线可得λ=.9.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,且AD=BC,E,F分别为线段AD与BC的中点.设=a,=b,试以a,b为基底表示向量,,.解:因为AD∥BC,AD=BC,E,F分别为线段AD,BC的中点,所以AE=ED=BC,BF=FC=BC,所以=++=-b-a+b=b-a,=+=-b+=b-a,=+=-b-=a-b.10.如图,向量与的夹角为120°,||=2,||=1,P是以O为圆心,||为半径的弧上的动点.若=λ+μ,求λμ的最大值.解:建立如图所示的平面直角坐标系,设P(cos θ,sin θ),则=(cos θ,sin θ),=(2,0),=.因为=λ+μ,所以(cos θ,sin θ)=,即所以所以λμ=cosθ·sin θ+sin θ·sin θ=sin 2θ+sin2θ=sin 2θ-cos 2θ+=sin+≤.当且仅当2θ-=,即θ=时,取等号.所以λμ的最大值为.B组 新高考培优练11.(多选题)已知向量=(1,-3),=(2,-1),=(m+1,m-2).若点A,B,C能构成三角形,则实数m的值可以是( )A.-2 B. C.1 D.-1ABD 解析:若A,B,C三点不共线即可构成三角形.因为=-=(2,-1)-(1,-3)=(1,2),=-=(m+1,m-2)-(1,-3)=(m,m+1).假设A,B,C三点共线,则1×(m+1)-2m=0,即m=1.所以只要m≠1,A,B,C三点即可构成三角形,故选ABD.12.我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图”给出了勾股定理的证明,后人称其为“赵爽弦图”,它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形,如图所示.若E为AF的中点,=λ+μ,则λ+μ=( )A. B. C. D.D 解析:以E为坐标原点,EF所在直线为x轴,ED所在直线为y轴,建立如图所示的直角坐标系,设|EF|=1,又E为AF的中点,所以E(0,0),G(1,1),A(-1,0),B(1,-1),D(0,2),则=(1,1),=(2,-1),=(1,2).由=λ+μ,得(1,1)=λ(2,-1)+μ(1,2).所以解得则λ+μ=.故选D.13.如图,在平面直角坐标系xOy中,原点O是正八边形P1P2P3…P8的中心,P1P8⊥x轴,若坐标轴上的点M(异于O点)满足+i+j=0(其中1≤i≤8,1≤j≤8且i,j∈N*),则满足以上条件的点M的个数为( )A.2 B.4 C.6 D.8D 解析:分以下两种情况讨论:①若点M在x轴上,则Pi,Pj(1≤i≤8,1≤j≤8, i,i∈N*)关于x轴对称,由题图可知,P1与P8,P2与P7,P3与P6,P4与P5,关于x轴对称,此时,符合条件的点M有4个;②若点M在y轴上,则Pi,Pj(1≤i≤8,1≤j≤8,i,j∈N*)关于y轴对称,由题图可知,P1与P4,P2与P3,P5与P8,P6与P7关于y轴对称,此时,符合条件的点M有4个.综上所述,满足题中条件的点M的个数为8.故选D.14.已知平面向量a,b,c满足|a|=|b|=|a-b|=|a+b-c|=1,则|c|的最大值M=________,|c|的最小值m=__________.+1 -1 解析:因为|a|=|b|=|a-b|=1.所以a,b,a-b可构成等边三角形,且|a+b|=.因为|a+b-c|=1,所以如图所示,c的终点在以a+b的终点为圆心、半径为1的圆上,故M=+1,m=-1.15.在矩形ABCD中,AB=,BC=,P为矩形内一点,且AP=.若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ的最大值为_________. 解析:建立如图所示的平面直角坐标系,设P(x,y),B(,0),C(,),D(0,).因为AP=,所以x2+y2=,点P满足的约束条件为因为=λ+μ(λ,μ∈R),所以(x,y)=λ(,0)+μ(0,).所以所以x+y=λ+μ.因为x+y≤==,当且仅当x=y时取等号,所以λ+μ的最大值为.16.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(1,1),B(2,3),C(3,2),点P(x,y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上.(1)若++=0,求||;(2)设=m+n(m,n∈R),用x,y表示m-n.解:(1)因为++=0,++=(1-x,1-y)+(2-x,3-y)+(3-x,2-y)=(6-3x,6-3y),所以解得即=(2,2),故||=2.(2)因为=m+n,=(1,2),=(2,1),所以(x,y)=(m+2n,2m+n),即两式相减,得m-n=y-x.17.经过△OAB的重心G的直线与OA,OB分别交于点P,Q.设=m,=n,m,n∈(0,+∞),求m+n的最小值.解:设=a,=b,由题意知=×(+)=(a+b),=-=nb-ma,=-=a+b.由P,G,Q三点共线得,存在实数λ,使得=λ,即nb-ma=λa+λb,从而消去λ得+=3,于是m+n=(m+n)=≥(2+2)=.当且仅当m=n=时,m+n取得最小值.
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