高考数学一轮复习课时质量评价34直线、平面平行的判定与性质含答案

课时质量评价(三十四)

A组　全考点巩固练

1．给出下列关于互不相同的直线l，m，n和平面α，β，γ的三个命题：

①若l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β，则α∥β；

②若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m；

③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n．

其中真命题的个数为(　　)

A．3   B．2 

C．1   D．0

C　解析：①中当α与β不平行时，也可能存在符合题意的l，m；②中l与m也可能异面；③中⇒l∥n，同理，l∥m，则m∥n，正确．

2．(2022·辽宁大连测试)已知直线l，m，平面α，β，γ，则下列条件能推出l∥m的是(　　)

A．l⊂α，m⊂β，α∥β

B．α∥β，α∩γ＝l，β∩γ＝m

C．l∥α，m⊂α

D．l⊂α，α∩β＝m

B　解析：选项A中，直线l，m可能平行也可能异面；选项B中，根据面面平行的性质定理，可推出l∥m，B正确；选项C中，直线l，m可能平行也可能异面；选项D中，直线l，m可能平行也可能相交．故选B．

3．(多选题)以下命题中，正确的命题有(　　)

A．在平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行

B．在平面α内有无数条直线和平面β平行，那么这两个平面平行

C．平面α内△ABC的三个顶点在平面β的同一侧且到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行

D．平面α内有无数个点到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行或相交

CD　解析：如图1，作α，β交线的无数条平行线，可知A，B错误；

对C，由题意可知AB∥β，BC∥β，AB∩BC＝B，由面面平行的判定定理可知α∥β，C正确；对D，参考答案C，假设α内有一个点位于点A处，而其余点均位于直线BC上，则两个平面平行；如图2，α内有一个点位于点A处，而其余点均位于直线BC上，可知两个平面相交，D正确．故选CD．

4．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是(　　)

A．α内有一条直线与β平行

B．α内有无数条直线与β平行

C．α内有两条相交直线与β平行

D．α内有一条直线与β内的一条直线平行

C　解析：对于A，α内有一条直线与β平行，则α∥β或α与β相交；对于B，α内有无数条直线与β平行，则α∩β或α∥β；对于C，α内有两条相交直线与β平行，α∥β，反之也成立；对于D，α内有一条直线与β内的一条直线平行，则α∥β或α与β相交，所以α∥β的充要条件是α内有两条相交直线与β平行．故选C．

5．(多选题)已知α，β是两个平面，m，n是两个直线，则下列结论正确的是(　　)

A．如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n

B．如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β

C．如果α∥β，m⊂α，那么m∥β

D．如果m∥α，n∥β且α∥β，那么m∥n

AC　解析：对于A，若m⊥α，n∥α，则m⊥n，故A正确；对于B，若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α∥β或α，β相交，故B错误；对于C，若α∥β，m⊂α，则m∥β，故C正确；对于D，若m∥α，n∥β且α∥β，则m，n平行、相交或异面，故D错误．故选AC．

6．(多选题)(2021·苏州月考)已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，且m，n⊄α，m，n⊄β，给出下列四个论断：①α∥β；②m∥n；③m∥α；④n∥β．以其中三个论断为条件，剩余论断为结论组成四个命题．其中正确的命题是(　　)

AC　解析：对A选项，若①α∥β，②m∥n，③m∥α，且n⊄β，所以有④n∥β成立，故A正确；对B选项，若①α∥β，③m∥α，④n∥β，则m，n可能相交、平行或异面，故B错误；对C选项，若①α∥β，②m∥n，④n∥β，且m⊄α，所以有③m∥α成立，故C正确；对D选项，若②m∥n，③m∥α，④n∥β，则平面α，β可能相交、平行，故D错误．故选AC．

7．在四面体A­BCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是___________．

平面ABD与平面ABC　解析：如图，取CD的中点E．

连接AE，BE，由于M，N分别是△ACD，△BCD的重心，所以AE，BE分别过M，N，则EM∶MA＝1∶2，EN∶BN＝1∶2，所以MN∥AB． 因为AB⊂平面ABD，MN⊄平面ABD，AB⊂平面ABC，MN⊄平面ABC，所以MN∥平面ABD，MN∥平面ABC．

8．如图所示，P是△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于点A′，B′，C′．若PA′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC＝________．

4∶25　解析：因为平面α∥平面ABC，所以A′C′∥AC，A′B′∥AB，B′C′∥BC，所以S△A′B′C′∶S△ABC＝(PA′∶PA)2．

又PA′∶AA′＝2∶3，所以PA′∶PA＝2∶5，所以S△A′B′C′∶S△ABC＝4∶25．

9．如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，E，F分别是线段A1D，BC1的中点，延长D1A1到点G，使得D1A1＝A1G．证明：GB∥平面DEF．

证明：连接A1C，B1C，则B1C，BC1交于点F(图略)．

因为CBD1A1，D1A1＝A1G，

所以CBA1G，所以四边形BCA1G是平行四边形，所以GB∥A1C．

又GB⊄平面A1B1CD，A1C⊂平面A1B1CD，

所以GB∥平面A1B1CD．

又点D，E，F均在平面A1B1CD内，所以GB∥平面DEF．

B组　新高考培优练

10．已知棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1，M是BB1的中点，动点P在正方体内部或表面上，且MP∥平面ABD1，则动点P的轨迹所形成区域的面积是(　　)

A．   B．

C．1   D．2

A　解析：如图所示，E，F，G，M分别是AA1，A1D1，B1C1，BB1的中点，

则EF∥AD1，EM∥AB，所以EF∥平面ABD1，EM∥平面ABD1，且EF∩EM＝E，所以平面ABD1∥平面EFGM，故点P的轨迹为矩形EFGM．MB1＝B1G＝，所以MG＝，所以SEFGM＝1×＝．故选A．

11．(多选题)如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD­A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，下列四个命题中正确的是(　　)

A．没有水的部分始终呈棱柱形

B．水面EFGH所在四边形的面积为定值

C．棱A1D1始终与水面所在平面平行

D．当容器倾斜如图所示时，BE·BF是定值

ACD　解析：由题图，显然A是正确的，B是错的；对于C，因为A1D1∥BC，BC∥FG，所以A1D1∥FG且A1D1⊄平面EFGH，所以A1D1∥平面EFGH(水面)，所以C是正确的；因为水是定量的(定体积V)，所以S△BEF·BC＝V，即BE·BF·BC＝V，所以BE·BF＝(定值)，即D是正确的．

12．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M是A1D1的中点，则直线MD与平面A1ACC1的位置关系是________；直线MD与平面BCC1B1的位置关系是___________．

相交　平行　解析：在平面AA1D1D中，四边形AA1MD是梯形，且AA1，MD是两腰，则直线MD与直线AA1相交，所以直线MD与平面A1ACC1相交．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，平面AA1D1D∥平面BB1C1C，因为MD⊂平面AA1D1D，所以MD∥平面BCC1B1．

13．如图，矩形ABCD所在平面与以BC为直径的圆所在平面垂直，O为BC中点，M是圆周上一点，且∠CBM＝30°，AB＝1，BC＝2．

(1)求异面直线AO与CM所成角的余弦值；

(2)设点P是线段AM上的点，且满足AP＝λPM，若直线CM∥平面BPD，求实数λ的值．

解：(1)取AD的中点N，连接CN，MN，OM，ON(图略)．

因为ABCD为矩形，O，N分别为BC，AD的中点，所以AO∥CN，

所以异面直线AO与CM所成角就是CN与CM所成的锐角或直角．

因为平面ABCD⊥平面BCM，平面ABCD∩平面BCM＝BC．

在矩形ABCD中，NO⊥BC，NO⊂平面ABCD，

所以NO⊥平面BCM．

又OM⊂平面BCM，所以NO⊥OM．

在△MON中，∠MON＝90°，OM＝NO＝1，所以MN＝．

又M是圆周上点，且∠CBM＝30°，所以CM＝1．

在△MCN中，CN＝，由余弦定理可求得

cos∠MCN＝＝，

所以异面直线AO与CM所成角的余弦值为．

(2)连接PB，PD，连接BD和AC交于点Q，连接PQ(图略)．

因为直线CM∥平面BPD，直线CM⊂平面ACM，平面BPD∩平面ACM＝PQ，所以CM∥PQ．

因为矩形ABCD的对角线交点Q为AC中点，

所以PQ为△AMC的中位线，所以P为AM中点．

又AP＝λPM，所以λ的值为1．

14．如图，平面EFGH分别与空间四边形ABCD中的BD，AD，AC，BC交于E，F，G，H，且AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH，CD＝a，AB＝b，CD⊥AB．

(1)求证：四边形EFGH为矩形；

(2)点G在什么位置时，SEFGH最大？

(1)证明：因为CD∥平面EFGH，平面EFGH∩平面ADC＝FG，平面EFGH∩平面BDC＝EH，

所以FG∥CD，EH∥CD，所以FG∥EH，同理可证EF∥GH，

所以四边形EFGH为平行四边形．

又因为AB⊥CD，所以EF⊥FG，所以四边形EFGH为矩形．

(2)解：设AG＝x，AC＝m，则＝，＝，所以GF＝x，GH＝(m－x)，

所以SEFGH＝GH·GF＝x×(m－x)＝(mx－x2)＝，

所以当x＝时，SEFGH＝·＝．