高考数学一轮复习课时质量评价37立体几何中的向量方法——证明平行与垂直含答案

课时质量评价(三十七)

A组　全考点巩固练

1．设u＝(－3,2，t)，v＝(6，－5,4)分别是平面α，β的法向量．若α⊥β，则t＝(　C　)

A．5   B．6 

C．7   D．8

2．(多选题)已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，且＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)，则(　　)

A．AP⊥AB

B．AP⊥AD

C．是平面ABCD的法向量

D．∥

ABC　解析：因为·＝(2，－1，－4)·(－1，2，－1)＝0，

·＝(4,2,0)·(－1,2，－1)＝0，

所以AB⊥AP，AD⊥AP，则选项A，B正确．

又与不平行，

所以是平面ABCD的法向量，则选项C正确．

由于＝－＝(2,3,4)，＝(－1,2，－1)，所以与不平行，故选项D错误．

3．如图，F是正方体ABCDA1B1C1D1的棱CD的中点，E是BB1上一点．若D1F⊥DE，则有(　　)

A．B1E＝EB   B．B1E＝2EB

C．B1E＝EB   D．E与B重合

A　解析：以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz．

设正方体的棱长为2，则D(0,0,0)，F(0，1,0)，D1(0,0,2)，设E(2,2，z)，＝(0,1，－2)，＝(2,2，z)．因为·＝0×2＋1×2－2z＝0，所以z＝1，所以B1E＝EB．

4．如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE，则点M的坐标为(　　)

A．(1,1,1)   B．

C．   D．

C　解析：设AC与BD相交于点O，连接OE(图略)，由AM∥平面BDE，且AM⊂平面ACEF，平面ACEF∩平面BDE＝OE，所以AM∥EO．又O是正方形ABCD对角线的交点，所以M为线段EF的中点．

在空间直角坐标系Cxyz中，E(0,0,1)，F(，，1)．

由中点坐标公式，知点M的坐标为．

5．已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是CD，PC的中点，并且PA＝AD＝1．在如图所示的空间直角坐标系中，MN＝________．

　解析：连接PD(图略)，因为M，N分别为CD，PC的中点，所以MN＝PD，又P(0,0,1)，D(0,1,0)，所以PD＝＝，所以MN＝．

6．已知平面α内的三点A(0,0,1)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，平面β的一个法向量n＝(－1，－1，－1)，则不重合的两个平面α与β的位置关系是________．

α∥β　解析：＝(0,1，－1)，＝(1,0，－1)．

设平面α的法向量为m＝(x，y，z)，m·＝0，得x·0＋y－z＝0，即y＝z，由m·＝0，得x－z＝0，即x＝z，取x＝1，所以m＝(1,1,1)，m＝－n，

所以m∥n，所以α∥β．

7．已知＝(1,5，－2)，＝(3,1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x＋y＝________．

　解析：由条件得解得x＝，y＝－，z＝4，所以x＋y＝－＝．

8．(2022·江苏徐州模拟)如图，在正三棱锥S­ABC中，E是高SO上一点，AO＝SA，直线AE与底面所成角的正切值为．

(1)求证：AE⊥平面EBC；

(2)求三棱锥E­ABC外接球的体积．

(1)证明：延长AO交BC于点D．

因为SO⊥平面ABC，所以∠EAO即为直线EA与底面ABC所成的角，

从而tan∠EAO＝，所以＝．

设AO＝2，则OE＝，SA＝4，AB＝SO＝2．

以点O为坐标原点，与CB平行的直线为x轴，OD所在直线为y轴，OS所在直线为z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，

则O(0, 0, 0)，A(0, －2, 0)，B(，1,0)，C(－，1,0)，E(0，0，)，所以＝(－2，0,0)，＝(－，－1, )，＝(0,2，)．

设平面EBC的法向量为n＝(x，y，z)，由得取z＝1，则y＝，x＝0，即n＝(0，，1)．

所以＝n，即∥n，所以AE⊥平面EBC．

(2)解：由题意知三棱锥E­ABC为正三棱锥，设其外接球的球心为O′(0,0，t)，

由O′A＝O′E，得＝|t－|，解得t＝－，

所以外接球的半径－＝，所以外接球的体积V＝π＝9π．

B组　新高考培优练

9．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝，则MN与平面BB1C1C的位置关系是(　　)

A．相交

B．平行

C．垂直

D．MN在平面BB1C1C内

B　解析：以点C1为坐标原点，分别以C1B1，C1D1，C1C所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

由于A1M＝AN＝，则M，N，＝．又C1D1⊥平面BB1C1C，所以＝(0，a,0)为平面BB1C1C的一个法向量．因为·＝0，所以⊥，又MN⊄平面BB1C1C，所以MN∥平面BB1C1C．

10．如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱BC，DD1上的点．若B1E⊥平面ABF，则CE与DF的和为　1　．

11．在正三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱长为2，底面边长为1，M为BC的中点，＝λ，且AB1⊥MN，则λ的值为__________．

15　解析：如图所示，取B1C1的中点P，连接MP，以M为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系．

因为底面边长为1，侧棱长为2，所以A，B1，C，C1，M(0,0,0)，设N．

因为＝λ，所以N，所以＝，＝．

又因为AB1⊥MN，所以·＝0，所以－＋＝0，所以λ＝15．

12．在四棱锥S­ABCD中，四边形ABCD为正方形，AB＝2，DS＝1，平面ASD⊥平面ABCD，SD⊥AD，点E为DC上的动点，平面BSE与平面ASD所成的二面角为θ(θ为锐角)，则当θ取最小值时，三棱锥E­ASD的体积为________．

　解析：依题意可知DA，DS，DC两两相互垂直，以D为原点建立如图所示空间直角坐标系，

平面ASD的法向量为m＝(0,0,1)，

B(2,0,2)，S(0,1,0)，E(0,0，t)，＝(－2,1，－2)，＝(－2,0，t－2)，其中0≤t≤2．

设平面BSE的法向量为n＝(x，y，z)，

则令z＝2，则x＝t－2，y＝2t，

所以n＝(t－2,2t,2)为平面BSE的一个法向量．

依题意cos θ＝＝＝，

由于0≤t≤2，所以当t＝－＝时，cos θ取得最大值，θ取得最小值．

此时DE＝，VE­ASD＝××＝．

13．如图，正方形ABCD的边长为2，四边形BDEF是平行四边形，BD与AC交于点G，O为GC的中点，FO＝，且FO⊥平面ABCD．

(1)求证：AE∥平面BCF；

(2)求证：CF⊥平面AEF．

证明：取BC中点H，连接OH，则OH∥BD．

又四边形ABCD为正方形，所以AC⊥BD，所以OH⊥AC，

故以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，

则A(3,0,0)，C(－1,0,0)，D(1，－2,0)，F(0,0，)，B(1,2,0)，＝(－2，－2,0)，＝(1,0，)，＝(－1，－2，)．

(1)设平面BCF的法向量为n＝(x，y，z)，

则即取z＝1，得n＝(－，，1)．

又四边形BDEF为平行四边形，所以＝＝(－1，－2，)，

所以＝＋＝＋＝(－2，－2,0)＋(－1，－2，)＝(－3，－4，)，

所以·n＝3－4＋＝0，所以⊥n．

又AE⊄平面BCF，所以AE∥平面BCF．

(2)因为＝(－3,0，)，所以·＝－3＋3＝0，·＝－3＋3＝0，

所以⊥，⊥，即CF⊥AF，CF⊥AE．

又AE∩AF＝A，AE，AF⊂平面AEF，

所以CF⊥平面AEF．