高考数学一轮复习课时质量评价43直线方程含答案

课时质量评价(四十三)

A组　全考点巩固练

1．过点M(1，－2)的直线与x轴、y轴分别交于P，Q两点．若M恰为线段PQ的中点，则直线PQ的方程为(　　)

A．2x＋y＝0   B．2x－y－4＝0

C．x＋2y＋3＝0   D．x－2y－5＝0

B　解析：设P(x0,0)，Q(0，y0)，

因为M(1，－2)为线段PQ的中点，所以x0＝2，y0＝－4，

所以直线PQ的方程为＋＝1，即2x－y－4＝0．

2．下列说法正确的是(　　)

A．直线x－y－2＝0与两坐标轴围成的三角形的面积是2

B．过点(0,2)的直线方程为y＝kx＋2

C．过(x1，y1)，(x2，y2)两点的直线方程为＝

D．经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x＋y－2＝0

A　解析：A中直线在坐标轴上的截距分别为2，－2，所以围成三角形的面积是2，故A正确；过点(0,2)的直线方程为y＝kx＋2或x＝0，故B错误；C选项需要条件y2≠y1，x2≠x1，故C错误；D选项错误，还有一条在x轴和y轴上截距都为0的直线y＝x．

3．(2021·丰台区模拟)若直线y＝ax＋c经过第一、二、三象限，则有(　　)

A．a>0，c>0   B．a>0，c<0

C．a<0，c>0   D．a<0，c<0

A　解析：直线y＝ax＋c经过第一、二、三象限，所以直线的斜率a>0，在y轴上的截距c>0．

4．(多选题)(2021·重庆一中期中)过点A(1,2)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为(　　)

A．x－y－1＝0   B．x＋y－3＝0

C．2x－y＝0   D．x－y＋1＝0

CD　解析：当直线过原点时方程为y＝2x，即2x－y＝0；当直线不过原点时，设方程为＋＝1，代入点A的坐标求出a＝－1，方程为x－y＋1＝0．故选CD．

5．若直线l：y＝kx－与直线x＋y－3＝0的交点位于第二象限，则直线l的倾斜角的取值范围是(　　)

A．   B．

C．   D．

D　解析：联立方程组解得x＝，y＝．

因为两直线的交点位于第二象限，可得<0且>0，解得k<－1．

设直线l的倾斜角为θ，其中θ∈[0，π)，即tan θ<－1，解得<θ<，

即直线l的倾斜角的取值范围是．

6．已知直线l的斜率为，且和坐标轴围成面积为3的三角形，则直线l的方程为__________．

x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0　解析：设所求直线l的方程为＋＝1．

因为k＝，即＝－，所以a＝－6b．

又三角形面积S＝3＝|a|·|b|，所以|ab|＝6．

则当b＝1时，a＝－6；当b＝－1时，a＝6．

所以所求直线方程为＋＝1或＋＝1．

即x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0．

7．在平面直角坐标系内，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(0,2)，B(4,0)，C(m,0)．

(1)求边AB的垂直平分线所在的直线l的方程；

(2)若△ABC的面积为5，求点C的坐标．

解：(1)因为A(0,2)，B(4,0)，

所以线段AB的中点M的坐标为(2,1)．

又因为kAB＝＝－，

设边AB的垂直平分线所在的直线l的斜率为k，

则kAB·k＝－1，

所以k＝2，

可得直线l的方程为y－1＝2(x－2)，

即2x－y－3＝0．

所以边AB的垂直平分线所在的直线l的方程为2x－y－3＝0．

(2)易知边AB所在的直线方程为x＋2y－4＝0，

＝＝2．

设AB边上的高为d，即点C到直线AB的距离为d＝＝，

且S△ABC＝·d＝5＝·2·d＝5，

解得d＝，

解得m＝9或m＝－1，

所以点C的坐标为(9,0)或(－1,0)．

B组　新高考培优练

8．已知直线l的倾斜角为α，斜率为k，那么“α>”是“k>”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

B　解析：当<α<π时，k<0；当k>时，<α<．所以“α>”是“k>”的必要不充分条件．故选B．

9．直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是(　　)

A．－1＜k＜   B．k＞1或k＜

C．k＞1或k＜   D．k＞或k＜－1

D　解析：设直线的斜率为k，则直线方程为y－2＝k(x－1)，

令y＝0，得直线l在x轴上的截距为1－，

则－3＜1－＜3，解得k＞或k＜－1．故选D．

10．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A(4,0)，B(0,2)，且AC＝BC，则△ABC的欧拉线方程为(　　)

A．x－2y＋3＝0 

B．2x＋y－3＝0

C．x－2y－3＝0 

D．2x－y－3＝0

D　解析：因为线段AB的中点为M(2,1)，kAB＝－，所以线段AB的垂直平分线方程为y－1＝2(x－2)，即2x－y－3＝0．因为AC＝BC，所以△ABC的外心、重心、垂心都位于线段AB的垂直平分线上，所以△ABC的欧拉线方程为2x－y－3＝0．故选D．

11．在同一平面直角坐标系中，直线l1：ax＋y＋b＝0和直线l2：bx＋y＋a＝0有可能是________．

②④　解析：直线l1可化为y＝－ax－b，直线l2可化为y＝－bx－a，所以当a>0，b>0时，－a<0，－b<0，结合选项知②符合；当a>0，b<0时，－a<0，－b>0，选项④符合；当a<0，b>0或a<0，b<0或a＝0或b＝0时都不符合，故填②④．

12．设点A(－1,0)，B(1,0)，直线2x＋y－b＝0与线段AB相交，则b的取值范围是___________．

[－2,2]　解析：b为直线y＝－2x＋b在y轴上的截距，如图所示，

当直线y＝－2x＋b分别过点A(－1,0)和点B(1,0)时，b分别取得最小值和最大值．

所以b的取值范围是[－2,2]．

13．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．

(1)求证：直线l过定点；

(2)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．

(1)证明：设直线l过定点(x0，y0)，

则kx0－y0＋1＋2k＝0对任意k∈R恒成立，

即(x0＋2)k－y0＋1＝0恒成立．

所以x0＋2＝0，－y0＋1＝0．

解得x0＝－2，y0＝1，故直线l过定点(－2,1)．

另证：kx－y＋1＋2k＝0可化为y－1＝k(x＋2)，

显然x＝－2，y＝1时对任意k，方程都成立，

故直线l过定点(－2,1)．

(2)解：直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)在x轴、y轴上的截距分别为－和1＋2k．

又－<0，且1＋2k>0，所以k>0，

所以S＝＝≥×(4＋4)＝4，

当且仅当4k＝，即k＝时，等号成立．

故S的最小值为4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0．