高考数学一轮复习课时质量评价44两直线的位置关系、距离公式含答案

课时质量评价(四十四)

A组　全考点巩固练

1．已知经过点A(－2,0)和点B(1,3a)的直线l1与经过点P(0，－1)和点Q(a，－2a)的直线l2互相垂直，则实数a的值为(　　)

A．0   B．1

C．0或1   D．－1或1

C　解析：直线l1的斜率k1＝＝a．当a≠0时，直线l2的斜率k2＝＝．因为l1⊥l2，所以k1k2＝－1，即a·＝－1，解得a＝1．当a＝0时，P(0，－1)，Q(0,0)，此时直线l2为y轴，又A(－2,0)，B(1,0)，则直线l1为x轴，显然l1⊥l2．综上可知，实数a的值为0或1．

2．(2020·全国Ⅲ卷)点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为(　　)

A．1   B． 

C．   D．2

B　解析：设点A(0，－1)，直线l：y＝k(x＋1)，由l过定点B(－1,0)，知当AB⊥l时，距离最大，最大值为．故选B．

3．直线mx＋4y－2＝0与直线2x－5y＋n＝0垂直，垂足为(1，p)，则n的值为(　　)

A．－12   B．－14 

C．10   D．8

A　解析：由直线mx＋4y－2＝0与直线2x－5y＋n＝0垂直，得2m－20＝0，m＝10．直线10x＋4y－2＝0过点(1，p)，有10＋4p－2＝0，解得p＝－2．点(1，－2)又在直线2x－5y＋n＝0上，则2＋10＋n＝0，解得n＝－12．故选A．

4．(多选题)直线l经过点M(2,1)，若点P(4,2)和Q(0，－4)到直线l的距离相等，则直线l的方程为(　　)

A．3x－2y－4＝0   B．x＝2

C．x－2y＝0   D．3x－2y－8＝0

AB　解析：当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝2，符合题意．当直线l的斜率存在时，依题意可设直线l的方程为y－1＝k(x－2)，即kx－y＋1－2k＝0．因为P(4,2)和Q(0，－4)到直线l的距离相等，所以|4k－2＋1－2k|＝|4＋1－2k|，解得k＝，则直线l的方程为3x－2y－4＝0．故选AB．

5．已知A(1,6)，B(0,5)，作直线l，使得点A，B到直线l的距离均为d，且这样的直线l恰有4条，则d的取值范围是(　　)

A．d≥1   B．0＜d＜1

C．0＜d≤1   D．0＜d＜2

B　解析：A，B两点到直线l的距离相等，这样的直线有两类，第一类是过线段AB的中点的直线；第二类是与直线AB平行的直线．而|AB|＝＝2，要使满足条件的直线l有4条，只需要0＜d＜|AB|＝1．

6．直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是(　　)

A．x＋2y－1＝0   B．2x＋y－1＝0

C．2x＋y－3＝0   D．x＋2y－3＝0

D　解析：设所求直线上任一点为(x，y)，则它关于x＝1的对称点(2－x，y)在直线x－2y＋1＝0上，所以2－x－2y＋1＝0，化简得x＋2y－3＝0．

7．(2021·长沙一调)已知入射光线经过点M(－3，4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为________．

6x－y－6＝0　解析：设点M(－3,4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(a，b)，则反射光线所在直线过点M′，

所以解得

又反射光线经过点N(2,6)，

所以所求直线的方程为＝，即6x－y－6＝0．

8．l1，l2是分别经过A(1,1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是________．

x＋2y－3＝0　解析：当两条平行直线与A，B两点连线垂直时，两条平行直线间的距离最大．又kAB＝＝2，所以两条平行直线的斜率为k＝－，所以直线l1的方程是y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0．

9．正方形的中心为点C(－1,0)，一条边所在的直线方程是x＋3y－5＝0，求其他三边所在直线的方程．

解：点C到直线x＋3y－5＝0的距离d＝＝．

设与x＋3y－5＝0平行的一边所在直线的方程是x＋3y＋m＝0(m≠－5)，

则点C到直线x＋3y＋m＝0的距离

d＝＝，

解得m＝－5(舍去)或m＝7，

所以与x＋3y－5＝0平行的边所在直线的方程是x＋3y＋7＝0．

设与x＋3y－5＝0垂直的边所在直线的方程是3x－y＋n＝0，

则点C到直线3x－y＋n＝0的距离

d＝＝，

解得n＝－3或n＝9，

所以与x＋3y－5＝0垂直的两边所在直线的方程分别是3x－y－3＝0和3x－y＋9＝0．

B组　新高考培优练

10．已知0＜k＜4，直线l1：kx－2y－2k＋8＝0和直线l2：2x＋k2y－4k2－4＝0与坐标轴围成一个四边形，则使这个四边形面积最小的k的值为(　　)

A．   B． 

C．   D．2

A　解析：直线l1，l2恒过点P(2,4)，直线l1在y轴上的截距为4－k，直线l2在x轴上的截距为2k2＋2．因为0＜k＜4，所以4－k＞0,2k2＋2＞0，所以四边形的面积S＝×2×(4－k)＋×4×(2k2＋2)＝4k2－k＋8，故当k＝时，面积最小．

11．一条经过点A(－4,2)的入射光线l的斜率为－2，若入射光线l经x轴反射后与y轴交于点B，O为坐标原点，则△AOB的面积为(　　)

A．16   B．12 

C．8   D．6

B　解析：设直线l与x轴交于点C，因为l的方程为y－2＝－2(x＋4)，令y＝0，得点C的坐标为(－3,0)，从而反射光线所在直线的方程为y＝2(x＋3)，令x＝0得B(0,6)，

所以△AOB的面积S＝×6×4＝12．

12．已知A(－2,1)，B(1,2)，点C为直线y＝x上的动点，则|AC|＋|BC|的最小值为(　　)

A．2   B．2 

C．2   D．2

C　解析：设B关于直线y＝x的对称点为B′(x0，y0)，则解得

所以B′(2，－1)．

由平面几何知识得|AC|＋|BC|的最小值即是|B′A|＝＝2．故选C．

13．已知直线l在两坐标轴上的截距相等，且点A(1,3)到直线l的距离为，则直线l的方程为___________．

y＝－7x或y＝x或x＋y－2＝0或x＋y－6＝0　解析：当直线过原点时，设直线方程为y＝kx，由点A(1,3)到直线l的距离为，得＝，解得k＝－7或k＝1，此时直线l的方程为y＝－7x或y＝x．当直线不过原点时，设直线方程为x＋y＝a，由点A(1,3)到直线l的距离为，得＝，解得a＝2或a＝6，此时直线l的方程为x＋y－2＝0或x＋y－6＝0．综上所述，直线l的方程为y＝－7x或y＝x或x＋y－2＝0或x＋y－6＝0．

14．已知直线y＝2x是△ABC中∠ACB的平分线所在的直线．若点A，B的坐标分别是(－4,2)，(3,1)，则点C的坐标是___________．

(2,4)　解析：设A(－4,2)关于直线y＝2x的对称点为(x，y)，

则解得

所以BC所在直线方程为y－1＝(x－3)，即3x＋y－10＝0．同理可得点B(3,1)关于直线y＝2x的对称点为(－1,3)，所以AC所在直线方程为y－2＝·(x＋4)，即x－3y＋10＝0．联立得解得则C(2,4)．

15．已知直线方程为(2－m)x＋(2m＋1)y＋3m＋4＝0，其中m∈R．

(1)求证：直线恒过定点；

(2)当m变化时，求点Q(3,4)到直线的距离的最大值及此时的直线方程；

(3)若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，求△AOB面积的最小值及此时的直线方程．

(1)证明：直线方程为(2－m)x＋(2m＋1)y＋3m＋4＝0，

可化为(2x＋y＋4)＋m(－x＋2y＋3)＝0对任意m都成立，

所以解得

所以直线恒过定点(－1，－2)．

(2)解：设定点为P(－1，－2)．

当m变化时，PQ⊥直线l时，

点Q(3,4)到直线的距离最大，可知点Q与定点P(－1，－2)的连线的距离就是所求最大值，

即＝2．

此时直线过点P(－1，－2)且与PQ垂直，

所以－·＝－1，解得m＝．

故直线的方程为2x＋3y＋8＝0．

(3)解：由于直线经过定点P(－1，－2)，直线的斜率k存在且k≠0，

因此可设直线的方程为y＋2＝k(x＋1)，

可得与x轴、y轴的负半轴分别交于A，B(0，k－2)两点，

＜0，k－2＜0，解得k＜0．

所以S△AOB＝××(2－k)＝≥2＋×2＝4，

当且仅当k＝－2时取等号．

此时直线的方程为y＋2＝－2(x＋1)，可化为2x＋y＋4＝0．