高考数学一轮复习课时质量评价45圆的方程含答案

课时质量评价(四十五)

A组　全考点巩固练

1．圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x＋4y＋4＝0与圆C相切，则圆C的方程为(　　)

A．x2＋y2－2x－3＝0   B．x2＋y2＋4x＝0

C．x2＋y2－4x＝0   D．x2＋y2＋2x－3＝0

C　解析：由题意设所求圆的方程为(x－m)2＋y2＝4(m>0)，则＝2，解得m＝2．故选C．

2．已知点P为圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4上一点，A(0，－6)，B(4,0)，则|＋|的最大值为(　　)

A．＋2   B．＋4

C．2＋4   D．2＋2

C　解析：取AB的中点D(2，－3)，则＋＝2，|＋|＝|2|，||的最大值为圆心C(1,2)与D(2，－3)的距离d再加半径r．又d＝＝，所以d＋r＝＋2．

所以|＋|的最大值为2＋4．

3．圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离与最小距离的差是(　　)

A．30   B．18 

C．6   D．5

C　解析：由圆x2＋y2－4x－4y－10＝0知圆心坐标为(2,2)，半径为3，则圆上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离为＋3＝8，最小距离为－3＝2，故最大距离与最小距离的差为6．

4．(2020·全国Ⅱ卷)若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x－y－3＝0的距离为(　　)

A．   B． 

C．   D．

B　解析：由题意可知圆心在第一象限，设为(a，b)．

因为圆与两坐标轴均相切，所以a＝b，且半径r＝a，

所以圆的标准方程为(x－a)2＋(y－a)2＝a2．

因为点(2,1)在圆上，所以(2－a)2＋(1－a)2＝a2，

所以a2－6a＋5＝0，解得a＝1或a＝5．

当a＝1时，圆心坐标为(1,1)，此时圆心到直线2x－y－3＝0的距离d＝＝；

当a＝5时，圆心坐标为(5,5)，此时圆心到直线2x－y－3＝0的距离d＝＝．

综上，圆心到直线2x－y－3＝0的距离为．

5．已知圆x2＋y2＝4，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上动点．若∠PBQ＝90°，则线段PQ中点的轨迹方程为____________．

x2＋y2－x－y－1＝0　解析：设PQ的中点为N(x′，y′)．在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x′2＋y′2＋(x′－1)2＋(y′－1)2＝4．故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0．

6．已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝4，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为__________．

(x－2)2＋(y＋2)2＝4　解析：设圆C2的圆心为C2(a，b)，圆C1∶(x＋1)2＋(y－1)2＝4的圆心为C1(－1,1)，半径为2．因为圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，所以点C1与点C2关于直线x－y－1＝0对称，且圆C2的半径为2，则有解得则圆C2的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝4．

7．已知点A(－3,0)，B(3,0)，动点P满足|PA|＝2|PB|．

(1)若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；

(2)若点Q在直线l1：x＋y＋3＝0上，直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求|QM|的最小值．

解：(1)设点P的坐标为(x，y)，

则＝2．

化简可得(x－5)2＋y2＝16，此式即为所求．

(2)曲线C是以点(5,0)为圆心，半径为4的圆，如图所示．

由直线l2是此圆的切线，连接CQ，CM，

则|QM|＝＝．

易知当CQ⊥l1时，|CQ|取最小值，

又|CQ|min＝＝4，

所以此时|QM|的最小值为＝4．

B组　新高考培优练

8．若直线2ax－by＋2＝0(a，b∈R)始终平分圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的周长，则ab的取值范围是(　　)

A．   B．

C．   D．

D　解析：因为直线2ax－by＋2＝0(a，b∈R)始终平分圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的周长，所以圆心(－1,2)在直线2ax－by＋2＝0上，可得－2a－2b＋2＝0，解得b＝1－a，所以ab＝a(1－a)＝－＋≤，当且仅当a＝时等号成立，因此ab的取值范围为．

9．在平面直角坐标系xOy中，已知(x1－2)2＋y＝5，x2－2y2＋4＝0，则(x1－x2)2＋(y1－y2)2的最小值为(　　)

A．   B． 

C．   D．

B　解析：由已知得点(x1，y1)在圆(x－2)2＋y2＝5上，点(x2，y2)在直线x－2y＋4＝0上，故(x1－x2)2＋(y1－y2)2表示圆(x－2)2＋y2＝5上的点和直线x－2y＋4＝0上点的距离平方，而距离的最小值为－＝，故(x1－x2)2＋(y1－y2)2的最小值为．

10．已知实数x，y满足x2＋y2＝4(y≥0)，则m＝x＋y的取值范围是(　　)

A．(－2，4)   B．[－2，4]

C．[－4,4]   D．[－4,2]

B　解析：x2＋y2＝4(y≥0)表示圆x2＋y2＝4的上半部分，如图所示，

直线x＋y－m＝0的斜率为－，在y轴上的截距为m．当直线x＋y－m＝0过点(－2,0)时，m＝－2．设圆心(0,0)到直线x＋y－m＝0的距离为d，则即解得m∈[－2，4]．

11．(2020·全国Ⅰ卷)已知⊙M：x2＋y2－2x－2y－2＝0，直线l：2x＋y＋2＝0，P为l上的动点．过点P作⊙M的切线PA，PB，切点为A，B，当|PM|·|AB|最小时，直线AB的方程为(　　)

A．2x－y－1＝0

B．2x＋y－1＝0

C．2x－y＋1＝0

D．2x＋y＋1＝0

D　解析：⊙M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，

则圆心M(1,1)，⊙M的半径为2．

如图所示，由题意可知PM⊥AB，

所以S四边形PAMB＝|PM|·|AB|＝|PA|·|AM|＝2|PA|，

所以|PM|·|AB|＝4|PA|＝4．

当|PM|·|AB|最小时，|PM|最小，此时PM⊥l．

故直线PM的方程为y－1＝(x－1)，即x－2y＋1＝0．

由得所以P(－1,0)．

又因为PA与⊙M相切，所以直线PA的方程为x＝－1(因为在⊙M中，－1≤x≤1)，

所以PA⊥x轴，PA⊥MA，所以A(－1,1)．

又直线AB与l平行，

设直线AB的方程为2x＋y＋m＝0，

将A(－1,1)的坐标代入2x＋y＋m＝0，得m＝1．

所以直线AB的方程为2x＋y＋1＝0．

12．(2022·厦门模拟)在△ABC中，AB＝4，AC＝2，∠CAB＝，动点P在以点A为圆心，半径为1的圆上，则·的最小值为________．

5－2　解析：如图，以点A为原点，AB边所在直线为x轴建立平面直角坐标系．

则A(0,0)，B(4,0)，C(1，)，设P(x，y)，则＝(4－x，－y)，＝(1－x，－y)，

所以·＝(4－x)(1－x)－y(－y)＝x2－5x＋y2－y＋4＝＋－3，其中＋表示圆A上的点P与点M之间距离|PM|的平方．由几何图形可得|PM|min＝|AM|－1＝－1＝－1，

所以(·)min＝(－1)2－3＝5－2．

13．已知圆M：x2＋(y－4)2＝4，P是直线l：x－2y＝0上的动点，过点P作圆M的切线PA，切点为A．

(1)当切线PA的长度为2时，求点P的坐标．

(2)若△PAM的外接圆为圆N，试问：当点P运动时，圆N是否过定点？若过定点，求出所有的定点的坐标；若不过定点，请说明理由．

解：(1)由题可知，圆M的圆心为M(0,4)，半径r＝2．

设P(2b，b)，因为PA是圆M的一条切线，

所以∠MAP＝90°．

在Rt△MAP中，|MP|2＝|AM|2＋|AP|2，

故|MP|＝＝4．

又|MP|＝＝，

所以＝4，解得b＝0或b＝．

所以点P的坐标为(0,0)或．

(2)设点P的坐标为(2b，b)．

因为∠MAP＝90°，所以△PAM的外接圆是以MP为直径，以MP的中点坐标为圆心的圆，

所以圆N的方程为

(x－b)2＋＝，

即(2x＋y－4)b－(x2＋y2－4y)＝0．

由

解得或

所以圆N过定点(0,4)和．