高考数学一轮复习课时质量评价46直线与圆、圆与圆的位置关系含答案

课时质量评价(四十六)

A组　全考点巩固练

1．直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是(　　)

A．相交   B．相切

C．相离   D．不确定

A　解析：由消去y，整理得(1＋m2)x2－2m2x＋m2－5＝0．因为Δ＝16m2＋20>0，所以直线l与圆C相交．故选A．

2．(2021·衡水一中模考)圆C1：(x＋1)2＋(y－2)2＝4与圆C2：(x－3)2＋(y－2)2＝4的公切线的条数是(　　)

A．1   B．2 

C．3   D．4

C　解析：圆C1：(x＋1)2＋(y－2)2＝4的圆心为(－1,2)，半径为2，圆C2：(x－3)2＋(y－2)2＝4的圆心为(3,2)，半径为2，两圆的圆心距|C1C2|＝＝4＝2＋2，即两圆的圆心距等于两圆的半径之和，故两圆相外切，故公切线的条数为3．

3．(多选题)若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则实数a的值可能为(　　)

A．0   B．4 

C．－2   D．6

AD　解析：由圆的方程，可知圆心坐标为(a,0)，半径r＝2．又直线被圆截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离d＝＝．又d＝，所以|a－2|＝2，解得a＝4或0．故选AD．

4．已知圆的方程是x2＋y2＝1，则在y轴上截距为的切线方程为(　　)

A．y＝x＋

B．y＝－x＋

C．y＝x＋或y＝－x＋

D．x＝1或y＝x＋

C　解析：由题意知切线斜率存在，故设切线方程为y＝kx＋，则＝1，所以k＝±1，故所求切线方程为y＝x＋或y＝－x＋．

5．过点P(1,2)的直线与圆x2＋y2＝1相切，且与直线ax＋y－1＝0垂直，则实数a的值为(　　)

A．0   B．－ 

C．0或   D．

C　解析：当a＝0时，直线ax＋y－1＝0，即直线y＝1，此时过点P(1,2)且与直线y＝1垂直的直线为x＝1，而x＝1是与圆相切，满足题意，所以a＝0成立．

当a≠0时，过点P(1,2)且与直线ax＋y－1＝0垂直的直线斜率为，可设该直线方程为y－2＝(x－1)，即x－ay＋2a－1＝0，再根据直线与圆相切，即圆心到直线距离为1，可得＝1，解得a＝．故选C．

6．直线l：y＝kx＋4与圆O：x2＋y2＝4交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点．若x1x2＋y1y2＝0，则k2的值为(　　)

A．3   B．7 

C．8   D．13

B　解析：由条件可得x1x2≠0，圆O的圆心为(0,0)，半径为2，由x1x2＋y1y2＝0可得·＝－1，故OA⊥OB，故△AOB为等腰直角三角形．故点O到直线l的距离为，即＝，解得k2＝7．故选B．

7．早在两千多年前，我国的墨子给出了圆的定义——一中同长也．已知O为坐标原点，P(－1，)．若⊙O，⊙P的“长”分别为1，r，且两圆相切，则r＝________．

1或3　解析：由题意，O为坐标原点，P(－1，)，

根据圆的定义可知，⊙O的圆心为O(0,0)，半径为1，⊙P的圆心为P(－1，)，半径为r，因为两圆相切，则有|PO|＝r＋1或|PO|＝r－1，

则有r＋1＝2或r－1＝2，

解得r＝1或3．

8．已知圆O：x2＋y2＝5与圆C1：x2＋y2－5x＝0相交于M，N两点，点P的坐标为(3，－4)．若圆C2经过M，N，P三点，则C2的方程为________．

(x－5)2＋y2＝20　解析：把圆O：x2＋y2＝5与圆C1：x2＋y2－5x＝0相减，可得公共弦MN的方程为x＝1，

故M，N两点的坐标为(1,2)，(1，－2)．

又点P的坐标为(3，－4)，故要求的圆的圆心C2在x轴上，设C2(m,0)，

由C2M＝C2P，求得m＝5，故要求的圆的圆心C2(5,0)，半径为C2M＝，

故要求的圆C2的方程为(x－5)2＋y2＝20．

9．已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点．

(1)求k的取值范围；

(2)若·＝12，其中O为坐标原点，求|MN|．

解：(1)由题意可得，直线l的斜率存在．

设过点A(0,1)且斜率为k的直线l的方程：y＝kx＋1，

即kx－y＋1＝0．

由已知可得圆C的圆心C的坐标为(2,3)，半径R＝1．

由直线l与圆C交于M，N两点，

则<1，

解得<k<．

所以k的取值范围为．

(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，

由题意可得，经过点M，N，A的直线方程为

y＝kx＋1，

代入圆C的方程(x－2)2＋(y－3)2＝1，

可得(1＋k2)x2－4(k＋1)x＋7＝0，

所以x1＋x2＝，x1x2＝，

所以y1y2＝(kx1＋1)(kx2＋1)

＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝．

由·＝x1x2＋y1y2＝＝12，

解得k＝1，

故直线l的方程为y＝x＋1，即x－y＋1＝0．

圆心C在直线l上，MN的长即为圆的直径．

所以|MN|＝2．

B组　新高考培优练

10．(2021·武汉调研)已知直线l：x＋y－5＝0与圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝r2(r＞0)相交所得的弦长为2，则圆C的半径r＝(　　)

A．　 　　 B．2　 　　 C．2　 　　 D．4

B　解析：依题意，得圆C的圆心坐标为(2,1)，圆心到直线l的距离d＝＝，因为弦长为2，所以2＝2，所以r＝2．

11．已知直线x＋ay－1＝0是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝(　　)

A．2   B．6 

C．4   D．2

B　解析：因为圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0，即(x－2)2＋(y－1)2＝4，所以圆心为C(2,1)，半径r＝2．由题意可得，直线l：x＋ay－1＝0经过圆C的圆心(2,1)，故有2＋a－1＝0，所以a＝－1，点A(－4，－1)．因为|AC|＝＝2，|CB|＝r＝2，所以|AB|＝＝6．故选B．

12．直线l：y＝kx＋1与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，则“k＝1”是“|AB|＝”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

A　解析：依题意，注意到|AB|2＝()2＝|OA|2＋|OB|2等价于圆心O到直线l的距离等于，即有＝，k＝±1．因此，“k＝1”是“|AB|＝”的充分不必要条件．

13．设集合A＝{(x，y)|(x－4)2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|(x－t)2＋(y－at＋2)2＝1}．若命题“∃t∈R，A∩B≠∅”是真命题，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，0)∪

B．

C．

D．(－∞，0]∪

C　解析：由命题“∃t∈R，A∩B≠∅”是真命题，可知存在实数t，使得圆(x－4)2＋y2＝1与圆(x－t)2＋(y－at＋2)2＝1有公共点，则存在实数t，使得≤2，即关于t的不等式(a2＋1)t2－4(a＋2)t＋16≤0有解，则16(a＋2)2－4×(a2＋1)×16≥0，解得0≤a≤．故选C．

14．(多选题)(2022·德州期末)已知点A是直线l：x＋y－＝0上一定点，点P，Q是圆x2＋y2＝1上的动点．若∠PAQ的最大值为90°，则点A的坐标可以是(　　)

A．(0，)   B．(1，－1)

C．(，0)   D．(－1,1)

AC　解析：如下图所示：

原点到直线l的距离为d＝＝1，则直线l与圆x2＋y2＝1相切．

由图可知，当AP，AQ均为圆x2＋y2＝1的切线时，∠PAQ取得最大值，连接OP，OQ，由于∠PAQ的最大值为90°，且∠APO＝∠AQO＝90°，|OP|＝|OQ|＝1，

则四边形APOQ为正方形，所以|OA|＝|OP|＝．

由两点间的距离公式得设A(t，－t)，|OA|＝＝，

整理得2t2－2t＝0，解得t＝0或，因此，点A的坐标为(0，)或(，0)．故选AC．

15．在①被x轴、y轴所截得的弦长均为4，且圆C的圆心位于第四象限，②与直线4x－3y＋18＝0相切于点B(－3,2)，③过点B(－2，－5)，且圆心在直线x＋y＝0上这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答．

问题：已知圆C过点A(－2,3)，________，求圆C的方程．

解：若选①，

设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(a＞0，b＜0)，

由题意可知

解得因此，圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝25．若选②，

由题意知圆心必在过切点B(－3,2)且垂直于切线4x－3y＋18＝0的直线上，

可求得此直线方程为3x＋4y＋1＝0．

直线AB的斜率kAB＝＝1，线段AB的中点坐标为，

则线段AB的垂直平分线方程为y－＝－，即y＝－x．可知圆心必在线段AB的垂直平分线y＝－x上，

联立可求得圆心C(1，－1)，则r＝|BC|＝＝5，

因此，圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝25．

若选③，

由题意知圆心必在AB的垂直平分线上，所以AB的垂直平分线方程为y＝－1．

将直线y＋1＝0与直线x＋y＝0联立，可得圆心坐标C(1，－1)．

因为r＝|BC|＝＝5，因此，圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝25．

16．已知直线l：4x＋3y＋10＝0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方．

(1)求圆C的方程；

(2)过点M(1,0)的直线与圆C交于A，B两点(A在x轴上方)，在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

解：(1)设圆心C(a,0)，

则＝2，解得a＝0或a＝－5(舍)．

所以圆C：x2＋y2＝4．

(2)如图，当直线AB⊥x轴时，x轴平分∠ANB．

当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，N(t,0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由得(k2＋1)x2－2k2x＋k2－4＝0，

Δ＝(－2k2)2－4(k2＋1)(k2－4)＝12k2＋16>0，

所以x1＋x2＝，x1x2＝．

若x轴平分∠ANB，则kAN＝－kBN⇒＋＝0⇒＋＝0

⇒2x1x2－(t＋1)(x1＋x2)＋2t＝0⇒－＋2t＝0⇒t＝4．

所以当点N为(4,0)时，能使得x轴平分∠ANB．