高考数学一轮复习课时质量评价47椭圆含答案

课时质量评价(四十七)

A组　全考点巩固练

1．古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2均在x轴上，椭圆C的面积为2π，且短轴长为2，则椭圆C的标准方程为(　　)

A．＋y2＝1   B．＋＝1

C．＋＝1   D．＋＝1

B　解析：由题意可得解得

因为椭圆C的焦点在x轴上，所以椭圆C的标准方程为＋＝1．

2．已知椭圆mx2＋4y2＝1的离心率为，则实数m等于(　　)

A．2   B．2或 

C．2或6   D．2或8

D　解析：显然m＞0且m≠4，当0＜m＜4时，椭圆长轴在x轴上，则＝，解得m＝2；当m＞4时，椭圆长轴在y轴上，则＝，解得m＝8．

3．已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆C上．若|PF1|＝6，则∠PF1F2的余弦值为(　　)

A．   B． 

C．   D．

A　解析：因为＋＝1，|PF1|＝6，|PF1|＋|PF2|＝2a＝16，所以|PF2|＝10．

而|F1F2|＝2＝10，

故cos∠PF1F2＝＝＝．

4．已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9．动圆M在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程是(　　)

A．－＝1   B．＋＝1

C．－＝1   D．＋＝1

D　解析：设动圆的圆心M(x，y)，半径为r．因为圆M与圆C1：(x－4)2＋y2＝169内切，与圆C2：(x＋4)2＋y2＝9外切，所以|MC1|＝13－r，|MC2|＝3＋r．

|MC1|＋|MC2|＝16>|C1C2|＝8，由椭圆的定义，知点M的轨迹是以C1，C2为焦点，长轴长为16的椭圆，则a＝8，c＝4，所以b2＝82－42＝48，

所以动圆的圆心M的轨迹方程为＋＝1．

5．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点．若△AF1B的周长为4，则椭圆C的方程为(　　)

A．＋＝1   B．＋y2＝1

C．＋＝1   D．＋＝1

A　解析：若△AF1B的周长为4，由椭圆的定义可知，4a＝4，所以a＝．因为e＝＝，所以c＝1，所以b2＝2，所以椭圆C的方程为＋＝1．故选A．

6．(多选题)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，O为坐标原点，直线y＝x－过F2交C于A，B两点．若△AF1B的周长为8，则(　　)

A．椭圆焦距为

B．椭圆方程为＋y2＝1

C．弦长＝

D．S△OAB＝

BC　解析：因为△AF1B的周长为8，所以4a＝8，得a＝2．

因为y＝x－过右焦点F2，所以c＝，所以b2＝a2－c2＝4－3＝1，所以椭圆焦距为2，故A错误；所以椭圆方程为＋y2＝1，故B正确；

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由得5x2－8x＋8＝0，Δ＝(－8)2－4×5×8>0，由根与系数的关系得x1＋x2＝，x1x2＝，

＝

＝＝

＝＝，故C正确；

原点到直线y＝x－的距离为d＝＝，

所以S△OAB＝d＝××＝，故D错误．

7．已知椭圆E的中心为原点，焦点在x轴上，椭圆上一点到焦点的最小距离为2－2．又离心率为，则椭圆E的方程为________．

＋＝1　解析：因为椭圆上一点到焦点的最小距离为a－c，

所以a－c＝2－2，离心率e＝，

所以＝，解得a＝2，c＝2，则b2＝a2－c2＝4，

所以椭圆E的方程为＋＝1．

8．已知点P(0,1)，椭圆＋y2＝m(m>1)上两点A，B满足＝2，则当m＝______时，点B横坐标的绝对值最大．

5　解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(－x1,1－y1)，＝(x2，y2－1)．由＝2，

得即

因为点A，B在椭圆上，

所以解得y2＝m＋，

所以x＝m－(3－2y2)2＝－m2＋m－＝－(m－5)2＋4≤4，所以当m＝5时，点B横坐标的绝对值最大，最大值为2．

9．已知两定点A(－1,0)和B(1,0)，动点P(x，y)在直线l：y＝x＋3上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，求椭圆C的离心率的最大值．

解：不妨设椭圆方程为＋＝1(a>1)，

与直线l的方程联立消去y得(2a2－1)x2＋6a2x＋10a2－a4＝0．

由题意易知Δ＝36a4－4(2a2－1)(10a2－a4)≥0，解得a≥，

所以e＝＝≤，所以e的最大值为．

B组　新高考培优练

10．(2021·新高考八省联考)椭圆＋＝1(m>0)的焦点为F1，F2，上顶点为A．若∠F1AF2＝，则m＝(　　)

A．1　　　B．　　　C．　　　D．2

C　解析：在椭圆＋＝1(m>0)中，

a＝，b＝m，c＝＝1，

如下图所示：

因为椭圆＋＝1(m>0)的上顶点为点A，焦点为F1，F2，所以|AF1|＝|AF2|＝a．

因为∠F1AF2＝，所以△F1AF2为等边三角形，

则|AF1|＝|F1F2|，即＝a＝2c＝2，

因此，m＝．故选C．

11．已知A1，A2分别为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点，P是椭圆C上异于A1，A2的任意一点．若直线PA1，PA2的斜率的乘积为－，则椭圆C的离心率为(　　)

A．   B． 

C．   D．

D　解析：设P(x0，y0)，则×＝－，化简得＋＝1，

则＝，e＝＝＝．故选D．

12．(2021·广东汕头模拟)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，直线y＝kx与该椭圆交于A，B两点，分别过A，B向x轴作垂线，若垂足恰为椭圆的两个焦点，则k等于(　　)

A．±   B．± 

C．±   D．±2

A　解析：联立⇒(b2＋a2k2)x2＝a2b2，则x＝±，

由题意知＝c，①

 因为e＝＝，所以a＝2c，b＝＝c，

代入①可得＝c2⇒k＝±．

13．如图，用与底面成45°角的平面截圆柱得一截口曲线，即椭圆，则该椭圆的离心率为(　　)

A．   B． 

C．   D．

A　解析：设圆柱的底面圆的直径为d，则椭圆的短轴长为d．

因为截面与底面成45°角，所以椭圆的长轴长为d，

所以椭圆的半焦距为＝，则e＝＝＝．

14．(多选题)设椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的动点，则下列结论正确的是(　　)

A．|PF1|＋|PF2|＝2

B．离心率e＝

C．△PF1F2面积的最大值为

D．以线段F1F2为直径的圆与直线x＋y－＝0相切

AD　解析：由椭圆C：＋y2＝1可知，a＝，b＝1，c＝1，所以左、右焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，根据椭圆的定义|PF1|＋|PF2|＝2a＝2，故A正确；离心率e＝＝，故B错误；所以△PF1F2面积的最大值为×2c×b＝bc＝1，故C错误；由原点(0,0)到直线x＋y－＝0的距离d＝＝1＝c，所以以线段F1F2为直径的圆与直线x＋y－＝0相切，故D正确．故选AD．

15．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(1,0)，其关于直线y＝bx的对称点Q在椭圆上，则离心率e＝________，S△FOQ＝________．

　　解析：设点Q(x，y)，则由点Q与椭圆的右焦点F(1,0)关于直线y＝bx对称得解得代入椭圆C的方程得＋＝1，结合a2＝b2＋1，解得则椭圆的离心率e＝＝，S△FOQ＝|OF|·＝×1×＝．

16．过椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点作x轴的垂线，交C于A，B两点，直线l过C的左焦点和上顶点．若以AB为直径的圆与l存在公共点，则C的离心率的取值范围是________．

0＜e≤　解析：由题设知，直线l：＋＝1，即bx－cy＋bc＝0，以AB为直径的圆的圆心为(c,0)，根据题意，将x＝c代入椭圆C的方程，得y＝±，即圆的半径r＝．又圆与直线l有公共点，所以≤，化简得2c≤b，平方整理得a2≥5c2，所以e＝≤．又0＜e＜1，所以0＜e≤．

17．(2022·江苏质检)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，焦距为2．

(1)求C的方程；

(2)若斜率为－的直线l与椭圆C交于P，Q两点(点P，Q均在第一象限)，O为坐标原点．证明：直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列．

(1)解：由题意可得解得

又b2＝a2－c2＝1，所以椭圆C的方程为＋y2＝1．

(2)证明：设直线l的方程为y＝－x＋m，

P(x1，y1)，Q(x2，y2)，

由消去y，得x2－2mx＋2(m2－1)＝0，

则Δ＝4m2－8(m2－1)＝4(2－m2)>0，且x1＋x2＝2m>0，x1x2＝2(m2－1)>0，

故y1y2＝

＝x1x2－m(x1＋x2)＋m2＝，

kOPkOQ＝＝＝＝k，

即直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列．