高考数学一轮复习课时质量评价52定点、定值、探索性问题含答案

这是一份高考数学一轮复习课时质量评价52定点、定值、探索性问题含答案，共9页。试卷主要包含了故选D，已知直线l过抛物线C，已知双曲线C，已知椭圆E等内容，欢迎下载使用。

1．椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率eq \f(\r(3),2)，则双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1的离心率为( )
A．2 B．eq \r(3)
C．eq \r(2) D．eq \f(\r(5),2)
D 解析：椭圆离心率e1＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),2)，所以eeq \\al(2,1)＝1－eq \f(b2,a2)＝eq \f(3,4)，即eq \f(b2,a2)＝eq \f(1,4)，
所以双曲线的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1＋\f(b2,a2))＝eq \f(\r(5),2)．故选D．
2．已知AB是过抛物线y2＝4x焦点F的弦，O是原点，则eq \(OA,\s\up7(→))·eq \(OB,\s\up7(→))＝( )
A．－2 B．－4
C．3 D．－3
D 解析：设Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y\\al(2,1),4)，y1))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y\\al(2,2),4)，y2))，故eq \(OA,\s\up7(→))·eq \(OB,\s\up7(→))＝eq \f(y\\al(2,1)y\\al(2,2),16)＋y1y2．
易知直线斜率不为0，设AB：x＝my＋1．
联立方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝my＋1，,y2＝4x，))得到y2－4my－4＝0，故y1y2＝－4，故eq \(OA,\s\up7(→))·eq \(OB,\s\up7(→))＝eq \f(y\\al(2,1)y\\al(2,2),16)＋y1y2＝－3．故选D．
3．直线l与抛物线C：y2＝2x交于A，B两点，O为坐标原点，若直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，且满足k1k2＝eq \f(2,3)，则直线l过定点( )
A．(－3,0) B．(0，－3)
C．(3,0) D．(0,3)
A 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为k1k2＝eq \f(2,3)，所以eq \f(y1,x1)·eq \f(y2,x2)＝eq \f(2,3)．又yeq \\al(2,1)＝2x1，yeq \\al(2,2)＝2x2，所以y1y2＝6．将直线l：x＝my＋b代入抛物线C：y2＝2x得y2－2my－2b＝0，所以y1y2＝－2b＝6，得b＝－3，即直线l的方程为x＝my－3，所以直线l过定点(－3,0)．
4．已知直线l过抛物线C：x2＝6y的焦点F，交C于A，B两点，交C的准线于点P，若eq \(AF,\s\up7(→))＝eq \(FP,\s\up7(→))，则|AB|＝( )
A．8 B．9
C．11 D．16
A 解析：过A作准线的垂线，垂足为H(图略)，则|AF|＝|AH|．又eq \(AF,\s\up7(→))＝eq \(FP,\s\up7(→))，所以|AH|＝eq \f(1,2)|AP|，所以kAP＝eq \f(\r(3),3)．又f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(3,2)))，所以AB的方程为y＝eq \f(\r(3),3)x＋eq \f(3,2)．由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝\f(\r(3),3)x＋\f(3,2)，,x2＝6y，))得y2－5y＋eq \f(9,4)＝0，所以yA＋yB＝5，所以|AB|＝yA＋yB＋p＝5＋3＝8．故选A．
5．已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右顶点为P，任意一条平行于x轴的直线交C于A，B两点，总有PA⊥PB，则双曲线C的离心率为( )
A．eq \r(2) B．eq \r(3)
C．eq \f(\r(6),2) D．eq \f(2\r(3),3)
A 解析：设A(x0，y0)，B(－x0，y0)，则yeq \\al(2,0)＝b2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x\\al(2,0),a2)－1))．又P(a,0)，eq \(PA,\s\up7(→))＝(x0－a，y0)，eq \(PB,\s\up7(→))＝(－x0－a，y0)．由已知PA⊥PB，则eq \(PA,\s\up7(→))·eq \(PB,\s\up7(→))＝－xeq \\al(2,0)＋a2＋yeq \\al(2,0)＝0，即(a2－b2)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x\\al(2,0),a2)－1))＝0，对于x0≥a或x0≤－a恒成立，故a2＝b2，即a＝b，所以e＝eq \r(1＋\f(b2,a2))＝eq \r(2)．故选A．
6．(多选题)(2022·青岛调研)在平面直角坐标系xOy中，动点P与两个定点F1(－eq \r(3)，0)和F2(eq \r(3)，0)连线的斜率之积等于eq \f(1,3)，记点P的轨迹为曲线E，直线l：y＝k(x－2)与E交于A，B两点，则下列结论中正确的为( )
A．曲线E的方程为eq \f(x2,3)－y2＝1(x≠±eq \r(3))
B．曲线E的离心率为eq \r(3)
C．曲线E的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝1相切
D．满足|AB|＝2eq \r(3)的直线l仅有1条
AC 解析：设点P(x，y)，由已知得eq \f(y,x＋\r(3))·eq \f(y,x－\r(3))＝eq \f(1,3)，整理得eq \f(x2,3)－y2＝1，所以点P的轨迹即曲线E的方程为eq \f(x2,3)－y2＝1(x≠±eq \r(3))，故A正确；又离心率e＝eq \f(2,\r(3))＝eq \f(2\r(3),3)，故B错误；圆(x－2)2＋y2＝1的圆心(2,0)到曲线E的渐近线y＝±eq \f(\r(3),3)x的距离为d＝eq \f(2,\r(12＋(±\r(3))2))＝1，又圆(x－2)2＋y2＝1的半径为1，故C正确；因为(2,0)为双曲线eq \f(x2,3)－y2＝1的右焦点，且x＝2时，y＝±eq \f(\r(3),3)，所以过右焦点的双曲线最短的弦(通径)为eq \f(2\r(3),3)，又两顶点间距离为2eq \r(3)，所以满足|AB|＝2eq \r(3)的直线有3条，故D错误．故选AC．
7．已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右顶点分别为A，B，点P是双曲线上一点．若△PAB为等腰三角形，∠PAB＝120°，则双曲线的离心率为________．
eq \r(2) 解析：如图所示，过点P作PD⊥x轴，垂足为D．
因为△PAB为等腰三角形，所以|PA|＝|AB|＝2a，
又因为∠PAB＝120°，所以∠PAD＝60°．
|PD|＝|PA|·sin 60°＝eq \r(3)a，|AD|＝|PA|·cs 60°＝a，故P(－2a，eq \r(3)a)．
因为点P(－2a，eq \r(3)a)在双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1上，
所以eq \f(4a2,a2)－eq \f(3a2,b2)＝1，即eq \f(a2,b2)＝1．
e＝eq \r(\f(c2,a2))＝eq \r(\f(a2＋b2,a2))＝eq \r(1＋\f(b2,a2))＝eq \r(2)．
8．已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率e＝2，过双曲线上一点M作直线MA，MB交双曲线于A，B两点，且斜率分别为k1，k2．若直线AB过原点，则k1·k2的值为________．
3 解析：由题意知，e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1＋\f(b2,a2))＝2⇒b2＝3a2，则双曲线方程可化为3x2－y2＝3a2．
设A(m，n)，M(x，y)(x≠±m)，则B(－m，－n)，k1·k2＝eq \f(y－n,x－m)·eq \f(y＋n,x＋m)＝eq \f(y2－n2,x2－m2)＝eq \f(3x2－3a2－3m2＋3a2,x2－m2)＝3．
9．(2021·河北唐山质检)已知椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq \f(\r(6),3)，直线l：x＝ty＋1交E于A，B两点．当t＝0时，|AB|＝eq \f(2\r(6),3)．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设A在直线x＝3上的射影为D，证明：直线BD过定点，并求定点坐标．
(1)解：由题意得e2＝eq \f(c2,a2)＝eq \f(a2－b2,a2)＝eq \f(2,3)，整理得a2＝3b2，
由t＝0时，|AB|＝eq \f(2\r(6),3)，得eq \f(1,a2)＋eq \f(2,3b2)＝1，因此a＝eq \r(3)，b＝1．故椭圆E的方程是eq \f(x2,3)＋y2＝1．
(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则D(3，y1)，将x＝ty＋1代入eq \f(x2,3)＋y2＝1得(t2＋3)y2＋2ty－2＝0，
y1＋y2＝－eq \f(2t,t2＋3)，y1·y2＝－eq \f(2,t2＋3)，从而ty1·y2＝y1＋y2．①
直线BD：y＝eq \f(y2－y1,x2－3)(x－3)＋y1，设直线BD与x轴的交点为(x0,0)，
则eq \f(y2－y1,x2－3)(x0－3)＋y1＝0，所以x0＝eq \f(y1(3－x2),y2－y1)＋3＝eq \f(y1(2－ty2),y2－y1)＋3＝eq \f(2y1－ty1y2,y2－y1)＋3，
将①式代入上式可得x0＝2，故直线BD过定点(2,0)．
B组 新高考培优练
10．已知椭圆和双曲线有共同的焦点F1，F2，P是它们的一个交点，且∠F1PF2＝eq \f(2π,3)，记椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则eq \f(3,e\\al(2,1))＋eq \f(1,e\\al(2,2))＝( )
A．4 B．2eq \r(3)
C．2 D．3
A 解析：设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，F1，F2分别为左、右焦点，不妨设点P在第一象限，根据椭圆和双曲线的定义，得|PF1|＋|PF2|＝2a1，|PF1|－|PF2|＝2a2，所以|PF1|＝a1＋a2，|PF2|＝a1－a2．又|F1F2|＝2c，∠F1PF2＝eq \f(2π,3)，所以在△F1PF2中，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cs∠F1PF2，即4c2＝(a1＋a2)2＋(a1－a2)2－2(a1＋a2)(a1－a2)cs eq \f(2π,3)，化简得3aeq \\al(2,1)＋aeq \\al(2,2)＝4c2，两边同除以c2，得eq \f(3,e\\al(2,1))＋eq \f(1,e\\al(2,2))＝4．故选A．
11．已知直线x－y＋1＝0与双曲线eq \f(x2,a)＋eq \f(y2,b)＝1(ab＜0)相交于P，Q两点，且OP⊥OQ(O为坐标原点)，则eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝( )
A．1 B．eq \r(2)
C．2 D．eq \r(5)
C 解析：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)．联立方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＋1＝0，,\f(x2,a)＋\f(y2,b)＝1，))
整理得(a＋b)x2＋2ax＋a－ab＝0，所以x1＋x2＝－eq \f(2a,a＋b)，x1x2＝eq \f(a－ab,a＋b)，
y1y2＝(x1＋1)(x2＋1)＝x1x2＋(x1＋x2)＋1＝eq \f(b－ab,a＋b)．
由OP⊥OQ，得eq \(OP,\s\up7(→))·eq \(OQ,\s\up7(→))＝0，得x1x2＋y1y2＝0，
所以eq \f(a－ab,a＋b)＋eq \f(b－ab,a＋b)＝0，即eq \f(2ab,a＋b)＝1，则eq \f(ab,a＋b)＝eq \f(1,2)，所以eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝eq \f(b＋a,ab)＝2．故选C．
12．已知F为椭圆C：eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1的左焦点，O为坐标原点，点P在椭圆C上且位于x轴上方，点A(－3,4)．若直线OA平分线段PF，则∠PAF的大小为( )
A．60° B．90°
C．120° D．无法确定
B 解析：设椭圆的上顶点为B(0,4)，因为A(－3,4)，F(－3,0)．故AF⊥x轴，AB⊥y轴．
则四边形ABOF为矩形，所以当P在点B处时满足直线OA平分线段PF．
故∠PAF＝∠BAF＝90°．
13．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A，B分别为椭圆的上、下顶点，直线AF1与椭圆C的另一个交点为E．若∠F1AF2＝60°，则直线BE的斜率为________．
－eq \f(\r(3),4) 解析：由∠F1AF2＝60°，得a＝2c，b＝eq \r(a2－c2)＝eq \r(3)c．设E(m，n)，则有eq \f(m2,a2)＋eq \f(n2,b2)＝1，
则eq \f(n2－b2,m2)＝－eq \f(b2,a2)．因为A(0，b)，B(0，－b)，
所以kEA·kEB＝eq \f(n－b,m)·eq \f(n＋b,m)＝eq \f(n2－b2,m2)＝－eq \f(b2,a2)＝－eq \f(3,4)．又kEA＝kAF1＝eq \f(b,c)＝eq \r(3)，所以kEB＝－eq \f(\r(3),4)．
14．直线l与抛物线y2＝4x交于不同两点A，B，其中A(x1，y1)，B(x2，y2)．若y1y2＝－36，则直线l恒过点的坐标是________．
(9,0) 解析：设直线l的方程为x＝my＋n，则由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝my＋n，,y2＝4x，))得y2－4my－4n＝0，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y1＋y2＝4m，,y1y2＝－4n.))又y1y2＝－36，所以－4n＝－36，所以n＝9，
所以直线l的方程为x＝my＋9，恒过点(9,0)．
15．已知椭圆C的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1，A是椭圆上的一点，且A在第一象限内，过A且斜率等于－1的直线与椭圆C交于另一点B，点A关于原点的对称点为D．
(1)证明：直线BD的斜率为定值；
(2)求△ABD面积的最大值．
(1)证明：设D(x1，y1)，B(x2，y2)，
则A(－x1，－y1)，直线BD的斜率k＝eq \f(y2－y1,x2－x1)，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x\\al(2,1),4)＋\f(y\\al(2,1),2)＝1，,\f(x\\al(2,2),4)＋\f(y\\al(2,2),2)＝1，))两式相减得eq \f(y2－y1,x2－x1)＝－eq \f(1,2)×eq \f(x1＋x2,y1＋y2)．
因为kAB＝eq \f(y1＋y2,x1＋x2)＝－1，
所以k＝eq \f(y2－y1,x2－x1)＝eq \f(1,2)，
故直线BD的斜率为定值eq \f(1,2)．
(2)解：连接OB(图略)，因为A，D关于原点对称，
所以S△ABD＝2S△OBD，由(1)可知BD的斜率k＝eq \f(1,2)，设BD的方程为y＝eq \f(1,2)x＋t．因为D在第三象限，
所以－eq \r(2)＜t＜1且t≠0，
O到BD的距离d＝eq \f(|t|,\r(1＋\f(1,4)))＝eq \f(2|t|,\r(5))．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝\f(1,2)x＋t，,\f(x2,4)＋\f(y2,2)＝1，))整理得3x2＋4tx＋4t2－8＝0，
Δ＝(4t)2－4×3×(4t2－8)>0(－eq \r(2)所以x1＋x2＝－eq \f(4t,3)，x1x2＝eq \f(4(t2－2),3)，
所以S△ABD＝2S△OBD＝2×eq \f(1,2)×|BD|×d
＝eq \f(\r(5),2)eq \r((x1＋x2)2－4x1x2)×eq \f(2|t|,\r(5))
＝|t|×eq \r((x1＋x2)2－4x1x2)
＝|t|·eq \f(\r(96－32t2),3)＝eq \f(4\r(2),3)·eq \r(t2(3－t2))≤2eq \r(2)．
所以当且仅当t＝eq \f(\r(6),2)时，S△ABD取得最大值2eq \r(2)．
16．已知曲线C1：x2＋y2＝r2(r＞0)和C2：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)都过点P(0，－2)，且曲线C2的离心率为eq \f(\r(3),2)．
(1)求曲线C1和曲线C2的方程；
(2)设点A，B分别在曲线C1，C2上，PA，PB的斜率分别为k1，k2，当k1＝4k2＞0时，直线AB是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．
解：(1)曲线C1：x2＋y2＝r2(r＞0)和C2：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)都过点P(0，－2)，
所以r＝2，b＝2，
所以曲线C1的方程为x2＋y2＝4．
因为曲线C2的离心率为eq \f(\r(3),2)，
所以e2＝eq \f(c2,a2)＝1－eq \f(b2,a2)＝eq \f(3,4)，
所以a＝4，
所以曲线C2的方程eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,4)＝1．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线PA的方程为y＝k1x－2，代入到x2＋y2＝4中消去y，可得(1＋keq \\al(2,1))x2－4k1x＝0，解得x＝0或x1＝eq \f(4k1,1＋k\\al(2,1))，
所以y1＝eq \f(2k\\al(2,1)－2,1＋k\\al(2,1))．
直线PB的方程为y＝k2x－2，代入方程eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,4)＝1，
消去y，可得(1＋4keq \\al(2,2))x2－16k2x＝0，解得x＝0或x2＝eq \f(16k2,1＋4k\\al(2,2))，所以y2＝eq \f(8k\\al(2,2)－2,1＋4k\\al(2,2))．
因为k1＝4k2，
所以直线AB的斜率k＝eq \f(y2－y1,x2－x1)＝－eq \f(1,k1)，
故直线AB的方程为y－eq \f(2k\\al(2,1)－2,1＋k\\al(2,1))＝－eq \f(1,k1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(4k1,1＋k\\al(2,1))))，
即y＝－eq \f(1,k1)x＋2，所以直线AB恒过定点(0,2)．