高考数学一轮复习课时质量评价54用样本估计总体含答案

这是一份高考数学一轮复习课时质量评价54用样本估计总体含答案，共9页。

1．某市3月1日至3月10日的最低气温(单位：℃)的情况绘制的折线统计图如图所示．由图可知，这10天最低气温的第80百分位数是( )
A．－2 B．0
C．1 D．2
D 解析：由折线图可知，这10天的最低气温按照从小到大排列为－3，－2，－1，－1,0,0,1,2,2,2．因为共有10个数据，所以10×80%＝8，是整数，则这10天最低气温的第80百分位数是eq \f(2＋2,2)＝2．
2．PM2.5是衡量空气质量的重要指标，我国采用世卫组织的最宽值限定值，即PM2.5日均值在35 μg/m3以下空气质量为一级，在35～75 μg/m3空气质量为二级，超过75 μg/m3为超标．如图是某地12月1日至10日的PM2.5(单位：μg/m3)的日均值，则下列说法正确的是( )
A．这10天中有2天空气质量为一级
B．从6日到9日PM2.5日均值逐渐降低
C．这10天中PM2.5日均值的中位数是55
D．这10天中PM2.5日均值的平均数是45
B 解析：对于A选项，由图可知，这10天中有3天空气质量为一级，A选项错误．
对于B选项，由图可知，从6日到9日PM2.5日均值逐渐降低，B选项正确．
对于C选项，这10天中PM2.5日均值的中位数是eq \f(41＋45,2)＝43，C选项错误．
对于D选项，这10天中PM2.5日均值的平均数是eq \f(30＋41＋32＋34＋40＋80＋78＋60＋45＋48,10)＝48.8，D选项错误．
3．已知一组数据x1，x2，…，xn的平均数为a，标准差为s．若2x1－1,2x2－1，…，2xn－1的平均数与方差相等，则s2－a2的最大值为( )
A．－1 B．－eq \f(1,2)
C．－eq \f(1,4) D．－eq \f(3,16)
C 解析：由已知条件可得，2a－1＝4s2，整理可得s2＝eq \f(1,2)a－eq \f(1,4)，又s2≥0，所以eq \f(1,2)a－eq \f(1,4)≥0，a≥eq \f(1,2)，
所以s2－a2＝－a2＋eq \f(1,2)a－eq \f(1,4)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(1,4)))eq \s\UP12(2)－eq \f(3,16)，图象开口向下，对称轴为a＝eq \f(1,4)，
所以函数在eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))上单调递减，故当a＝eq \f(1,2)时，s2－a2取得最大值为－eq \f(1,4)．
4．为了解学生的身体状况，某校随机抽取了一批学生测量体重．经统计，这批学生的体重数据(单位：千克)全部介于45至70之间．将数据分成5组，并得到如图所示的频率分布直方图．图中a的值为( )
A．0.04 B．0.2
C．0.03 D．0.05
A 解：根据频率分布直方图可得，(0.01＋0.02＋a＋0.06＋0.07)×5＝1，所以a＝0.04．故选A．
5．甲组数据为5,12,16,21,25,37，乙组数据为1,6,14,18,38,39，则甲、乙的平均数、极差及中位数相同的是( )
A．极差 B．平均数
C．中位数 D．都不相同
B 解析：甲的极差为37－5＝32，乙的极差为39－1＝38，甲的中位数为eq \f(16＋21,2)＝18.5，乙的中位数为eq \f(14＋18,2)＝16，eq \x\t(x)甲＝eq \f(5＋12＋16＋21＋25＋37,6)＝eq \f(58,3)，eq \x\t(x)乙＝eq \f(1＋6＋14＋18＋38＋39,6)＝eq \f(58,3)，所以甲、乙的平均数相同．故选B．
6．若样本数据x1，x2，…，x10标准差为8，则数据2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的标准差为( )
A．8 B．64
C．32 D．16
D 解析：设样本数据x1，x2，…，x10标准差为eq \r(s2)，则eq \r(s2)＝8，即方差s2＝64，
数据2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的方差为s2＝22s2＝22×64＝256，
所以数据2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的标准差为eq \r(256)＝16．
7．某校女子篮球队7名运动员身高(单位：cm)的数据分别为171,172,17x,174,175,180,181．已知记录的平均身高为175 cm，但记录中有一名运动员身高的末位数字不清晰．如果把其末位数字记为x，那么x的值为________．
2 解析：170＋eq \f(1,7)×(1＋2＋x＋4＋5＋10＋11)＝175，eq \f(1,7)×(33＋x)＝5，即33＋x＝35，解得x＝2．
8．一组样本数据的频率分布直方图如图所示，估计此样本数据的第50百分位数为________．
eq \f(100,9) 解析：样本数据低于10的比例为(0.08＋0.02)×4＝0.40，样本数据低于14的比例为0.4＋0.09×4＝0.40＋0.36＝0.76，所以此样本数据的第50百分位数在[10,14]内，估计此样本数据的第50百分位数为10＋eq \f(0.1,0.36)×4＝eq \f(100,9)．
9．某游乐园为了吸引游客，推出了A，B两款不同的年票，游乐园每次进园门票原价为100元．A年票前12次进园门票每次费用为原价，从第13次起，每次费用为原价的一半，A年票不需交开卡工本费．B年票每次进园门票为原价的9.5折，B年票需交开卡工本费a元(a∈N)．已知某市民每年至少去该游乐园11次，最多不超过14次．该市民多年来年进园记录如表：
(1)估计该市民年进园次数的众数；
(2)若该市民使用A年票，求该市民在进园门票上年花费的平均数；
(3)从该市民在进园门票上年花费的平均数来看，若选择A年票比选择B年票更优惠，求a的最小值．
解：(1)由频率分布表知，该市民年进园次数的频率最大是0.40，对应的次数是12，所以估计该市民进园次数的众数为12．
(2)该市民使用A年票时，在进园门票上年花费的平均数为eq \x\t(x)A＝11×100×0.15＋12×100×0.40＋(12×100＋50)×0.10＋(12×100＋100)×0.35＝1 225．
(3)该市民使用B年票时，在进园门票上年花费的平均数为eq \x\t(x)B＝(11×0.15＋12×0.40＋13×0.10＋14×0.35)×95＋a＝1 201.75＋a，
因为eq \x\t(x)A23.25．
又a∈N，所以a的最小值为24．
若选择A年票比选择B年票更优惠，则a的最小值是24．
10．(2021·运城期末)某种产品的质量以其质量指标值m衡量，并按照质量指标值m划分等级如表：
现在从某企业生产的这种产品中随机抽取了200件作为样本，检验其质量指标值m，得到的频率分布直方图如图所示(每组只含最小值，不含最大值)．
(1)求第75百分位数(精确到0.1)．
(2)在样本中，按照产品等级用比例分配的分层随机抽样的方法抽取8件产品，则这8件产品中，一等品的件数是多少？
(3)将频率视为概率，已知该企业的这种产品中每件一等品的利润是10元，每件二等品和三等品的利润都是6元，试估计该企业销售600件这种产品所获利润．
解：(1)由题意可得，(0.002 5＋0.010 0＋0.020 0＋0.026 0＋0.009 0＋0.002 5＋x)×10＝1，解得x＝0.030，
所以产品质量在[65,105)的频率为0.625，产品质量在[65,115)的频率为0.885，
则第75百分位数在[105,115)内，
所以第75百分位数为105＋10×eq \f(0.75－0.625,0.885－0.625)≈109.8．
(2)由频率分布直方图以及等级划分规则可知，样本中一等品的频率为：
(0.026 0＋0.009 0＋0.002 5)×10＝0.375，
所以在样本中，一等品的件数为200×0.375＝75，
所以按照产品等级用比例分配分层随机抽样的方法抽取8件产品，则应抽取的一等品的件数为8×eq \f(75,200)＝3(件)．
(3)由(2)知，从该企业的这种产品中任取一件是一等品的概率为0.375，则是二等品或三等品的概率为0.625，
故该企业销售600件这种产品，所获利润约为600×(0.375×10＋0.625×6)＝4 500(元)．
B组 新高考培优练
11．(多选题)在某地区某传染病流行期间，为了建设指标显示疫情已受控制，以便向该地区居民显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续7天的新增病例数计算，下列各项中，一定符合上述指标的是( )
A．平均数eq \x\t(x)≤3
B．标准差s≤2
C．平均数eq \x\t(x)≤3且极差小于或等于2
D．众数等于1且极差小于或等于4
CD 解析：对于A选项，若平均数eq \x\t(x)≤3，不能保证每天新增病例数不超过5人，不符合题意；对于B选项，标准差反映的是数据的波动大小，例如当每天感染的人数均为10，标准差是0，显然不符合题意；
对于C选项，若极差等于0或1，在eq \x\t(x)≤3的条件下，显然符合指标；若极差等于2，假设最大值为6，最小值为4，则eq \x\t(x)>3，矛盾，故每天新增感染人数不超过5，符合条件，C正确；
对于D选项，若众数等于1且极差小于或等于4，则最大值不超过5，符合指标．
12．袁隆平是中国杂交水稻事业的开创者，是“当代神农”，致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，为人类运用科技手段战胜饥饿带来了绿色的希望和金色的收获．袁老的科研团队发现“野败”后，将其带回实验，在试验田中随机抽取了100株水稻统计每株水稻的稻穗数(单位：颗)得到如图所示的频率分布直方图(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)，则下列说法错误的是( )
A．a＝0.01
B．这100株水稻的稻穗数平均值在区间[280,300)中
C．这100株水稻的稻穗数的众数是250
D．这100株水稻的稻穗数的中位数在区间[240,260)中
B 解析：根据频率分布直方图知：组距为20，所以a＝eq \f(1,20)－0.0175－0.0075×2－0.005－0.0025＝0.01，故A选项正确．
这100株水稻的稻穗数平均值eq \x\t(x)＝20×(0.005×210＋0.0075×230＋0.0175×250＋0.01×270＋0.0075×290＋0.0025×310)＝256，可知这100株水稻的稻穗数平均值在区间[240,260)中，故B选项错误．
由频率分布直方图知第三个矩形最高，所以这100株水稻的稻穗数的众数是250，故C选项正确．
前两个矩形的面积是0.25<0.5，前三个矩形的面积是0.6>0.5，所以中位数在第三组数据中，即这100株水稻的稻穗数的中位数在区间[240,260)中，故D选项正确．故选B．
13．(2022·邵阳模拟)已知某旅游城市2020年前10个月的游客人数(万人)按从小到大的顺序排列如下：3,5,6,9，x，y,15,17,18,21．若该组数据的中位数为13，则该组数据的平均数为( )
A．12 B．10.7
C．13 D．15
A 解析：因为该组数据的中位数为13，
所以eq \f(x＋y,2)＝13，所以x＋y＝26，
则该组数据的平均数为
eq \f(1,10)(3＋5＋6＋9＋x＋y＋15＋17＋18＋21)＝12．
14．如图是某工厂对一批新产品长度(单位：mm)检测结果的频率分布直方图，估计这批产品的平均长度为________ mm．
22.75 解析：由图可知，平均长度为12.5×0.02×5＋17.5×0.04×5＋22.5×0.08×5＋27.5×0.03×5＋32.5×0.03×5＝22.75(mm)．
15．某校从参加高一物理期末考试的学生中随机抽出60名，将其物理成绩(均为整数)分成六组：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]，并绘制成如下的频率分布直方图．由此估计此次高一物理期末考试成绩的第75百分位数为________．
82 解析：高一物理期末考试成绩的第75百分位数，即成绩从低到高的第60×75%＝45名同学．
因为前4组的小长方形的面积和为0.01＋0.015×2＋0.03＝0.07，
样本量为60，
所以前4组的小长方形对应的学生人数为60×0.07×10＝42．
因为前5组的小矩形的面积和为0.01＋0.015×2＋0.03＋0.025＝0.095，
又因为样本量为60，
所以前5组的小矩形对应的学生人数为60×0.095×10＝57．
因为分数在[80,90)的人数为0.025×10×60＝15，
所以此次高一物理期末考试成绩的第75百分位数为80＋10×eq \f(45－42,15)＝82．
16．用分层随机抽样的方法从某校高一年级学生的数学期末成绩(满分为100分，成绩都是整数)中抽取一个样本量为100的样本，其中男生成绩数据40个，女生成绩数据60个，再将40个男生成绩样本数据分为6组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，绘制得到如图所示的频率分布直方图．
(1)估计男生成绩样本数据的第80百分位数；
(2)在区间[40,50)和[90,100]内的两组男生成绩样本数据中，随机抽取两个进行调查，求调查对象来自不同分组的概率；
(3)已知男生成绩样本数据的平均数和方差分别为71和187.75，女生成绩样本数据的平均数和方差分别为73.5和119，求总样本的平均数和方差．
解：(1)由频率分布直方图可知，在[40,80)内的成绩占比为70%，在[40,90)内的成绩占比为95%，因此第80百分位数一定位于[80,90)内．
因为80＋10×eq \f(0.8－0.7,0.95－0.7)＝84，
所以估计男生成绩样本数据的第80百分位数为84．
(2)在区间[40,50)和[90,100]内的男生成绩样本数据分别有4个和2个，则在这6个数据中随机抽取两个的样本空间Ω包含的样本点个数为n(Ω)＝15．
记事件A＝“调查对象来自不同分组”，
则事件A包含的样本点个数为n(A)＝4×2＝8，
所以P(A)＝eq \f(n(A),n(Ω))＝eq \f(8,15)．
(3)设男生成绩样本数据为x1，x2，…，x40，其平均数为eq \x\t(x)＝71，方差为seq \\al(2,x)＝187.75，
女生成绩样本数据为y1，y2，…，y60，其平均数为eq \x\t(y)＝73.5，方差为seq \\al(2,y)＝119，
总样本的平均数为eq \x\t(z)，方差为s2．
由按比例分配分层随机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系，
得eq \x\t(z)＝eq \f(40,100)eq \x\t(x)＋eq \f(60,100)eq \x\t(y)＝72.5，
s2＝eq \f(1,100){40[seq \\al(2,x)＋(eq \x\t(x)－eq \x\t(z))2]＋60[seq \\al(2,y)＋(eq \x\t(y)－eq \x\t(z))2]}
＝eq \f(1,100){40[187.75＋(71－72.5)2]＋60[119＋(73.5－72.5)2]}
＝148．
所以总样本的平均数和方差分别为72.5和148．
年进园次数
11
12
13
14
频率
0.15
0.40
0.10
0.35
质量指标值m
m＜85
85≤m＜105
m≥105
等级
三等品
二等品
一等品