高考数学一轮复习第1章第1节集合学案

这是一份高考数学一轮复习第1章第1节集合学案，共9页。学案主要包含了教材概念·结论·性质重现，基本技能·思想·活动经验等内容，欢迎下载使用。
第一节　集合考试要求：借助集合的有关概念，解决集合间的关系，并能进行集合的基本运算．一、教材概念·结论·性质重现1．元素与集合、集合与集合间的关系(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系：属于(用符号“∈”表示)和不属于(用符号“”表示)．(3)集合的表示法：列举法、描述法．(4)集合与集合间的基本关系①子集：集合A中任意一个元素都是集合B中的元素．用符号表示为A⊆B(或B⊇A)．Venn图如图所示：②真子集：集合A⊆B，但存在元素x∈B，且xA．用符号表示为：AB(或BA)．Venn图如图所示：③集合相等：集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素．用符号表示为A＝B．Venn图如图所示：2．集合的基本运算(1)交集：由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合．用符号表示为A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．Venn图如图所示：(2)并集：由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合．用符号表示为A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．Venn图如图所示：(3)补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集．用符号表示为∁UA＝{x|x∈U，且xA}．Venn图如图所示：3．集合的运算性质(1)并集的性质：A∪∅＝∅∪A＝A；A∪A＝A．(2)交集的性质：A∩∅＝∅∩A＝∅；A∩A＝A．(3)补集的性质：A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅．1．A∪B＝A⇔B⊆A．2．A∩B＝A⇔A⊆B．3．∁U(∁UA)＝A．4．常用结论(1)若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有(2n－1)个，非空真子集有(2n－2)个．(2)子集的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C．(3)∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)．二、基本技能·思想·活动经验1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．(1)集合{x2＋x,0}中的实数x可取任意值． (　×　)(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}． (　×　)(3)对任意集合A，B，一定有A∩BA∪B． (　×　)(4)若A∩B＝A∩C，则B＝C． (　×　)(5)直线y＝x＋3与y＝－2x＋6的交点组成的集合是{(1,4)}．(　√　)2．若集合A＝{x∈N|x≤}，a＝2，则下列结论中正确的是(　　)A．{a}⊆A   B．a⊆AC．{a}∈A   D．aAD　解析：因为2不是自然数，所以aA．3．已知集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|x<2}，则A∩B＝(　　)A．(－1，＋∞)  B．(－∞，2)C．(－1,2)  D．∅C　解析：在数轴上标出集合A，B，如图所示．故A∩B＝{x|－1<x<2}．4．(2021·北京卷)已知集合A＝{x|－1<x<1}，B＝{x|0≤x≤2}，则A∪B＝(　　)A．(－1,2)  B．(－1,2]  C．[0,1)  D．[0,1]B　解析：由题意可得：A∪B＝{x|－1<x≤2}，即A∪B＝(－1,2]．5．若全集U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,3,4}，N＝{2,3,4}，则集合(∁UM)∩(∁UN)等于(　　)A．{5,6}  B．{1,5,6}C．{2,5,6}  D．{1,2,5,6}A　解析：因为U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,3,4}，N＝{2,3,4}，所以∁UM ＝{2,5,6}，∁UN＝{1,5,6}，所以(∁UM)∩(∁UN)＝{5,6}．故选A．考点1　集合的概念——基础性1．(2021·南昌市高三测试)设集合{a，b，}＝{1,2,4}，则a＋b＝(　　)A．2        B．3     C．5     D．6C　解析：因为2＝，所以a＝1，b＝4，＝2或a＝4，b＝1，＝2，所以a＋b＝5．故选C．2．若集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝(　　)A．  B．  C．0  D．0或D　解析：当a＝0时，显然成立；当a≠0时，Δ＝(－3)2－8a＝0，即a＝．故选D．3．(多选题)已知集合M＝{－2,3x2＋3x－4，x2＋x－4}．若2∈M，则满足条件的实数x可能为(　　)A．2      B．－2    C．－3     D．1AC　解析：由题意得，2＝3x2＋3x－4或2＝x2＋x－4．若2＝3x2＋3x－4，即x2＋x－2＝0，解得x＝－2或x＝1．检验：当x＝－2时，x2＋x－4＝－2，与元素互异性矛盾，舍去；当x＝1时，x2＋x－4＝－2，与元素互异性矛盾，舍去．若2＝x2＋x－4，即x2＋x－6＝0，解得x＝2或x＝－3．经验证x＝2或x＝－3满足条件．故选AC．4．已知P＝{x|2<x<k，x∈N}．若集合P中恰有3个元素，则k的取值范围为________．(5,6]　解析：因为P中恰有3个元素，所以P＝{3,4,5}，故k的取值范围为(5,6]．与集合中的元素有关问题的求解思路(1)确定集合中元素的特征，即集合是数集还是点集或其他集合．(2)看清元素的限制条件．(3)根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数，但要检验参数是否满足集合元素的互异性．考点2　集合的基本关系——综合性(1)(多选题)若集合A＝{x|x≥1}，则满足B⊆A的集合B可以是(　　)A．{2,3}   B．{x|x≥2}C．{0,1,2}   D．{x|x≥0}AB　解析：因为集合A＝{x|x≥1}，且B⊆A，所以集合B可以是集合{2,3}，也可以是{x|x≥2}．故选AB．(2)已知集合A＝{x|－1<x<3}，B＝{x|－m<x<m}．若B⊆A，则m的取值范围为________．(－∞，1]　解析：当m≤0时，B＝∅，显然B⊆A．当m>0时，A＝{x|－1<x<3}，若B⊆A，在数轴上标出两集合，如图，所以所以0<m≤1．综上所述，m的取值范围为(－∞，1]．1．若在例1(2)中，条件“B⊆A”，改为“A⊆B”，结果如何？解：因为A＝{x|－1<x<3}，B＝{x|－m<x<m}，且A⊆B，所以解得m≥3．故m的取值范围为[3，＋∞)．2．若在例1(2)中，条件“B⊆A”，改成“AB”，则m的取值范围为________．[3，＋∞)　解析：因为A＝{x|－1<x<3}，B＝{x|－m<x<m}，且AB，所以或解得m≥3．故m的取值范围为[3，＋∞)．1．判断两集合关系的方法(1)列举法：先用列举法表示集合，再从元素中寻求关系．(2)化简集合法：用描述法表示的集合，若代表元素的表达式比较复杂，往往需对表达式变形、化简，探寻两个集合间的关系．2．根据两集合的关系求参数的方法已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对含参数的集合是否为空集进行分类讨论，做到不漏解．(1)若集合中的元素是一一列举的，依据集合间的关系，将其转化为解方程(组)求解，此时注意集合中元素的互异性．(2)若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式(组)求解，此时需检验端点值能否取到．1．设全集U＝R，则集合M＝{0,1,2}和N＝{x|x·(x－2)·log2x＝0}的关系可表示为(　　)A　解析：因为N＝{x|x·(x－2)·log2x＝0}＝{1,2}，M＝{0,1,2}，所以N是M的真子集．故选A．2．(1)满足{1,2}⊆A⊆{1,2,3,4,5}的集合A的个数为________．8　解析：因为集合A满足{1,2}⊆A⊆{1,2,3,4,5}，所以集合A中必有1,2，集合A还可以有元素3,4,5，满足条件的集合A有：{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}共有8个．(2)满足{1,2}A{1,2,3,4,5}的集合A 的个数为　6　．考点3　集合的运算——应用性考向1　集合的运算(1)设集合A＝{x|x≥1}，B＝{x|－1<x<2}，则A∪B＝(　　)A．{x|x>－1}  　　 B． {x|x≥1}C．{x|－1<x<1}  　　 D．{x|1≤x<2}A　解析：由交集的定义结合题意可得：A∪B＝{x|x>－1}．故选A．(2)(2021·新高考全国Ⅱ卷)设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，A＝{1,3,6}，B＝{2,3,4}，则A∩(∁UB)＝(　　)A．{3}   B．{1,6}C．{5,6}   D．{1,3} B　解析：由题设可得∁UB＝{1,5,6}，故A∩(∁UB)＝{1,6}．(3)(2020·全国Ⅲ卷)已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N*，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，则A∩B中元素的个数为(　　)A．2   B．3  C．4   D．6C　解析：由题意，A∩B中的元素满足且x，y∈N*．由x＋y＝8≥2x，得x≤4，所以满足x＋y＝8的有(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)，故A∩B中元素的个数为4．例2(1)中的条件不变，试求∁R(A∩B)．解：因为A＝{x|x≥1}，B＝{x|－1<x<2}，所以A∩B＝{x|1≤x<2}，所以∁R(A∩B)＝{x|x<1或x≥2}．求解集合运算的思路与原则(1)思路：先化简集合，再由交集、并集、补集的定义求解．(2)原则：先计算括号里面的，再按运算顺序求解．考向2　集合运算的应用(1)(2020·全国Ⅰ卷)设集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，且A∩B＝{x|－2≤x≤1}，则a＝(　　)A．－4   B．－2  C．2   D．4B　解析：集合A＝{x|x2－4≤0}＝{x|－2≤x≤2}，B＝{x|2x＋a≤0}＝．由A∩B＝{x|－2≤x≤1}，可得－a＝1，则a＝－2．(2)(2021·西安模拟)已知集合A＝{x|x2－4x＋3≤0}，B＝{x|x＞a}．若A∩B＝∅，则实数a的取值范围是(　　)A．[3，＋∞)   B．(3，＋∞)C．(－∞，1]   D．(－∞，1)A　解析：因为集合A＝{x|x2－4x＋3≤0}＝{x|1≤x≤3}，又A∩B＝∅，所以a≥3．根据集合的运算结果求参数的值或范围的方法(1)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系．若集合中的元素能一一列举，则用观察法得到不同集合中元素之间的关系；若是与不等式有关的集合，则一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到．(2)将集合之间的关系转化为解方程(组)或不等式(组)问题求解．1．设集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x＋y＝1}，则A∩B中元素的个数是(　　)A．0   B．1  C．2   D．3C　解析：如图．因为圆x2＋y2＝1和直线x＋y＝1有两个交点，所以A∩B中元素的个数为2．故选C．2．设集合A＝{－1,1,2,3,5}，B＝{2,3,4}，C＝{x|1≤x<3}，则(A∩C)∪B＝(　　)A．{2}   B．{2,3}C．{－1,2,3}   D．{1,2,3,4}D　解析：易知A∩C＝{1,2}，所以 (A∩C)∪B＝{1,2}∪{2,3,4}＝{1,2,3,4}．故选D．3．已知集合M＝{x∈N*|2x＜8}，N＝{x|x＜a}．若M∩N有且仅有1个元素，则实数a的取值范围是(　　)A．(0,1]   B．[0,1]C．(1,2]   D．[1,2]C　解析：因为M＝{x∈N*|x＜3}＝{1,2}，N＝{x|x＜a}，且M∩N只有一个元素，所以M∩N＝{1}，所以1＜a≤2，所以a的取值范围是(1,2]．