高考数学一轮复习第1章第5节一元二次不等式及其解法学案

第五节　一元二次不等式及其解法

考试要求：1.会判断一元二次方程实根的存在及实根的个数，了解函数零点与方程根的关系．

2．能借助二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集．

一、教材概念·结论·性质重现

1．一元二次不等式

一般地，把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c为常数，a≠0.

2．三个“二次”间的关系

3.(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解集

二、基本技能·思想·活动经验

1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．

(1)不等式≤0的解集为[－1,2]． (　×　)

(2)若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0.

  (　√　)

(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a<0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.               (　×　)

(4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0.                             (　×　)

2．已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x＜2}，则A∩B＝(　　)

A．[－2，－1]  B．[－1,2)

C．[－1,1]  D．[1,2)

A　解析：A＝{x|x2－2x－3≥0}＝{x|x≥3或x≤－1}，B＝{x|－2≤x≤2}，则A∩B＝{x|－2≤x≤－1}．

3．函数f(x)＝的定义域为(　　)

A．[0,3]   

B．(0,3)

C．(－∞，0]∪[3，＋∞) 

D．(－∞，0)∪(3，＋∞)

A　解析：要使函数f(x)＝有意义，则3x－x2≥0，解得0≤x≤3.

4．若函数y＝的定义域为R，则实数m的取值范围是________．

　解析：要使 y＝有意义，即 mx2－(1－m)x＋m≥0对∀x∈R恒成立，则 解得m≥.

5．若不等式ax2＋bx＋2>0的解集为，则a＋b＝________.

－14　解析：依题意－，是方程 ax2＋bx＋2＝0的两个根．

由根与系数的关系得解得a＝－12，b＝－2，所以a＋b＝－14.

考点1　一元二次不等式的解法——综合性

考向1　不含参数的一元二次不等式的解法

(1)函数y＝的定义域是_________．

[－1,7]　解析：要使函数有意义，需7＋6x－x2≥0，即x2－6x－7≤0，解得－1≤x≤7．故所求函数的定义域为[－1,7]．

(2)解不等式：0<x2－x－2≤4．

解：原不等式等价于

⇔⇔

⇔

借助于数轴，如图所示，

原不等式的解集为{x|－2≤x＜－1或2＜x≤3}．

考向2　含参数的一元二次不等式的解法

解不等式x2－(a＋1)x＋a<0．

解：原不等式可化为(x－a)(x－1)<0．

当a>1时，原不等式的解集为(1，a)；

当a＝1时，原不等式的解集为∅；

当a<1时，原不等式的解集为(a,1)．

将本例中不等式改为ax2－x＋a<0，求不等式的解集．

解：①a＝0时，原不等式即为－x<0，解得x>0．

②Δ＝1－4a2>0，即－<a<0或0<a<时，令ax2－x＋a＝0，解得x1＝，x2＝．

当－<a<0时，x1<x2，原不等式解集为{x|x<x1或x>x2}．

当0<a<时，x1>x2，原不等式解集为{x|x2<x<x1}．

③Δ＝1－4a2<0，即a>或a<－时．

当a>时，原不等式解集为∅．

当a<－时，原不等式解集为R．

④Δ＝1－4a2＝0，即a＝±时．

当a＝时，原不等式解集为∅．

当a＝－时，原不等式解集为{x|x≠－1}．

综上所述：①a<－时，原不等式解集为R，

②a＝－时，原不等式解集为{x|x≠－1}，

③－<a<0时，原不等式解集为，

④a＝0时，原不等式解集为{x|x>0}，

⑤0<a<时，原不等式解集为，

⑥a≥时，原不等式解集为∅．

提醒：含参数讨论问题最后要综上所述．

1．设x∈R，使不等式3x2＋x－2<0成立的x的取值范围为________．

　解析：3x2＋x－2<0变形为(x＋1)·(3x－2)<0，解得－1<x<，故使不等式成立的x的取值范围为．

2．(2021·江淮十校联考)已知函数f(x)＝则不等式x2·f(x)＋x－2≤0的解集是________．

{x|－1≤x≤1}　解析：原不等式等价于或

即或所以－1≤x<或≤x≤1，即解集为{x|－1≤x≤1}．

3．已知常数a∈R，解关于x的不等式12x2－ax>a2．

解：因为12x2－ax>a2，所以12x2－ax－a2>0，

即(4x＋a)(3x－a)>0．

令(4x＋a)(3x－a)＝0，解得x1＝－，x2＝．

①当a>0时，－<，

不等式的解集为．

②当a＝0时，x2>0，

不等式的解集为{x|x≠0}．

③当a<0时，－>，

不等式的解集为．

综上所述，当a>0时，不等式的解集为；当a＝0时，不等式的解集为{x|x≠0}；当a<0时，不等式的解集为．

考点2　一元二次方程与一元二次不等式——基础性

1．(2022·济南模拟)已知不等式ax2－5x＋b>0的解集为，则不等式bx2－5x＋a>0的解集为(　　)

C　解析：由题意知a>0，且，－是方程ax2－5x＋b＝0的两根，所以解得所以不等式bx2－5x＋a＝－5x2－5x＋30>0，

即x2＋x－6<0，

解得－3<x<2.故选C.

2．已知不等式ax2－bx－1>0的解集是，则不等式x2－bx－a≥0的解集是(　　)

B　解析：因为不等式ax2－bx－1>0的解集是，

所以ax2－bx－1＝0的解是x1＝－和x2＝－，且a<0，

所以

解得

则不等式x2－bx－a≥0即为x2－5x＋6≥0，解得x≤2或x≥3.所以不等式x2－bx－a≥0的解集是{x|x≤2或x≥3}．

3．若关于x的不等式ax－b<0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－3)>0的解集是(　　)

A．(－∞，－1)∪(3，＋∞) 

B．(1, 3)

C．(－1,3) 

D．(－∞， 1)∪(3，＋∞)

C　解析：由关于x的不等式ax－b<0的解集是(1，＋∞)，可知a＝b<0，所以不等式(ax＋b)(x－3)>0可化为(x＋1)(x－3)<0，解得－1<x<3.所以不等式的解集是(－1, 3)．

点3　一元二次不等式的恒成立问题——应用性

考向1　在实数集R上的恒成立问题

若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，2]  B．[－2,2]

C．(－2,2]  D．(－∞，－2)

C　解析：当a－2＝0，即a＝2时，不等式为－4<0，对一切x∈R恒成立．

当a≠2时，则

即解得－2<a<2.

综上，实数a的取值范围是(－2,2]．

考向2　在给定区间上的恒成立问题

若对任意的x∈[－1,2]，都有x2－2x＋a≤0(a为常数)，则a的取值范围是(　　)

A．(－∞，－3]   B．(－∞，0]

C．[1，＋∞)   D．(－∞，1]

A　解析：(方法一)令f(x)＝x2－2x＋a.则由题意，得

解得a≤－3.故选A.

(方法二)当x∈[－1,2]时，不等式x2－2x＋a≤0恒成立等价于a≤－x2＋2x恒成立．令f(x)＝－x2＋2x(x∈[－1,2])．而f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，当x＝－1时，f(x)min＝－3，所以a≤－3.故选A.

函数f(x)＝x2＋ax＋3.

(1)当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；

(2)当x∈[－2,2]时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围．

解：(1)当x∈R时，x2＋ax＋3－a≥0恒成立．

则Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0，

解得－6≤a≤2.

所以实数a的取值范围是[－6,2]．

(2)对于任意x∈[－2,2]，f(x)≥a恒成立，

即x2＋ax＋3－a≥0对任意x∈[－2,2]恒成立．

令g(x)＝x2＋ax＋3－a，

则有①Δ≤0或②

或③

解①得－6≤a≤2，

解②得a∈∅，

解③得－7≤a<－6.

综上可知，实数a的取值范围为[－7,2]．