高考数学一轮复习第2章第5节指数与指数函数学案

这是一份高考数学一轮复习第2章第5节指数与指数函数学案，共12页。学案主要包含了教材概念·结论·性质重现，基本技能·思想·活动经验等内容，欢迎下载使用。
第五节　指数与指数函数
考试要求：1．了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质．
2．了解指数函数的实际意义，了解指数函数的概念．
3．能画具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点．

一、教材概念·结论·性质重现
1．n次方根
(1)根式的概念
一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*．当有意义时，叫做根式，n叫做根指数，a叫做被开方数．
(2)a的n次方根的性质
①()n＝a．
②当n为奇数时，＝a．
当n为偶数时，＝|a|＝
2．有理数指数幂
幂的有关概念
正数的正分数指数幂：a＝()m＝ (a＞0，m，n∈N*，n＞1)
正数的负分数指数幂：a＝＝(a＞0，m，n∈N*，n＞1)
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义
指数幂的运算
性质,aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)；
(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)；
(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)
3．指数函数的概念
一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R．形如y＝kax(k≠1)，y＝ax＋k(k∈R且k≠0，a>0且a≠1)的函数叫做指数型函数，不是指数函数．
4．指数函数的图象与性质

00时，
01；
当x0，所以a＋a＝，故C错误；在选项D中，因为a3＋a－3＝18，且a>0，所以＝a3＋a－3＋2＝20，所以a＋＝2，故D正确．
3．已知a＞0，b＞0，化简：·＝________．
　解析：原式＝2×＝21＋3×10－1＝．
4．计算：＋(0.002)－10(－2)－1＋π0＝__________．
－　解析：原式＝＋500－＋1＝＋10－10－20＋1＝－．

1．解决这类问题要优先考虑将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算．在运算过程中要先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数，如果底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．
2．这类问题的运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数，形式要力求统一．

考点2　指数函数的图象及应用——综合性

(1) (2021·海南中学模拟)已知函数f(x)＝4＋2ax－1(a>1且a≠1)的图象恒过点P，则点P的坐标是(　　)
A．(1,6) B．(1,5)
C．(0,5) D．(5,0)
A　解析：当x＝1时，f(1)＝6，与a无关，所以函数f(x)＝4＋2ax－1的图象恒过点P(1,6)．故选A．
(2)若函数y＝|2x－1|的图象与直线y＝b有两个公共点，则b的取值范围为__________．
(0,1)　解析：作出曲线y＝|2x－1|的图象与直线y＝b如图所示．由图象可得b的取值范围是(0,1)．


在本例(2)中，若将条件中的“有两个公共点”，改为“有一个公共点”，则结果如何？
b≥1或b＝0　解析：作出曲线y＝|2x－1|的图象与直线y＝b如图所示．由图象可得b的取值范围是b≥1或b＝0．


指数函数图象的应用问题的求解方法
(1)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．
(2)根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x＝1与图象的交点进行判断．

1．(多选题)在同一坐标系中，关于函数y＝3x与y＝的图象的说法正确的是(　　)
A．关于y轴对称 B．关于x轴对称
C．都在x轴的上方 D．都过点(0,1)
ACD　解析：在同一坐标系中，作出y＝3x与y＝的图象(略)，知两函数的图象关于y轴对称，A项正确．
由指数函数的性质，知选项CD正确．
2．若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．
[－1,1]　解析：作出曲线|y|＝2x＋1的图象，如图所示，要使该曲线与直线y＝b没有公共点，只需－1≤b≤1．

3．已知实数a，b满足等式＝，下列五个关系式：
①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a＝b．
其中可能成立的有________．(填序号)
①②⑤　解析：函数y1＝与y2＝的图象如图所示．

由＝得，a＜b＜0或0＜b＜a或a＝b＝0．
故①②⑤可能成立，③④不可能成立．

考点3　指数函数的性质及应用——应用性

考向1　比较大小
(1)已知a＝2，b＝4，c＝25，则(　　)
A．b