高考数学一轮复习第2章第6节对数与对数函数学案

这是一份高考数学一轮复习第2章第6节对数与对数函数学案，共10页。学案主要包含了教材概念·结论·性质重现，基本技能·思想·活动经验等内容，欢迎下载使用。
第六节　对数与对数函数考试要求：1．理解对数的概念和运算性质，能用换底公式将一般对数转化为自然对数或常用对数．2．了解对数函数的概念及其单调性．3．知道同底的对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)与指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)互为反函数．一、教材概念·结论·性质重现1．对数的概念一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．2．对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①loga(MN)＝logaM＋logaN．②loga＝logaM－logaN．③logaMn＝nlogaM (n∈R)．(2)对数的性质①loga1＝0．②logaa＝1．③alogaN＝N．④logaaN＝N(a>0，且a≠1)．(3)对数的换底公式logab＝(a>0且a≠1，b>0，c>0且c≠1)．3．对数函数(1)一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞)． (2)对数函数的图象与性质 0<a<1a>1图象定义域(0，＋∞)值域R性质过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0减函数增函数 对数函数图象的特征(1)由图可知，0<d<c<1<b<a．(2)对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，，函数图象只在第一、第四象限，并过x轴正半轴上的(1,0)．4．反函数一般地，同底的指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换，图象关于直线y＝x对称．5．常用结论换底公式的三个重要结论(1)logab＝．(2)logambn＝logab．(3)logab·logbc·logcd＝logad．其中a>0且a≠1，b>0且b≠1，c>0且c≠1，m，n∈R．二、基本技能·思想·活动经验1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．(1)loga(MN)＝logaM＋logaN．  (　×　)(2)logax·logay＝loga(x＋y)．  (　×　)(3)对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．                             (　×　)(4)函数y＝ln与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．                             (　√　)2．已知x·log32＝1，则4x＝(　　)A．4 B．6  C．4 D．9D　解析：因为x·log32＝1，所以x＝log23，所以4x＝4＝4＝9．故选D．3．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝(　　)A．log2x B．   C．log0.5x D．2x－2A　解析：由题意知f(x)＝logax(a>0，且a≠1)．因为f(2)＝1，所以loga2＝1．所以a＝2．所以f(x)＝log2x．4．函数y＝lg|x|(　　)A．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增B．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减C．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减D．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增B　解析：y＝lg|x|是偶函数，由图象知(图略)，函数在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．5．已知函数f(x)＝log2(x2＋a)．若f(3)＝1，则a＝________．－7　解析：因为f(x)＝log2(x2＋a)，且f(3)＝1，所以f(3)＝log2(9＋a)＝1，所以a＋9＝2，所以a＝－7．考点1　对数的运算——基础性1．计算：log29×log34＋2log510＋log50.25＝(　　)A．0    B．2    C．4    D．6D　解析：原式＝2log23×(2log32)＋log5(102×0.25)＝4＋log525＝4＋2＝6．2．(2021·全国甲卷)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V满足L＝5＋lg V．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为(≈1.259)(　　)A．1.5    B．1.2    C．0.8    D．0.6C　解析：由L＝5＋lg V，当L＝4.9时，lg V＝－0.1，则V＝10－0.1＝10＝≈≈0.8．3．(2021·天津卷)若2a＝5b＝10，则＋＝(　　)A．－1    B．lg 7    C．1    D．log710C　解析：因为2a＝5b＝10，所以a＝log210，b＝log510，所以＋＝＋＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1．1．解决这类问题首先了解代数式的结构，判断是利用对数运算法则，还是换底公式进行求解，然后利用法则或公式进行运算或化简．2．有些题目，如第2题、第3题要注意指数式与对数式的互化问题．考点2　对数函数的图象及应用——综合性(1)在同一直角坐标系中，f(x)＝kx＋b与g(x)＝logbx的图象如图，则下列关系正确的是(　　)A．k＜0,0＜b＜1 B．k＞0，b＞1C．f g(1)＞0(x＞0) D．x＞1时，f(x)－g(x)＞0D　解析：由直线方程可知，k＞0,0＜b＜1，故选项A，B不正确；又g(1)＝0，故选项C不正确；当x＞1时，g(x)＜0，f(x)＞0，所以f(x)－g(x)＞0，故选项D正确．(2)当0＜x≤时，4x＜logax，则实数a的取值范围是(　　)A．    B．    C．(1，)    D．(，2)B　解析：易知0＜a＜1，函数y＝4x与y＝logax的大致图象如图．由题意可知只需满足loga＞4，解得a＞，所以＜a＜1．故选B．1．将本例(2)中“4x＜logax”变为“4x＝logax有解”，则实数a的取值范围为____________．　解析：若方程4x＝logax在上有解，则函数y＝4x与函数y＝logax的图象在上有交点．由图象可知解得0＜a≤，即a的取值范围为．2．若本例(2)变为：已知不等式x2－logax<0对x∈恒成立，则实数a的取值范围为________．　解析：由x2－logax<0得x2<logax．设f1(x)＝x2，f2(x)＝logax，要使x∈时，不等式x2<logax恒成立，只需f1(x)＝x2在上的图象在f2(x)＝logax图象的下方即可．当a>1时，显然不成立；当0<a<1时，如图所示．要使x2<logax在x∈上恒成立，需f1≤f2，所以有≤loga，解得a≥，所以≤a<1．即实数a的取值范围是．利用对数函数图象解决的两类问题及技巧(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．1．在同一平面直角坐标系中，函数f(x)＝xa(x>0)，g(x)＝logax的图象可能是(　　)A　　　　　BC　　　　　DD　解析：由于本题中函数为y＝xa(x>0)与y＝logax，对于选项A，没有幂函数图象，故错误；对于选项B，由y＝xa(x>0)的图象知a>1，而由y＝logax的图象知0<a<1，故B错误；对于选项C，由y＝xa(x>0)的图象知0<a<1，而由y＝logax的图象知a>1，故C错误；对于选项D，由y＝xa(x>0)的图象知0<a<1，而由y＝logax的图象知0<a<1．故选D．2．已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________．(1，＋∞)　解析：问题等价于函数y＝f(x)与y＝－x＋a的图象有且只有一个交点，结合图象可知a>1．考点3　对数函数的性质及应用——应用性考向1　比较大小(1)(2021·新高考全国Ⅱ卷)已知a＝log52，b＝log83，c＝，则下列判断正确的是(　　)A．c<b<a B．b<a<cC．a<c<b D．a<b<cC　解析：a＝log52<log5＝＝log82<log83＝b，即a<c<b．(2)已知函数f(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上单调递增，则(　　)A．f(3)<f(－2)<f(1)B．f(1)<f(－2)<f(3)C．f(－2)<f(1)<f(3)D．f(3)<f(1)<f(－2)B　解析：因为f(－x)＝loga|－x|＝loga|x|＝f(x)，所以f(x)为偶函数，所以f(－2)＝f(2)．又函数f(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上单调递增，所以f(1)<f(2)<f(3)，即f(1)<f(－2)<f(3)．比较对数值大小的常见类型及解题方法常见类型解题方法底数为同一常数可由对数函数的单调性直接进行判断底数为同一字母需对底数进行分类讨论底数不同，真数相同可以先用换底公式化为同底后，再进行比较底数与真数都不同常借助1,0等中间量进行比较 考向2　解对数不等式(1)函数y＝的定义域是(　　)A．[1,2] B．[1,2) C． D．D　解析：由log (2x－1)≥0，得0<2x－1≤1．所以<x≤1．(2)已知不等式logx(2x2＋1)＜logx(3x)＜0成立，则实数x的取值范围是________．　解析：原不等式⇔①或②，解不等式组①得＜x＜，不等式组②无解，所以实数x的取值范围是．简单对数不等式问题的求解策略(1)解决简单的对数不等式，应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解．(2)对数函数的单调性和底数a的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按0<a<1和a>1进行分类讨论．(3)某些对数不等式可转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．1．(2020·全国Ⅰ卷)若2a＋log2a＝4b＋2log4b，则(　　)A．a＞2b  B．a＜2bC．a＞b2 D．a＜b2B　解析：2a＋log2a＝4b＋2log4b＝22b＋log2b．令f(x)＝2x＋log2x，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增．又因为22b＋log2b＜22b＋log2b＋1＝22b＋log22b，所以2a＋log2a＜22b＋log22b，即f(a)＜f(2b)，所以a＜2b．2．若log2x＝log3y＝log5z＜－1，则(　　)A．2x＜3y＜5z B．5z＜3y＜2xC．3y＜2x＜5z D．5z＜2x＜3yB　解析：设log2x＝log3y＝log5z＝t，则t＜－1，x＝2t，y＝3t，z＝5t，因此2x＝2t＋1,3y＝3t＋1,5z＝5t＋1．又t＜－1，所以t＋1＜0，由幂函数y＝xt＋1的单调性可知5z＜3y＜2x．3．设函数f(x)＝若f(x)≤2，则实数x的取值范围是(　　)A．[－1，＋∞) B．(0,4]C．[－1,4] D．(－∞，4]C　解析：∵函数f(x)＝∴当x>1时，f(x)≤2即log2x≤2，解得1<x≤4，当x≤1时，f(x)≤2即≤2，解得－1≤x≤1．综上所述，不等式的解集为[－1,4]．故选C．