高考数学一轮复习第2章第9节函数模型及其应用学案

这是一份高考数学一轮复习第2章第9节函数模型及其应用学案，共12页。学案主要包含了教材概念·结论·性质重现，基本技能·思想·活动经验等内容，欢迎下载使用。
第九节　函数模型及其应用
考试要求：1．在实际情景中，会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律．
2．结合现实情景中的具体问题，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义．

一、教材概念·结论·性质重现
1．常见的函数模型
(1)正比例函数模型：f(x)＝kx(k为常数，k≠0)．
(2)反比例函数模型：f(x)＝(k为常数，k≠0)．
(3)一次函数模型：f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)．
(4)二次函数模型：f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)．
(5)指数型函数模型：f(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a≠0，b>0，b≠1)．
(6)对数型函数模型：f(x)＝mlogax＋n(m，n，a为常数，m≠0，a>0，a≠1)．
(7)幂函数模型：f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠1)．
(8)“对勾”函数模型：y＝x＋(a>0)．

1．不要忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果的合理性．
2．对于函数f(x)＝x＋(a>0)，当x>0时，在x＝处取得最小值2；当x1)
y＝logax
(a>1)
y＝xn
(n>0)
在(0，＋∞)上的增减性
单调递增
单调递增
单调递增
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的变化
随x的增大逐渐表现为与y轴平行
随x的增大逐渐表现为与x轴平行
随n值变化各有不同
值的比较
存在一个x0，当x＞x0时，有logax＜xn＜ax


“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；指数增长先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；对数增长先快后慢，其增长速度缓慢．
二、基本技能·思想·活动经验
1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．
(1)幂函数增长比直线增长更快． (　×　)
(2)不存在x0，使a1)的增长速度． (　√　)
(4)“指数爆炸”是指数型函数y＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻． (　×　)
2．下列函数中，随x的增大，y的增长速度最快的是(　　)
A．y＝0.001ex　　　
B．y＝1 000ln x
C．y＝x1 000
D．y＝1 000·2x
A　解析：在对数函数、幂函数、指数函数中，指数函数的增长速度最快，排除B，C；指数函数中，底数越大，函数增长速度越快．故选A．
3．已知f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是(　　)
A．f(x)＞g(x)＞h(x)　
B．g(x)＞f(x)＞h(x)
C．g(x)＞h(x)＞f(x)　
D．f(x)＞h(x)＞g(x)
B　解析：当x∈(4，＋∞)时，易知增长速度由大到小依次为g(x)＞f(x)＞h(x)．故选B．
4．在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表：
x
0.50
0.99
2.01
3.98
y
－0.99
0.01
0.98
2.00
则对x，y最适合的拟合函数是(　　)
A．y＝2x B．y＝x2－1
C．y＝2x－2 D．y＝log2x
D　解析：根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B，C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意．故选D．
5．用长度为24的材料围成一个矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为__________．
3　解析：设隔墙的长度为x(0lg 2，得n×0.05>0.19，n>3.8，n≥4，即4年后，到2021年科研经费超过2 000万元．故选B．
(2)(2020·新高考全国Ⅰ卷)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型I(t)＝ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0 ＝1＋rT．有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝6．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69)(　　)
A．1.2天 B．1.8天
C．2.5天 D．3.5天
B　解析：因为R0＝3.28，T＝6，R0＝1＋rT，所以r＝＝0.38，所以I(t)＝ert＝e0.38t．
设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为t1天，则e0.38(t＋t1)＝2e0.38t，所以e0.38t1＝2，所以0.38t1＝ln 2，所以t1＝≈≈1.8(天)．故选B．

指数函数与对数函数模型的应用技巧
(1)要先学会合理选择模型．指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．
(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题．

1．某位股民买入某只股票，在接下来的交易时间内，他的这只股票先经历了3次涨停(每次上涨10%)，又经历了3次跌停(每次下降10%)，则该股民这只股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为(　　)
A．略有盈利 B．无法判断盈亏情况
C．没有盈利也没有亏损 D．略有亏损
D　解析：设买入股票时的价格为m(m>0)元．先经历了3次涨停(每次上涨10%)，又经历了3次跌停(每次下降10%)后的价格为m×(1＋10%)3×(1－10%)3＝0.993m