高考数学一轮复习第3章第2节第2课时导数与函数的极值、最值学案

这是一份高考数学一轮复习第3章第2节第2课时导数与函数的极值、最值学案，共12页。学案主要包含了教材概念·结论·性质重现，基本技能·思想·活动经验等内容，欢迎下载使用。
第2课时　导数与函数的极值、最值

一、教材概念·结论·性质重现
1．函数的极值与导数
条件
设函数f(x)在x0处可导，且f′(x0)＝0
在点x＝x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)－1时，y′>0；当x0，故ab>a2．综上所述，ab>a2成立．

根据函数极值情况求参数的2个要领
(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
(2)验证：求解后验证根的合理性．

1．若函数f(x)＝(x2＋a)·ex的一个极值点为x＝1，则f(x)的极大值为(　　)
A．－3　　　　 B．1　　　　
C．　　　　 D．－2e
C　解析： 因为f(x)＝(x2＋a)·ex，所以f′(x)＝(x2＋2x＋a)ex．
因为x＝1是f(x)的一个极值点，所以f′(1)＝(a＋3)e＝0，解得a＝－3．
当a＝－3时，f(x)＝(x2－3)·ex，f′(x)＝(x2＋2x－3)ex．
令f′(x)＞0，解得x＞1或x＜－3；
令f′(x)＜0，解得－3＜x＜1，
故f(x)在(－∞，－3)上单调递增，在(－3,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
故f(x)的极大值是f(－3)＝．
2．已知函数f(x)＝x3－ax2－bx＋a2在x＝1处有极值10，则(　　)
A．a＝－4，b＝11
B．a＝3，b＝－3或a＝－4，b＝11
C．a＝－1，b＝5
D．以上都不正确
A　解析：函数的导数为f′(x)＝3x2－2ax－b．
因为函数f(x)＝x3－ax2－bx＋a2在x＝1处有极值10，
所以f(1)＝10且f′(1)＝0．
即解得或
当a＝3，b＝－3时，f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，
此时函数单调递增，函数没有极值，所以不满足条件．
经检验，当a＝－4，b＝11时，满足条件．

考点2　利用导数求函数的最值——综合性

(1)函数f(x)＝xln x－x在上的最小值为(　　)
A．－ B．－1
C．0 D．2ln 2－2
B　解析：f(x)＝xln x－x，x∈，f′(x)＝ln x，
令f′(x)＞0，解得x＞1，
令f′(x)＜0，解得x＜1，
故f(x)在上单调递减，在(1,2]上单调递增，故f(x)min＝f(1)＝－1．
(2)(2021·新高考全国Ⅰ卷)函数f(x)＝－2ln x的最小值为________．
1　解析：由题设知f(x)＝|2x－1|－2ln x的定义域为(0，＋∞)，
所以当00，此时f(x)单调递增．
又f(x)在各分段的界点处连续，
综上，当01时，f(x)单调递增，
所以f(x)≥f(1)＝1．

本例(1)若把函数改为：f(x)＝xln x，求函数f(x)在上的最大值．
解：f(x)＝xln x的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ln x＋1．令f′(x)>0，得x>，
所以f(x)在上单调递增，
所以f(x)在上单调递增，
所以f(x)max＝f(2)＝2ln 2．

求最值的3种情况
(1)若函数f(x)在区间[a，b]上单调递增或单调递减，f(a)与f(b)中有一个为最大值，另一个为最小值．
(2)若函数f(x)在闭区间[a，b]内有极值，要先求出[a，b]上的极值，与f(a)，f(b)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成．
(3)函数f(x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或最小)值点．

1．(2021·天河区期末)函数f(x)＝x3－4x＋3在[0,3]上的最小值为(　　)
A．－ B．－ C．0 D．3
A　解析：f′(x)＝x2－4，
由f′(x)＞0，得x＞2或x＜－2，
由f′(x)＜0，得－2＜x＜2．
又x∈[0,3]，所以f(x)在[0,2)上单调递减，在[2,3]上单调递增，
所以f(x)min＝f(2)＝－8＋3＝－．
2．(2021·北京卷)已知函数f(x)＝．
(1)若a＝0，求y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程；
(2)若函数f(x)在x＝－1处取得极值，求f(x)的单调区间，以及最大值和最小值．
解：(1)当a＝0时，f(x)＝，则f′(x)＝，所以f(1)＝1，f′(1)＝－4，
因此，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－1＝－4(x－1)，即4x＋y－5＝0．
(2)因为f(x)＝，则f′(x)＝＝．
由题意可得f′(－1)＝＝0，解得a＝4，经检验，符合题意．
故f(x)＝，f′(x)＝．
列表如下：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,4)
4
(4，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
所以，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，(4，＋∞)，单调递减区间为(－1,4)．
当x0；当x>时，f(x)0，所以y＝f′(x)的零点就是g(x)＝－ax2＋(2a－b)x＋b－c的零点，且f′(x)与g(x)符号相同．又因为a>0，所以当－30；
当x0时，g(x)0)．
由于f(x)在x＝1处有极值，
则即
解得a＝，b＝－1．
(2)由(1)可知f(x)＝x2－ln x，其定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝x－＝．
令f′(x)＝0，而x>0，解得x＝1．
由f′(x)0，则f(2)>f ，所以f(x)max＝f(2)＝2－ln 2．
所以函数f(x)在区间上的最大值为2－ln 2，最小值为．