高考数学一轮复习第4章第1节任意角、弧度制与任意角的三角函数学案

这是一份高考数学一轮复习第4章第1节任意角、弧度制与任意角的三角函数学案，共11页。学案主要包含了教材概念·结论·性质重现，基本技能·思想·活动经验等内容，欢迎下载使用。
第一节　任意角、弧度制与任意角的三角函数考试要求：1．了解任意角的概念和弧度制．2．能进行弧度与角度的互化．3．理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．一、教材概念·结论·性质重现1．任意角定义角可以看成平面内一条射线绕着它的端点旋转所成的图形分类按旋转方向不同正角、负角和零角按终边的位置不同象限角和轴线角终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}2．弧度制(1)定义：把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0．(2)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad,1°＝ rad,1 rad＝ ．在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不能混用．3．扇形的弧长公式：l＝|α|·r，扇形的面积公式：S＝lr＝|α|·r2．扇形的弧长公式、面积公式中角的单位要用弧度．4．任意角的三角函数(1)概念：任意角α的终边与单位圆交于点P(x，y)时，sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0)．(2)概念推广：三角函数坐标法定义中，若取点P(x，y)是角α终边上异于顶点的任一点，设点P到原点O的距离为r，则sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)．(3)符号法则：三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦．已知三角函数值的符号确定角的终边位置，不要遗漏终边在坐标轴上的情况．二、基本技能·思想·活动经验1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角． (　×　)(2)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关． (　√　)(3)不相等的角终边一定不相同．  (　×　)(4)若α为第一象限角，则sin α＋cos α>1． (　√　)2．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是(　　)A．2　　　　　　　　 B．sin 2C．　　　   D．2sin 1C　解析：设圆的半径为r，则sin 1＝，所以r＝，所以2弧度的圆心角所对弧长为2r＝．3．集合，k∈Z中的角所表示的范围(阴影部分)是(　　)A　　　　　BC　　　　　DC　解析：当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋≤α≤2nπ＋，此时α终边位于第一象限；当k＝2n＋1 (n∈Z)时，2nπ＋π＋≤α≤2nπ＋π＋，此时α表示的终边位于第三象限．4．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为，则cos α＝________．－　解析：因为点A纵坐标yA＝，且点A在第二象限，又因为圆O为单位圆，所以点A横坐标xA＝－．由三角函数的定义可得cos α＝－．5．点P(tan 2 022°，cos 2 022°)位于第______象限．四　解析：因为2 022°＝5×360°＋222°，所以2 022°的终边与220°的终边相同．又222°是第三象限角，所以tan 2 022°>0，cos 2 022°<0，即点P位于第四象限．考点1　象限角及终边相同的角——基础性1．在平面直角坐标系中，下列结论正确的是(　　)A．小于90°的角一定是锐角B．第二象限的角一定是钝角C．始边相同且相等的角的终边一定重合D．始边相同且终边重合的角一定相等C　解析：对于A，小于90°的角一定是锐角，首先必须强调为正角且小于90°，故错误．对于B，例如α＝的终边在第二象限，但不是钝角，故错误．对于C，始边相同且相等的角的终边一定相同，故正确．对于D,30°与390°角的始边终边均相同，但不相等，故错误．2．(2021·松山区模拟)在平面直角坐标系中，若角α的终边与240°角的终边相同，则的终边所在象限是(　　)A．第二或第四象限   B．第二或第三象限C．第一或第四象限   D．第三或第四象限A　解析：因为角α为第三象限角，满足的集合为{α|α＝k·360°＋240°，k∈Z}，所以，所以的终边落在第二象限或第四象限．3．(2021·辽宁模拟)写出两个与－的终边相同的角：________．－，(答案不唯一)　解析：与－终边相同的角α＝2kπ－．k∈Z，当k＝1时，α＝－，当k＝2时，a＝．1．解答第1题要紧扣概念，尤其分清小于90°的角与锐角的区别；第3题是开放题，是近年来高考的新题型，要予以重视．2．利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角．3．确定kα，(k∈N*)的终边位置的方法(1)先写出kα或的范围，然后根据k的可能取值确定kα或的终边所在位置．(2)数形结合，等分象限，确定角所在的象限．考点2　扇形的弧长、面积公式——综合性(1)(2022·烟台一模)某校数学兴趣小组设计了一种螺线，作法如下：在水平直线l上取长度为2的线段AB，并作等边三角形ABC．第一次画线：以点B为圆心、BA为半径逆时针画圆弧，交线段CB的延长线于点D；第二次画线：以点C为圆心、CD为半径逆时针画圆弧，交线段AC的延长线于点E；以此类推，得到的螺线如图所示，则(　　)A．第二次画线的圆弧长度为B．前三次画线的圆弧总长度为4πC．在螺线与直线l恰有4个交点(不含点A)时停止画线，此时螺线的总长度为30πD．在螺线与直线l恰有6个交点(不含点A)时停止画线，此时螺线的总长度为60πD　解析：第一次画线：以点B为圆心，r＝2，旋转，划过的圆弧长为2×＝；第二次画线：以点C为圆心，r＝4，旋转，划过的圆弧长为4×＝，故选项A错误，交l累计1次；第三次画线：以点A为圆心，r＝6，旋转，划过的圆弧长为6×＝＝4π，，故选项B错误，交l累计2次；第四次画线：以点B为圆心，r＝8，旋转，划过的圆弧长为8×＝；第五次画线：以点C为圆心，r＝10，旋转，划过的圆弧长为10×＝，交l累计3次；前五次累计画线＋＋＋＋＝20π，第六次画线：以点A为圆心，r＝12，旋转，划过的圆弧长为12×＝＝8π，交l累计4次，累计画线20π＋8π＝28π，故选项C错误．第七次画线：以点B为圆心，r＝14，旋转，划过的圆弧长为14×＝；第八次画线：以点C为圆心，r＝16，旋转，划过的圆弧长为16×＝，交l累计5次；第九次画线：以点A为圆心，r＝18，旋转，划过的圆弧长为18×＝＝12π，交l累计6次，累计画线28π＋＋＋12π＝60π，故选项D正确．(2)《九章算术》中《方田》章有弧田面积计算问题，术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一．其大意是弧田面积计算公式为：弧田面积＝(弦×矢＋矢×矢)．弧田是由圆弧(弧田弧)和以圆弧的端点为端点的线段(弧田弦)围成的平面图形，公式中的“弦”指的是弧田弦的长，“矢”指的是弧田所在圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差．如图，弧田是由圆弧和其所对弦AB围成的图形．若弧田的弧长为，弧所在的圆的半径为4，则利用《九章算术》中的弧田面积公式计算出来的面积与实际面积之差为________．8＋2－　解析：如图所示，由题意可得∠AOB＝＝，OA＝4．在Rt△AOD中，可得∠AOD＝，∠DAO＝，OD＝AO＝×4＝2，可得矢＝4－2＝2．由AD＝AO·sin＝4×＝2，可得弦＝2AD＝4，所以，弧田面积为(弦×矢＋矢×矢)＝×(4×2＋22)＝4＋2．实际面积为××4－×4×2＝－4．所以4＋2－＋4＝8＋2－．本例若改为：弧田弦AB等于6 m，其弧田弧所在圆为圆O，若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为 m2，则sin∠AOB＝________．　解析：如图，由题意可得AB＝6，弧田的面积S＝1,2)(弦×矢＋矢×矢)＝，解得矢＝1或矢＝－7(舍)．设半径为r，圆心到弧田弦的距离为d，则有解得d＝4，r＝5．所以cos∠AOD＝＝．所以cos∠AOB＝2cos2∠AOD－1＝－1＝．所以sin∠AOB＝＝．应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题．(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理利用圆心角所在的三角形．1．半径为2，圆心角为的扇形的面积等于(　　)A．    B．π    C．    D．C　解析：因为扇形的半径是2，圆心角的弧度数是，故扇形的弧长为，所以扇形的面积为S＝××2＝．2．(2022·太原模拟)斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋线”，它的画法是：以斐波那契数列(即a1＝a2＝1，an＋2＝an＋1＋an(n∈N*))的各项为边长的正方形拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为90°的圆弧，将这些圆弧依次连起来的弧线就是斐波那契螺旋线．自然界中存在很多斐波那契螺旋线的图案，如向日葵、鹦鹉螺等．如图为该螺旋线的一部分，则第七项所对应的扇形的弧长为(　　)A．  B．  C．  D．4πC　解析：由斐波那契数的规律可知，从第三项起，每一个数都是前面两个数之和．根据题意，接下来的一段圆弧所在圆的半径r＝5＋8＝13，对应的弧长l＝2π×13×＝．考点3　三角函数的定义——基础性考向1　三角函数的定义(1)已知角α的顶点在坐标原点，始边在x轴的正半轴上，终边与单位圆交于第二象限的点P，且点P的纵坐标为，则sin＝(　　)A．  B．－  C．  D．－D　解析：因为角α的顶点在坐标原点，始边在x轴的正半轴上，终边与单位圆交于第二象限的点P，且点P的纵坐标为，所以P．根据三角函数的定义，得cos α＝－．所以sin＝cos α＝－．(2)已知角α的终边过点P(－8m，－6sin 30°)，且cos  α＝－，则m的值为(　　)A．－   B．－C．   D．C　解析：由题意得点P(－8m，－3)，r＝，所以cos α＝＝－，解得m＝±．又cos α＝－<0，所以－8m<0，即m>0，所以m＝．本例(1)若改为：角α终边上一点P，把角α按逆时针方向旋转90°得到角θ，则sin θ＝________．　解析：由题意得，sin α＝，cos α＝，θ＝α＋90°，所以sin θ＝sin(α＋90°)＝cos α＝．利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标可求α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出点P的坐标．考向2　三角函数值的符号(1)下列三角函数值为负数的是(　　)A．sin 2   B．cos 3C．tan 4   D．cos(－5)B　解析：因为＜2＜3＜π＜4＜＜5＜2π，所以sin 2＞0，cos 3＜0，tan 4＞0，且cos(－5)＝cos 5＞0．(2)已知sin θcos θ<0，且|cos θ|＝cos θ，则角θ是(　　)A．第一象限角   B．第二象限角C．第三象限角   D．第四象限角D　解析：因为sin θcos θ<0，所以sin θ，cos θ一正一负．又|cos θ|＝cos θ，所以cos θ≥0，综上有sin θ<0，cos θ>0，即θ为第四象限角．要判定三角函数值的符号，关键是搞清三角函数中的角是第几象限角，正弦函数值的符号取决于纵坐标y的符号，余弦函数值的符号取决于横坐标x的符号，正切函数值的符号由x，y共同决定，如果不能确定角所在的象限，就要分类讨论．1．(2021·日照模拟)若α为第二象限角，则(　　)A．sin α－cos α＜0  B．tan α＜0C．sin>0  D．cos(π－2α)>0B　解析：因为α为第二象限角，所以sin α＞0，cos α＜0，tan α＜0，故sin α－cos α＞0，故选项A错误；tan α＜0，故选项B正确；sin＝cos 2α＝sin2α－cos2α，故其符号不能确定，故选项C错误；cos(π－2α)＝－cos 2α，同选项C，符号不能确定，故选项D错误．2．若角α的终边落在直线y＝x上，角β的终边与单位圆交于点，且sin α·cos β<0，则cos α·sin β＝________．±　解析：由角β的终边与单位圆交于点 ，得cos β＝．又由sin α·cos β<0知，sin α<0．因为角α的终边落在直线y＝x上，所以角α只能是第三象限角．记P为角α的终边与单位圆的交点，设P(x，y)(x<0，y<0)，则|OP|＝1(O为坐标原点)，即x2＋y2＝1．又由y＝x，得x＝－，y＝－，所以cos α＝x＝－．因为点在单位圆上，所以＋m2＝1，解得m＝±，所以sin β＝±，所以cos α·sin β＝±．