高考数学一轮复习第4章第5节三角恒等变换学案

这是一份高考数学一轮复习第4章第5节三角恒等变换学案，共21页。学案主要包含了教材概念·结论·性质重现，基本技能·思想·活动经验等内容，欢迎下载使用。
第五节　三角恒等变换
考试要求：1．经历用单位圆推导出两角差的余弦公式的过程．
2．能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．
3．能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括引导导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆)．

一、教材概念·结论·性质重现
1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式
cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β(C(α－β))；
cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β(C(α＋β))；
sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β(S(α－β))；
sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β(S(α＋β))；
tan(α－β)＝(T(α－β))；
tan(α＋β)＝(T(α＋β))．

1．形如f(x)＝asin x＋bcos x的函数，可视为和角公式的逆用，化为f(x)＝·sin(x＋φ)或f(x)＝·cos(x－φ)的形式．
2．tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)．
2．二倍角公式
sin 2α＝2sin αcos α；
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
tan 2α＝．

1．二倍角公式中的角是任意的．
2．1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，
1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，
cos2α＝，sin2α＝．
二、基本技能·思想·活动经验
1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的． (　√　)
(2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立． (　√　)
(3)公式tan(α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立． (　×　)
(4)当α是第一象限角时，sin＝． (　×　)
(5)存在角α，使得sin 2α＝2sin α成立 ．(　√　)
2．＝(　　)
A．1 B．－1
C．2 D．－2
A　解析：因为＝tan(1°＋44°)＝tan 45°＝1．
3．已知sin α＋cos α＝，则sin2等于(　　)
A． B．
C． D．
B　解析：由sin α＋cos α＝，两边平方得1＋sin 2α＝，解得sin 2α＝－，
所以sin2 ＝＝＝＝．
4．＝________．
　解析：原式＝＝＝＝sin 30°＝．
5．化简：＝________．
4sin α　解析：
＝＝＝4sin α．


考点1　公式的简单应用——基础性

1．sin(－260°)cos 35°－sin 10°sin 145°＝(　　)
A． B．－
C． D．－
A　解析：sin(－260°)cos 35°－sin 10°sin 145°＝－sin(180°＋80°)cos 35°－sin(90°－80°)sin(180°－35°)＝sin 80°cos 35°－cos 80°sin 35°＝sin(80°－35°)＝sin 45°＝．
2．(2021 ·全国乙卷)cos2－cos2＝(　　)
A． B．
C． D．
D　解析：由题意，cos2－cos2＝cos2－
cos2＝cos2－sin2＝cos＝．
3．(2022·云南模拟)tan 87°－tan 27°－tan 27°·tan 87°＝(　　)
A．2 B．
C．－2 D．－5
B　解析：因为＝tan(87°－27°)＝tan 60°＝，
所以tan 87°－tan 27°＝＋tan 27°tan 87°，
所以tan 87°－tan 27°－tan 27°tan 87°＝．

应用三角恒等变换公式化简求值的关注点
(1)记清公式及其变形形式是关键．
(2)注意对公式的整体把握，要熟悉公式的逆用及变形，第1题是公式的逆用，第3题是公式的变形应用．
(3)注意与诱导公式的综合应用，T1，T2都是先应用诱导公式，再进行化简求值．

考点2　三角函数的化简求值问题——综合性

考向1　给值求值问题
(1)若sin＝，则cos的值为(　　)
A． B．－
C． D．－
C　解析：因为sin＝，
所以cos＝cos 2＝1－2sin2＝1－＝．
(2)(2021·福建模拟)已知θ∈，且＝－，则tan 2θ＝(　　)
A． B．
C．± D．±
D　解析：因为＝＝
－(cos θ＋sin θ)＝－，
所以cos θ＋sin θ＝．
又因为θ∈，且cos2θ＋sin2θ＝1，
所以cos θ＝，sin θ＝或cos θ＝，sin θ＝，则tan θ＝或，
故tan 2θ＝＝±．

本例(1)中，若把已知条件改为cos＝，求cos的值．
解：因为cos＝，所以cos
＝cos＝－cos
＝－＝－＝．

给值求值问题的一般步骤
(1)化简条件式或待求式．
(2)观察条件与所求之间的联系，从函数名称及角入手．
(3)将已知条件代入所求式子，化简求值．
考向2　给值求角问题
(1)设α，β为钝角，且sin α＝，cos β＝－，则α＋β的值为(　　)
A． B．
C． D．或
C　解析：因为α，β为钝角，sin α＝，cos β＝－，所以cos α＝－，sin β＝，
所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝>0．
又α＋β∈(π，2π)，所以α＋β∈，所以α＋β＝．
(2)定义运算＝ad－bc．若cos α＝，＝，0