高考数学一轮复习第5章第3节平面向量的数量积及综合应用学案

这是一份高考数学一轮复习第5章第3节平面向量的数量积及综合应用学案，共12页。学案主要包含了教材概念·结论·性质重现，基本技能·思想·活动经验等内容，欢迎下载使用。
第三节　平面向量的数量积及综合应用
考试要求：1．理解平面向量数量积的概念及其物理意义．
2．了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义．
3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．
4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．
5．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题以及其他一些实际问题．

一、教材概念·结论·性质重现
1．向量的夹角
定义
图示
范围
共线与垂直
已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角

设θ为a与b的夹角，则θ的取值范围是0≤θ≤π
θ＝0或θ＝π⇔a∥b，θ＝⇔a⊥b
2．平面向量的数量积
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a|·|b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b．

(1)在分析两向量的夹角时，必须使两个向量的起点重合，如果起点不重合，可通过“平移”实现．
(2)两个向量夹角的范围是[0，π]，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或π的情况．两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b＞0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b＜0且a，b不共线．
3．向量数量积的运算律
对于向量a，b，c和实数λ，有
(1)a·b＝b·a．
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c．

(1)要准确理解数量积的运算律，例如，由a·b＝a·c(a≠0)，不能得出b＝c，两边不能约去同一个向量．
(2)平面向量数量积运算的常用公式．
①(a＋b)·(a－b)＝a2－b2．
②(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2．
③(a－b)2＝a2－2a·b＋b2．
4．平面向量数量积的性质
已知两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a，b的夹角为θ，则a·b＝x1x2＋y1y2．
性质
几何表示
坐标表示
模
|a|＝
|a|＝
夹角
cos θ＝
cos θ＝
a⊥b的充要条件
a·b＝0
x1x2＋y1y2＝0
|a·b|与|a||b|的关系
|a·b|≤|a||b|
|x1x2＋y1y2|≤
5．常用结论：(1)|a＋b|＝|a－b|⇔a⊥b．
(2)|a|＝|b|⇔(a＋b)⊥(a－b)．
二、基本技能·思想·活动经验
1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．
(1)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量． (　√　)
(2)由a·b＝0可得a＝0或b＝0 ． (　×　)
(3)(a·b)c＝a(b·c)． (　×　)
(4)两个向量的夹角的范围是． (　×　)
2．已知a，b为非零向量，则“a·b>0”是“a与b的夹角为锐角”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
B　解析：根据向量数量积的定义可知，若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或零角，若a与b的夹角为锐角，则一定有a·b>0，所以“a·b>0”是“a与b的夹角为锐角”的必要不充分条件，故选B．
3．已知a·b＝－12，|a|＝4，a和b的夹角为135°，则|b|为(　　)
A．12　　　　　　 B．6
C．3　　　 D．3
B　解析：a·b＝|a||b|cos 135°＝－12，所以|b|＝＝6．
4．(2021·全国乙卷)已知向量a＝(2,5)，b＝(λ，4)，若a∥b，则λ＝________．
　解析：因为a∥b，所以2×4－5λ＝0，所以λ＝．
5．已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝_______．
12　解析：因为2a－b＝(4,2)－(－1，k)＝(5,2－k)，由a·(2a－b)＝0，得(2,1)·(5,2－k)＝0，所以10＋2－k＝0，解得k＝12．
6．已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________．
2　解析：方法一：|a＋2b|＝＝＝＝＝2．
方法二：(数形结合法)由|a|＝|2b|＝2知，以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB，如图，则|a＋2b|＝||．

又∠AOB＝60°，所以|a＋2b|＝2．


考点1　平面向量数量积的运算——基础性

1．已知＝(2,3)，＝(3，t)，||＝1，则·＝(　　)
A．－3 B．－2
C．2　 D．3
C　解析：因为＝－＝(3，t)－(2,3)＝(1，t－3)，||＝1，所以＝1，解得t＝3，所以＝(1,0)，所以·＝2×1＋3×0＝2．
2．(2021·乐山模拟)已知向量a与向量m＝(4,6)平行，b＝(－5,1)，且a·b＝14，则a＝(　　)
A．(4,6)
B．(－4，－6)
C．
D．
B　解析：因为向量a与向量m＝(4,6)平行，可设a＝．由a·b＝14可得－5k＋k＝14，解得k＝－4，所以a＝(－4，－6)．
3．(2021·新高考全国Ⅱ卷)已知向量a＋b＋c＝0，|a|＝1，|b|＝|c|＝2，则a·b＋b·c＋c·a＝_________．
－　解析：方法一：(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0⇒2(a·b＋b·c＋c·a)＋9＝0⇒a·b＋b·c＋c·a＝－．
方法二：由a＋b＝－c⇒a2＋b2＋2a·b＝c2⇒a·b＝－，由a＋c＝－b⇒a2＋c2＋2a·c＝b2⇒a·c＝－，由b＋c＝－a⇒b2＋c2＋2b·c＝a2⇒b·c＝－，所以a·b＋b·c＋c·a＝－．
4．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝．若·＝2·，则·＝__________．

12　解析：方法一：(几何法)因为·＝2·，所以·－·＝·，所以·＝·．因为AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝，所以2||＝||·||cos，化简得||＝2．故·＝·(＋)＝||2＋·＝(2)2＋2×2cos＝12．
方法二：(坐标法)如图，建立平面直角坐标系xAy．

依题意，可设点D(m，m)，C(m＋2，m)，B(n,0)，其中m>0，n>0，则由·＝2·，得(n,0)·(m＋2，m)＝2(n,0)·(m，m)，所以n(m＋2)＝2nm，化简得m＝2．故·＝(m，m)·(m＋2，m)＝2m2＋2m＝12．

当已知向量模和夹角时，可利用定义法求解，此时需注意向量夹角的取值．当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2．当已知向量是非坐标形式时，若图形适合建立平面直角坐标系，可建立坐标系，运用坐标法求解，如第4题；对于数量积与线性运算的综合问题，可先运用数量积的运算律、几何意义等化简，再运算．
考点2　向量数量积性质的应用——应用性

考向1　平面向量的垂直问题
(1)(2021·全国甲卷)已知向量a＝(3,1)，b＝(1,0)，c＝a＋kb．若a⊥c，则k＝________．
－　解析：依题意，得c＝a＋kb＝(3＋k,1)．又a⊥c，所以a·c＝0，即3(3＋k)＋1＝0，解得k＝－．
(2)已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2．若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为________．
　解析：由⊥，知·＝0，即·＝(λ＋)·(－)＝(λ－1) ·－λ2＋2＝(λ－1)×3×2×－λ×9＋4＝0，解得λ＝．

1．设a，b为两个非零向量，则有a⊥b⇔a·b＝0，所以解决向量垂直问题时要利用向量的数量积公式．
2．向量垂直问题主要表现为利用垂直关系求问题中参数的值．
考向2　平面向量的夹角问题
(1)(2021·云南昆明一中检测)已知向量a＝，|b|＝2，且a·b＝1，则a与b的夹角为(　　)
A．30° 　 B．45°
C．60°　 D．90°
C　解析：|a|＝＝1，所以cos 〈a，b〉＝＝．因为向量夹角的范围为[0°，180°]，
所以a与b的夹角为60°．
(2)已知单位向量e1与e2的夹角为，向量e1＋2e2与2e1＋λe2的夹角为，则λ等于(　　)
A．－ B．－3
C．－或－3 D．－1
B　解析：依题意可得|e1＋2e2|＝＝，同理，|2e1＋λe2|＝，而(e1＋2e2)·(2e1＋λe2)＝4＋λ．又向量e1＋2e2与2e1＋λe2的夹角为，可知＝＝－，由此解得λ＝－或－3，又4＋λ