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    高考数学一轮复习第6章第1节空间几何体学案

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    高考数学一轮复习第6章第1节空间几何体学案

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    这是一份高考数学一轮复习第6章第1节空间几何体学案,共13页。学案主要包含了教材概念·结论·性质重现,基本技能·思想·活动经验等内容,欢迎下载使用。
    第一节 空间几何体考试要求:1.认识柱台及简单组合体的结构特征并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2能用斜二测画法画出简单空间图形(长方体圆锥棱柱及其简易组合)的直观图.3知道棱柱棱锥棱台的表面积和体积的计算公式能用公式解决简单的实际问题.一、教材概念·结论·性质重现1多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形底面互相平行全等多边形互相平行侧棱平行且相等相交于一点但不一定相等延长线交于一点侧面形状平行四边形三角形梯形2旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台图形母线相互平行且相等并垂直于底面相交于一点延长线交于一点 轴截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形侧面展开图矩形扇形扇环 3空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画其规则是:(1):在直观图中xy轴的夹角为45°135°(2)二测:图形中平行于x轴的线段在直观图中保持原长度不变平行于y轴的线在直观图中长度为原来的一半画直观图要注意平行,还要注意长度及角度两个要素.4圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧rlS圆锥侧πrlS圆台侧π(r1r2)l5空间几何体的表面积与体积公式名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积S2SVS·h锥体(棱锥和圆锥)S表面积SSVS·h台体(棱台和圆台)S表面积SSSV(SS)hSR2VπR3 (1)求棱柱、棱锥、棱台与球的表面积时,要结合它们的结构特点与平面几何知识来解决.(2)常常利用一些几何体的展开图解决表面上的最短距离问题.(3)求几何体的体积时,要注意利用分割、补形与等体积法.6常用结论几个与球有关的切接常用结论:(1)正方体的棱长为a球的半径为R若球为正方体的外接球2Ra若球为正方体的内切球2Ra若球与正方体的各棱相切2Ra(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为abc外接球的半径为R2R(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为31解决与球外接问题的关键:(1)确定球心.(2)构造正()方体等特殊几何体.二、基本技能·思想·活动经验1判断下列说法的正误对的打“√”,错的打“×”.(1)有两个面平行其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.                             ( × )(2)有一个面是多边形其余各面都是三角形的几何体是棱锥.                             ( × )(3)棱台是由平行于底面的平面截棱锥所得的平面与底面之间的部分.                             (  )(4)圆柱的一个底面积为S侧面展开图是一个正方形那么这个圆柱的侧面积是S                            ( × )2如图长方体ABCDABCD被截去一部分其中EHAD则剩下的几何体是(  )A棱台   B.四棱柱C五棱柱   D.简单组合体C 解析:由几何体的结构特征知,剩下的几何体为五棱柱.3已知圆锥的表面积等于12π cm2其侧面展开图是一个半圆则底面圆的半径为(  )A1 cm   B2 cm  C3 cm   D cmB 解析:Sπr2πrlπr2πr·2rr212π,所以r24,所以r2  cm4体积为8的正方体的顶点都在同一球面上则该球的表面积为(  )A12π   B  C   DA 解析:由题意可知正方体的棱长为2,其体对角线为2即为球的直径,所以球的表面积为R2(2R)2π12π.故选A5在直观图(如图所示)四边形OABC为菱形且边长为2 cm则在平面直角坐标系xOy四边形ABCO__________面积为________cm2矩形 8 解析:由斜二测画法的规则可知,在平面直角坐标系xOy中,四边形ABCO是一个长为4 cm,宽为2 cm的矩形,所以四边形ABCO的面积为8 cm2考点1 空间几何体的结构特征与直观图——基础性1.用任意一个平面截一个几何体各个截面都是圆面则这个几何体一定是(  )A圆柱B圆锥CD圆柱圆锥球体的组合体C 解析:截面是任意的,且都是圆面,则该几何体为球体.2下列命题正确的是(  )A以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥B以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台C圆柱圆锥圆台的底面都是圆面D一个平面截圆锥得到一个圆锥和一个圆台C 解析:由圆锥、圆台、圆柱的定义可知AB错误,C正确.对于D,只有用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,才能得到一个圆锥和一个圆台,D不正确.3如图矩形OABC是水平放置的一个平面图形的直观图其中OA6 cmCD2 cm则原图形是(  )A正方形      B.矩形C菱形   D.一般的平行四边形C 解析:如图,在原图形OABC中,应有OD2OD2×24(cm)CDCD2 cm所以OC6(cm)所以OAOC,所以四边形OABC是菱形.4(多选题)下列命题中正确的是(  )A棱柱的侧棱都相等侧面都是全等的平行四边形B在四棱柱中若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面则该四棱柱为直四棱柱C存在每个面都是直角三角形的四面体D棱台的上下底面可以不相似但侧棱长一定相等BC 解析:A不正确,根据棱柱的定义,棱柱的各个侧面都是平行四边形,但不一定全等;B正确,因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱,又垂直于底面;C正确,如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中的三棱锥C1ABC,四个面都是直角三角形;D不正确,棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形,各侧棱的延长线交于一点,但是侧棱长不一定相等.1解决空间几何体的结构特征的判断问题主要方法是定义法,即紧扣定义来判断,或列举反例进行判断.解答此类问题常常由于概念理解出错,如第2题有可能错选ABD,第4题错选AD等.2解决直观图问题,要理解并学会运用斜二测画法规则.考点2 空间几何体的表面积与体积——综合性考向1 空间几何体的表面积问题(1)(2021·新高考全国)已知圆锥的底面半径为其侧面展开图为一个半圆则该圆锥的母线长为(  )A2   B2   C4   D4B 解析:由题意知圆锥的底面周长为2π.设圆锥的母线长为l,则πl2π,即l2.故选B(2)如图在三棱柱ABC­A1B1C1AA1底面ABCABBCAA1AC2直线A1C与侧面AA1B1B所成的角为30°则该三棱柱的侧面积为(  )A44   B44C12   D84A 解析:连接A1B.因为AA1底面ABC,则AA1BC,又ABBCAA1ABA,所以BC平面AA1B1B,所以直线A1C与侧面AA1B1B所成的角为CA1B30°.又AA1AC2,所以A1C2,所以BC.又ABBC,则AB,则该三棱柱的侧面积为2×22×244(3)在如图所示的斜截圆柱中已知圆柱底面的直径为40 cm母线长最短50 cm最长80 cm则斜截圆柱的侧面面积S   cm22 600π 解析:将题图所示的相同的两个几何体对接为圆柱,则圆柱的侧面展开图为矩形.由题意得所求侧面展开图的面积S×(5080)××40)2 600π(cm2)求解几何体表面积的类型及求法求多面体的表面积只需将它们沿着棱剪开展成平面图形利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积求旋转体的表面积可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手将其展开后求表面积但要搞清它们的底面半径母线长与对应侧面展开图中的边长关系求不规则几何体的表面积通常将所给几何体分割成基本的柱体锥体台体先求出这些基本的柱体锥体台体的表面积再通过求和或作差求出所给几何体的表面积 1.一个六棱锥的体积为2其底面是边长为2的正六边形侧棱长都相等则该六棱锥的侧面积为_________12 解析:设正六棱锥的高为h,侧面的斜高为h.由题意,得×6××2××h2,所以h1,所以斜高h2,所以S6××2×2122《九章算术》是我国古代数学名著它在几何学中的研究比西方早一千多年书中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵.已知一个堑堵的底面积为6体积为的球与其各面均相切则该堑堵的表面积为________36 解析:设球的半径为r,底面三角形的周长为l,由已知得r1,所以堑堵的高为2.则lr6l12,所以表面积S12×26×236考向2 空间几何体的体积问题(1)如图所示已知三棱柱ABC­A1B1C1的所有棱长均为1AA1底面ABC则三棱锥B1­ABC1的体积为(  )A   B  C   DA 解析:易知三棱锥B1­ABC1的体积等于三棱锥A­B1BC1的体积,又三棱锥A­B1BC1的高为,底面积为,故其体积为××(2)(2021·八省联考)圆台上下底面的圆周都在一个直径为10的球面上其上下底面半径分别为45则该圆台的体积为________61π 解析:圆台的下底面半径为5,故下底面在外接球的大圆上,如图,设球的球心为O,圆台上底面的圆心为O则圆台的高OO3据此可得圆台的体积Vπ×3×(525×442)61π求空间几何体的体积的常用方法公式法对于规则几何体的体积问题可以直接利用公式进行求解割补法把不规则的几何体分割成规则的几何体然后进行体积计算;或者把不规则的几何体补成规则的几何体不熟悉的几何体补成熟悉的几何体便于计算其体积等体积法一个几何体无论怎样转化其体积总是不变的.如果一个几何体的底面面积和高较难求解时我们可以采用等体积法进行求解.通过选择合适的底面来求几何体体积主要用来解决有关锥体的体积特别是三棱锥的体积 1(2021·全国甲卷)已知一个圆锥的底面半径为6其体积为30π则该圆锥的侧面积为________39π 解析:设圆锥的高为h,母线长为l,则圆锥的体积V×π×62×h30π,解得h.所以l,故圆锥的侧面积Sπrlπ×6×39π2如图已知体积为V的三棱柱ABC­A1B1C1P是棱B1B上除B1B以外的任意一点则四棱锥P­AA1C1C的体积_________ 解析:如图,把三棱柱ABC­A1B1C1补成平行六面体A1D1B1C1­ADBC.设点P到平面AA1C1C的距离为h,则VS·hV·2V考点3 与球有关的切接问题——综合性考向1 “相切”问题已知正四面体P­ABC的表面积为S1此四面体的内切球的表面积为S2________ 解析:设正四面体的棱长为a,则正四面体的表面积为S14××a2a2,其内切球半径r为正四面体高的,即r×aa,因此内切球表面积为S2r2,则处理与球有关内切问题的策略解答此类问题时首先要找准切点,通过作截面来解决.如果内切的是多面体,则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作,利用体积分割法求内切球半径.考向2 “相接”问题已知直三棱柱ABC­A1B1C16个顶点都在球O的球面上AB3AC4ABACAA112则球O的半径为(  )A   B2  C   D3C 解析:如图所示,由球心作平面ABC的垂线,则垂足为BC的中点MAMBCOMAA16,所以球O的半径ROA处理与球有关外接问题的策略(1)构造正()方体等特殊几何体转化为特殊几何体的外接球问题.(2)空间问题平面化,把平面问题转化到直角三角形中,作出适当截面(过球心、接点等)(3)利用球与截面圆心的连线垂直于截面,确定球心所在的直线.1.已知三棱锥P­ABC,△ABC为等边三角形PAPBPC3PAPB则三棱锥P­ABC的外接球的体积为(  )Aπ         Bπ   C27π      D27πB 解析:因为三棱锥P­ABC中,ABC为等边三角形,PAPBPC3,所以PAB≌△PBC≌△PAC.因为PAPB,所以PAPCPCPB.以PAPBPC为过同一顶点的三条棱作正方体(如图所示)则正方体的外接球同时也是三棱锥P­ABC的外接球.因为正方体的体对角线长为3,所以其外接球半径R.因此三棱锥P­ABC的外接球的体积V×π2(2020·全国)已知圆锥的底面半径为1母线长为3则该圆锥内半径最大的球的体积为_________π 解析:方法一:如图,在圆锥的轴截面ABC中,CDABBD1BC3,圆O内切于ABCE为切点,连接OE,则OEBC.在RtBCD中,CD2.易知BEBD1,则CE2.设圆锥的内切球半径为R,则OC2R,在RtCOE中,OC2OE2CE2,即(2R)2R24,所以R,圆锥内半径最大的球的体积为πR3π方法二:如图,记圆锥的轴截面为ABC,其中ACBC3AB2CDAB,在RtBCD中,CD2,则SABC2.设ABC的内切圆O的半径为R,则R,所以圆锥内半径最大的球的体积为πR3π 

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