高考数学一轮复习第8章第5节椭圆学案

这是一份高考数学一轮复习第8章第5节椭圆学案，共17页。学案主要包含了教材概念·结论·性质重现，基本技能·思想·活动经验等内容，欢迎下载使用。

第五节　椭圆
考试要求：掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质．

一、教材概念·结论·性质重现
1．椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距．

集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数．
(1)若a>c，则集合P为椭圆．
(2)若a＝c，则集合P为线段F1F2．
(3)若a 2．椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a>b>0)
图形


性质
范围
－a≤x≤a，－b≤y≤b
－b≤x≤b，
－a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，
A2(a,0)，
B1(0，－b)，
B2(0，b)
A1(0，－a)，
A2(0，a)，
B1(－b,0)，
B2(b,0)
轴
长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝∈(0,1)
a，b，c的关系
c2＝a2－b2


(1)椭圆焦点位置与x2，y2系数间的关系：
给出椭圆方程＋＝1时，椭圆的焦点在x轴上⇔m>n>0，椭圆的焦点在y轴上⇔0 (2)求椭圆离心率e时，只要求出a，b，c的一个方程，再结合b2＝a2－c2就可求得e(0 3．直线与椭圆的位置关系
直线与椭圆的位置关系有三种：相离、相切、相交．
4．常见结论
(1)a＋c与a－c分别为椭圆上的点到焦点距离的最大值和最小值．
(2)过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦|AB|＝，称为通径．
(3)若过焦点F1的弦为AB，则△ABF2的周长为4a．
(4)e＝．e越大，椭圆越扁；e越小，椭圆越圆．
(5)AB为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则
①弦长l＝|x1－x2|＝|y1－y2|；
②直线AB的斜率kAB＝－．
(6)若M，N为椭圆＋＝1(a>b>0)上关于原点对称的两个点，P是椭圆上不与M，N重合的点，则kPM·kPN＝－．
二、基本技能·思想·活动经验
1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆． (　×　)
(2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆． (　×　)
(3)方程mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)表示的曲线是椭圆． (　√　)
(4)＋＝1(a＞b＞0)与＋＝1(a＞b＞0)的焦距相同． (　√　)
2．若F1(－3,0)，F2(3,0)，点P到F1，F2的距离之和为10，则点P的轨迹方程是(　　)
A．＋＝1
B．＋＝1
C．＋＝1
D．＋＝1或＋＝1
A　解析：设点P的坐标为(x，y)，因为|PF1|＋|PF2|＝10＞|F1F2|＝6，所以点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，其中a＝5，c＝3，b＝＝4，故点P的轨迹方程为＋＝1．
3．已知正数m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x2＋＝1的焦点坐标为(　　)
A．(±，0)
B．(0，±)
C．(±，0)或(±，0)
D．(0，±)或(±，0)
B　解析：因为正数m是2和8的等比中项，所以m2＝16，即m＝4，所以椭圆x2＋＝1即x2＋＝1的焦点坐标为(0，±)．故选B．
4．若直线x－2y＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为(　　)
A．＋y2＝1
B．＋＝1
C．＋y2＝1或＋＝1
D．以上答案都不对
C　解析：直线与坐标轴的交点为(0,1)，(－2,0)，
由题意知当焦点在x轴上时，c＝2，b＝1，
所以a2＝5，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1．
当焦点在y轴上时，b＝2，c＝1，
所以a2＝5，所求椭圆标准方程为＋＝1．
5．设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过点F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P．若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是(　　)
A． B．
C．2－ D．－1
D　解析：由题意可知，|PF2|＝2c，|PF1|＝2c．
因为|PF1|＋|PF2|＝2a，所以2c＋2c＝2a，
解得＝－1．


考点1　椭圆的定义——基础性

1．圆A的半径为4，圆心为A(－1,0)，B(1,0)是圆A内一个定点，P是圆上任意一点，线段BP的垂直平分线与半径AP相交于点Q．当点P在圆上运动时，点Q的轨迹方程为(　　)
A．＋＝1
B． x2＋y2＝16
C．＋＝1
D．(x＋1)2＋y2＝16
C　解析：如图，直线l为线段BP的垂直平分线，

所以连接BQ，由线段垂直平分线的性质得：BQ＝PQ，
而半径AP＝AQ＋PQ，且A，B两点为定点，
所以AQ＋BQ＝4>AB＝2，
所以由椭圆定义得点Q轨迹是以A，B两点为焦点的椭圆，且2a＝4,2c＝2，
所以a＝2，c＝1，所以b＝，
所以椭圆方程为＋＝1．故选C．
2．(2021·大同高三调研)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中点为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为，过点F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为(　　)
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
D　解析：设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，由e2＝＝1－＝，得a2＝2b2．
根据椭圆的定义可知△ABF2的周长为4a，所以4a＝16，即a＝4，a2＝16，b2＝8，
则椭圆的标准方程为＋＝1．
3．已知F1，F2分别为椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线l交椭圆C于A，B两点．若△AF2B是边长为4的等边三角形，则椭圆C的方程为(　　)
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
B　解析：如图所示，

因为△ABF2是边长为4的等边三角形，
所以|AF2|＝4，|AF1|＝|AB|＝2，所以2a＝|AF1|＋|AF2|＝6，所以a＝3．
又因为|F1F2|＝2c＝＝2，所以c＝，则b2＝a2－c2＝6，
故椭圆C的方程为＋＝1．故选B．

椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积、弦长、最值和离心率等．
(2)椭圆的定义常和余弦定理、正弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题．

考点2　椭圆的标准方程——综合性

(1)“－3＜m＜4”是“方程＋＝1表示椭圆”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
B　解析：因为方程＋＝1表示椭圆的充要条件是
解得－3 (2)(2021·深圳二模)已知椭圆C：＋＝1(a＞0)的右焦点为F，O为坐标原点，C上有且只有一个点P满足|OF|＝|FP|，则椭圆C的方程为(　　)
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
D　解析：根据对称性知点P在x轴上，|OF|＝|FP|，故a＝2c，a2＝3＋c2，解得a＝2，c＝1，
故椭圆C的方程为＋＝1．

本例(1)中椭圆的方程式变为＋＝1，若焦距为4，则m的值为________．
7或11　解析：在椭圆＋＝1中，由已知可得2c＝4，解得c＝2．
若椭圆的焦点在x轴上，可得解得m＝7；
若椭圆的焦点在y轴上，可得解得m＝11．
因此，m＝7或11．

1．求椭圆标准方程的两种方法
(1)定义法：先根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义，并确定a2，b2的值，再结合焦点位置写出椭圆方程．特别地，利用定义法求椭圆方程要注意条件2a＞|F1F2|．
(2)待定系数法：利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后根据条件建立关于a，b的方程组．如果焦点位置不确定，可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)的形式．
2．椭圆的标准方程的两个应用
(1)方程＋＝1(a＞b＞0)与＋＝λ(λ＞0)有相同的离心率．
(2)与椭圆＋＝1(a＞b＞0)共焦点的椭圆系方程为＋＝1(a＞b＞0，b2＋k＞0)，恰当运用椭圆系方程，可使运算简便．

1．一个椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆的方程为(　　)
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
A　解析：设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．由点P(2，)在椭圆上知＋＝1．
又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，即2a＝2×2c，＝．又c2＝a2－b2，联立得a2＝8，b2＝6，故椭圆方程为＋＝1．
2．过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________．
＋＝1　解析：(方法一)椭圆＋＝1的焦点为(0，－4)，(0,4)，即c＝4．
由椭圆的定义知，2a＝＋，解得a＝2．
由c2＝a2－b2得b2＝4．所以所求椭圆的标准方程为＋＝1．
(方法二)因为所求椭圆与椭圆＋＝1的焦点相同，所以其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16．设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．因为c2＝16，且c2＝a2－b2，所以a2－b2＝16．①
又点(，－)在所求椭圆上，所以＋＝1，即＋＝1．②
由①②得b2＝4，a2＝20，所以所求椭圆的标准方程为＋＝1．

考点3　椭圆的几何性质——应用性

考向1　求离心率(或范围)
(1)设F1，F2是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线x＝上一点．若△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则椭圆E的离心率为(　　)
A． B．
C． D．
B　解析：设直线x＝交x轴于点M，

因为△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，∠PF2M＝60°，＝＝2c，
在Rt△PF2M中，∠PMF2＝90°，∠MPF2＝30°，所以＝2．
因为P为直线x＝上一点，所以2＝2c，即a2＝2c2，所以e＝＝．
(2)(2022·青岛模拟)已知F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点．若椭圆C上存在点P，使得线段PF1的中垂线恰好经过焦点F2，则椭圆C的离心率的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
C　解析：如图所示，

因为线段PF1的中垂线经过点F2，
所以PF2＝F1F2＝2c，即椭圆上存在一点P，使得PF2＝2c．
所以2c≥a－c．所以e＝∈．

求椭圆离心率的方法
(1)直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解．
(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助b2＝a2－c2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解．
考向2　与椭圆有关的最值问题
已知F(2,0)为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点，过F且垂直于x轴的弦长为6．若A(－2，)，点M为椭圆上任一点，则|MF|＋|MA|的最大值为________．
8＋　解析：设椭圆的左焦点为F′，
由椭圆的右焦点为F(2,0)，得c＝2，又过F且垂直于x轴的弦长为6，即＝6，
则＝＝3，解得a＝4，
所以|MF|＋|MA|＝8－|MF′|＋|MA|＝8＋|MA|－|MF′|，
当M，A，F′三点共线时，|MA|－|MF′|取得最大值，
(|MA|－|MF′|)max＝|AF′|＝，
所以|MF|＋|MA|的最大值为8＋．

椭圆的范围与最值问题
(1)在设椭圆＋＝1(a>b>0)上点的坐标为P(x，y)时，有|x|≤a，|y|≤b，可以把椭圆上某一点的坐标视为某一函数问题，进而求函数的单调区间、最值．
(2)椭圆上点到焦点的最大距离为a＋c，最小距离为a－c；椭圆短轴端点与两焦点连线的夹角是椭圆上点与两焦点连线夹角的最大值．

1．已知F1，F2为椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左右焦点，在椭圆E上存在点P，满足＝且F2到直线PF1的距离等于b，则椭圆E的离心率为(　　)
A． B．
C． D．
B　解析：由已知得＝＝2c，

根据椭圆的定义可得＋＝2a⇒＝2a－2c．
又F2到直线PF1的距离等于b，即＝b．
由等腰三角形三线合一的性质可得：F2H⊥PF1，
可列方程：
(a－c)2＋b2＝(2c)2⇒a2－ac－2c2＝0
⇒(a－2c)(a＋c)＝0⇒a－2c＝0⇒e＝．故选B．
2．设P是椭圆＋＝1上一点，M，N分别是两圆：(x＋4)2＋y2＝1和(x－4)2＋y2＝1上的点，则|PM|＋|PN|的最小值、最大值分别为(　　)
A．9,12 B．8,11
C．8,12 D．10,12
C　解析：如图所示，因为两个圆心恰好是椭圆的焦点，由椭圆的定义可知|PF1|＋|PF2|＝10，易知|PM|＋|PN|＝(|PM|＋|MF1|)＋(|PN|＋|NF2|)－2，则其最小值为|PF1|＋|PF2|－2＝8，最大值为|PF1|＋|PF2|＋2＝12．



设椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2．若椭圆上存在点P，使∠F1PF2＝90°，求离心率e的取值范围．
[四字程序]
读
想
算
思
在椭圆上存在点P，使得∠F1PF2为直角
1．在焦点三角形中可利用哪些性质或结论
2．离心率的表达式有哪些
构建点P的横坐标x与a，b，c的关系式，利用椭圆的有界性求解
转化与化归，函数与方程
求椭圆离心率e的取值范围
1．在焦点三角形中要注意应用：
①椭圆的定义．
②勾股定理或余弦定理．
③三角形的面积公式
2．e＝或e＝
x2＝
1．椭圆的有界性．
2．一元二次方程有实根的条件


思路参考：利用曲线范围．
解：设P(x，y)，又知F1(－c,0)，F2(c,0)，
则＝(x＋c，y)，＝(x－c，y)．
由∠F1PF2＝90°，知⊥，
则·＝0，
即(x＋c)(x－c)＋y2＝0，
得x2＋y2＝c2．
将这个方程与椭圆方程＋＝1联立，
消去y，可得x2＝．
由椭圆的取值范围及∠F1PF2＝90°，
知0≤x2 即0≤ 可得c2≥b2，即c2≥a2－c2且c2 从而得e＝≥，且e＝<1，
所以e∈．

思路参考：利用二次方程有实根．
解：由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a⇒|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝4a2．
又由∠F1PF2＝90°，
知|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，
可得|PF1||PF2|＝2(a2－c2)．
因此，|PF1|与|PF2|是方程x2－2ax＋2(a2－c2)＝0的两个实根，
所以Δ＝4a2－8(a2－c2)≥0⇒e2＝≥⇒e≥．
所以e∈．

思路参考：利用三角函数有界性．
解：记∠PF1F2＝α，∠PF2F1＝β，由正弦定理有＝＝，即＝|F1F2|．
又|PF1|＋|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c，则有e＝＝＝＝．
由0°≤|α－β|<90°，
知0°≤<45°，
所以 从而可得≤e<1．

思路参考：利用基本不等式．
解：由椭圆定义，有2a＝|PF1|＋|PF2|，平方后得4a2＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|≤2(|PF1|2＋|PF2|2)＝2|F1F2|2＝8c2，当且仅当|PF1|＝|PF2|时取等号，得≥，所以e∈．

思路参考：巧用图形的几何特性．
解：由∠F1PF2＝90°，知点P在以|F1F2|＝2c为直径的圆上．
又点P在椭圆上，因此该圆与椭圆有公共点P，
故有c≥b⇒c2≥b2＝a2－c2，
由此可得e∈．

思路参考：双焦点最大张角．
解：设B1为上顶点，则双焦点最大张角为∠F1B1F2．
由已知∠F1B1F2≥90°，
所以∠OB1F2≥45°，
tan ∠OB1F2≥1，即≥1，c2≥b2，c2≥a2－c2，
得≥，所以有e∈．

1．本题考查椭圆离心率范围的求解，解题的基本策略是根据离心率的表达式，利用函数、方程、不等式求解，也可以利用椭圆图形的性质解决．
2．基于课程标准，解答本题一般要熟练掌握离心率的表达式和椭圆的几何性质，试题的解答体现了数学运算和逻辑推理的核心素养．
3．基于高考评价体系，本题通过椭圆性质的相互联系和转化，体现了基础性和综合性．

设A，B是椭圆C：＋＝1长轴的两个顶点，若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是(　　)
A．(0,1]∪[9，＋∞)
B．(0，]∪[9，＋∞)
C．(0,1]∪[4，＋∞)
D．(0，]∪[4，＋∞)
A　解析：当0
图1
设M(x0，y0)，不妨设y0>0，A(－，0)，B(，0)．
则S△MAB＝y0＝|MA|·|MB|sinπ＝|MA|·|MB|，得|MA|·|MB|＝4y0．
＝(x0＋，y0)，＝(x0－，y0)，
故·＝(x0＋)(x0－)＋y＝||||·
cos π，
得x－3＋y＝－2y0．
因为M(x0，y0)在椭圆上，
所以＋＝1，
得x－3＝－y，
故－y＋y＝－2y0，
得y0＝≤，
解得0 当m>3时，如图2，

图2
设M(x0，y0)，不妨设x0>0，
则A(0，－)，B(0，)，
S△MAB＝x0＝|MA|·|MB|sinπ＝|MA|·|MB|，|MA|·|MB|＝x0，
＝(x0，y0＋)，＝(x0，y0－)，
所以·＝x＋(y0＋)(y0－)＝||·||cos π，
解得x＋y－m＝－x0．
因为M(x0，y0)在椭圆上，
所以＋＝1，
得y－m＝－x，
故－x＋x＝－x0，
解得x0＝≤，解得m≥9．
综上m≥9或0 故选A．