高考数学一轮复习第8章第8节第1课时直线与圆锥曲线的位置关系学案

这是一份高考数学一轮复习第8章第8节第1课时直线与圆锥曲线的位置关系学案，共9页。学案主要包含了教材概念·结论·性质重现，基本技能·思想·活动经验等内容，欢迎下载使用。
第八节　直线与圆锥曲线的位置关系考试要求：1．通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想．2．了解椭圆、双曲线和抛物线的简单应用．第1课时　直线与圆锥曲线的位置关系一、教材概念·结论·性质重现1．直线与圆锥曲线的位置关系的判定(1)代数法：把圆锥曲线方程C与直线方程l联立消去y，整理得到关于x的方程ax2＋bx＋c＝0．方程ax2＋bx＋c＝0的解l与C的交点个数a＝0b＝0无解(含l是双曲线的渐近线)0 b≠0有一解(含l与抛物线的对称轴平行(重合)或与双曲线的渐近线平行)1a≠0Δ＞0两个不相等的解2Δ＝0两个相等的解1Δ＜0无实数解0(2)几何法：在同一直角坐标系中画出圆锥曲线和直线，利用图象和性质可判定直线与圆锥曲线的位置关系．(1)直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线一定相切．当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线也相交于一点．(2)直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外，易忽视直线与对称轴平行或重合时也与抛物线相交于一点的情况．2．直线与圆锥曲线的相交弦长问题设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝|x1－x2|＝＝|y1－y2|＝．解决直线与圆锥曲线的弦长问题的规律：联立方程求交点，由根与系数的关系求出x1＋x2，x1x2，代入弦长公式求弦长．二、基本技能·思想·活动经验1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．(1)直线l与椭圆C相切的充要条件是：直线l与椭圆C只有一个公共点．                             (　√　)(2)直线l与双曲线C相切的充要条件是：直线l与双曲线C只有一个公共点．                            (　×　)(3)经过抛物线上一点有且只有一条直线与抛物线有一个公共点．                             (　×　)(4)过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点．                             (　√　)2．直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为(　　)A．相交   B．相切C．相离   D．不确定A　解析：直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1,1)．又点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交． 3．直线y＝x＋3与双曲线－＝1的交点个数是(　　)A．1   B．2  C．1或2   D．0A　解析：因为直线y＝x＋3与双曲线的渐近线y＝x平行，所以它与双曲线只有1个交点．4．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若A，B两点的横坐标之和为，则|AB|＝(　　)A．   B．  C．5   D．D　解析：过抛物线的焦点的弦长公式为|AB|＝p＋x1＋x2．因为p＝2，所以|AB|＝2＋＝．5．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有(　　)A．1条   B．2条  C．3条   D．4条C　解析：过(0,1)与抛物线y2＝4x相切的直线有2条，过(0,1)与对称轴平行的直线有一条，这三条直线与抛物线都只有一个公共点．考点1　直线与圆锥曲线的位置关系——基础性1．已知直线y＝kx＋t与圆x2＋(y＋1)2＝1相切且与抛物线C：x2＝4y交于不同的两点M，N，则实数t的取值范围是(　　)A．(－∞，－3)∪(0，＋∞)B．(－∞，－2)∪(0，＋∞)C．(－3,0)D．(－2,0)A　解析：因为直线与圆相切，所以＝1，即k2＝t2＋2t．将直线方程代入抛物线方程并整理得x2－4kx－4t＝0，于是Δ＝16k2＋16t＝16(t2＋2t)＋16t>0，解得t>0或t<－3．故选A．2．(2021·武汉调研)已知直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝4的右支有两个交点，则k的取值范围为(　　)A．   B．C．   D．D　解析：方法一：联立直线与双曲线的方程，得消去y得(1－k2)x2＋2kx－5＝0，由题意知k≠±1．设直线与双曲线的两个交点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，所以即整理得整理1<k<，所以实数k的取值范围是．故选D．方法二：因为直线y＝kx－1恒过定点(0，－1)，双曲线x2－y2＝4的渐近线方程为y＝±x，要使直线y＝kx－1与双曲线的右支有两个交点，则需k>1．当直线y＝kx－1与双曲线的右支相切时，方程kx－1＝，即(1－k2)x2＋2kx－5＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝(2k)2＋20(1－k2)＝0，得k＝(负值舍去)，要使直线y＝kx－1与双曲线的右支有两个交点，则需k<．综上，实数k的取值范围是．故选D．解决直线与圆锥的位置关系问题的注意点(1)联立直线与圆锥曲线的方程消元后，易忽视讨论二次项系数是否为零的情况．(2)判断直线与圆锥曲线位置关系时，判别式Δ起着关键性的作用，一可以限定所给参数的范围；二可以取舍某些解以免产生增根．考点2　弦长问题——综合性(2021·北京海淀区模拟)已知椭圆C：＋＝1，直线l：x＋y－2＝0与椭圆C相交于两点P，Q，与x轴交于点B，点P，Q与点B不重合．(1)求椭圆C的离心率；(2)当S△OPQ＝2时，求椭圆C的方程；(3)过原点O作直线l的垂线，垂足为N．若|PN|＝λ|BQ|，求实数λ的值．解：(1)a2＝3m，b2＝m，c2＝2m，e2＝＝，故e＝．(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，y1y2≠0，将x＋y－2＝0代入椭圆C的方程并整理得4x2－12x＋12－3m＝0．依题意，由Δ＝(－12)2－4×4×(12－3m)＞0得m＞1，且有所以|PQ|＝|x1－x2|＝·＝．原点到直线l的距离d＝，所以S△OPQ＝|PQ|·d＝×·×＝2，解得m＝＞1，故椭圆方程为＋＝1．(3)直线l的垂线为ON：y＝x，由解得交点N(1,1)．因为|PN|＝λ|BQ|，又x1＋x2＝3，所以λ＝＝＝＝1，故λ的值为1．直线与圆锥曲线相交时弦长的求法(1)定义法：过圆锥曲线的焦点的弦长问题，利用圆锥曲线的定义可优化解题．(2)点距法：将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，再运用两点间距离公式求弦长．(3)弦长公式法：体现了解析几何中设而不求的思想，其实质是利用两点之间的距离公式以及一元二次方程根与系数的关系．(2022·济南模拟)已知抛物线E：y2＝2px(p＞0)上一点M(4，y0)到焦点F的距离为5．(1)求抛物线E的方程；(2)直线l与圆C：x2＋y2－4x＝0相切且与抛物线E相交于A，B两点，若△AOB的面积为4(O为坐标原点)，求直线l的方程．解：(1)由抛物线的定义知4＋＝5，所以p＝2，因此，抛物线E的方程为y2＝4x．(2)由题意知，直线l与y轴不垂直，设直线l的方程为x＝my＋n．因为直线l与圆C相切，又圆C的圆心为(2,0)，半径为2，所以＝2，所以4m2＝n2－4n．设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去x得y2－4my－4n＝0，Δ＝(－4m)2＋16n＝16m2＋16n>0．由根与系数的关系得y1＋y2＝4m，y1y2＝－4n．则|AB|＝·|y1－y2|＝·＝·＝4·．又原点O到直线l的距离为d＝，所以S△AOB＝|AB|·d＝×4··＝2，所以2＝4，所以(m2＋n)n2＝4．又4m2＝n2－4n，解得n＝±2．当n＝2时，m2＝－1不成立；当n＝－2时，m2＝3，所以m＝±．经检验，所求直线方程为x＝±y－2，即x±y＋2＝0．考点3　中点弦问题——应用性考向1　由中点确定直线方程已知直线l与抛物线C：y2＝4x相交于A，B两点，若线段AB的中点为(2,1)，则直线l的方程为(　　)A．y＝x－1  　　 B．y＝－2x＋5C．y＝－x＋3  　　 D．y＝2x－3D　解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有①－②得y－y＝4(x1－x2)．由题可知x1≠x2．所以＝＝＝2，即kAB＝2，所以直线l的方程为y－1＝2(x－2)，即y＝2x－3．故选D．考向2　由中点确定曲线方程或参数的值已知直线y＝1－x与双曲线ax2＋by2＝1(a>0，b<0)的渐近线交于A，B两点，且过原点O和线段AB中点的直线的斜率为－，则的值为(　　)A．－  　　 B．－C．－  　　 D．－A　解析：由双曲线ax2＋by2＝1知其渐近线方程为ax2＋by2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有ax＋by＝0①，ax＋by＝0②，由①－②得a(x－x)＝－b(y－y)．即a(x1＋x2)(x1－x2)＝－b(y1＋y2)(y1－y2)，由题意可知x1≠x2，且x1＋x2≠0，所以·＝－，设AB的中点为M(x0，y0)，则kOM＝＝＝＝－，又知kAB＝－1，所以－×(－1)＝－，所以＝－．故选A．本例的条件不变，试求双曲线的离心率．解：因为a>0，b<0，所以双曲线的焦点在x轴上，标准方程为－＝1，所以e＝＝＝＝＝．处理中点弦问题的常用方法(1)点差法，即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2，三个未知量，这样就直接将中点和直线的斜率联系起来，借用中点公式即可求得斜率．用点差法求直线方程后需验证直线与圆锥曲线是否相交．(2)根与系数的关系，即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解．1．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，直线l与椭圆C交于A，B两点，且线段AB的中点为M(－2,1)，则直线l的斜率为(　　)A．   B．  C．   D．1C　解析：由e＝＝，得＝＝，所以a2＝4b2，则椭圆方程为x2＋4y2＝4b2．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－4，y1＋y2＝2，把A，B的坐标代入椭圆方程得，①－②得(x1－x2)(x1＋x2)＝－4(y1－y2)(y1＋y2)，所以＝－＝－＝．所以直线l的斜率为．2．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)，倾斜角为的直线交C于A，B两点．若线段AB中点的纵坐标为2，则p的值为(　　)A．   B．1  C．2   D．4C　解析：方法一：根据题意，设直线AB的方程为x＝y＋m，由得y2－2py－2pm＝0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则Δ＝(－2p)2－4×(－2pm)＝12p2＋8pm>0，y1＋y2＝2p，所以＝p＝2，解得p＝2．故选C．方法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4，且＝tan ＝，由得(y1＋y2)(y1－y2)＝2p(x1－x2)，由题意知x1≠x2，所以(y1＋y2)·＝2p，即4×＝2p，得p＝2．故选C．