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    高考数学一轮复习第10章第1节两个计数原理、排列与组合学案

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    高考数学一轮复习第10章第1节两个计数原理、排列与组合学案

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    这是一份高考数学一轮复习第10章第1节两个计数原理、排列与组合学案,共9页。学案主要包含了教材概念·结论·性质重现,基本技能·思想·活动经验等内容,欢迎下载使用。
    第一节 两个计数原理排列与组合考试要求:理解排列组合的概念排列数公式及组合数公式并能利用公式解决一些简单的实际问题.一、教材概念·结论·性质重现1两个计数原理 分类加法计数原理分步乘法计数原理条件完成一件事有两类不同方案在第1类方案中有m种不同的方法在第2类方案中有n种不同的方法完成一件事需要两个步骤做第1步有m种不同的方法做第2步有n种不同的方法结论完成这件事共有Nmn种不同的方法完成这件事共有Nm×n种不同的方法 两个计数原理的区别分类加法计数原理针对分类问题,其中各种方法相互独立,用其中任何一种方法都可以做完这件事;分步乘法计数原理针对分步问题,各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了才算完成这件事.2排列与组合的定义排列的定义n个不同元素中取出m(mn)个元素按照一定的顺序排成一列组合的定义作为一组3排列数、组合数的定义、公式、性质 排列数组合数定义n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同排列的个数n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同组合的个数公式An(n1)(n2)·…·(nm1)C性质An0!=1CCCCC (1)“排列组合的辨析排列与组合最根本的区别在于有序无序.取出元素后交换顺序,如果与顺序有关,则是排列;如果与顺序无关,则是组合.(2)①排列数与组合数之间的联系:CAA两种形式:连乘积形式与阶乘形式.前者多用于数字计算,后者多用于含有字母的排列数式子的变形与论证.二、基本技能·思想·活动经验1判断下列说法的正误对的打“√”,错的打“×”.(1)在分类加法计数原理中两类不同方案中的方法可以相同.                             ( × )(2)在分类加法计数原理中每类方案中的方法都能直接完成这件事.                             (  )(3)所有元素完全相同的两个排列为相同排列. ( × )(4)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同. (  )(5)CCxm成立.  ( × )2(2021·洛阳期中)教学楼共有6层楼每层都有南北两个楼梯从一楼到六楼的走法共有(  )A25   B52  C62   D26A 解析:根据题意,教学楼共有6层,共5层楼梯,每层均有两个楼梯,即每层有2种走法,则一共有2×2×2×2×225种走法.故选A3中国有十二生肖又叫十二属相每一个人的出生年份对应了十二种动物()中的一种.现有十二生肖的吉祥物各一个三位同学依次选一个作为礼物甲同学喜欢牛和马乙同学喜欢牛狗和羊丙同学哪个吉祥物都喜欢.如果让三位同学选取礼物都满意则选法有(  )A30   B50C60   D90B 解析:甲同学选择牛,乙有2种,丙有10种,选法有1×2×1020种,甲同学选择马,乙有3种,丙有10种,选法有1×3×1030种,所以总共有203050种.故选B44位同学每人从甲3门课程中选修2则恰有2人选修课程甲的不同选法共有(  )A12   B24  C30   D36B 解析:由题意知本题是一个分步乘法计数问题.因为恰有2人选修课程甲,共有C6种结果,所以选甲的两个人再选一门课程各有两种选法,共有2×24种结果,余下的两个人只有1种选法,根据分步乘法计数原理知共有6×4×124种结果.故选B52名女生4名男生中选3人参加学科竞赛且至少有1名女生入选则不同的选法共有________种.(用数字作答)16 解析:方法一:可分两种情况:第一种情况,只有1名女生入选,不同的选法有CC12();第二种情况,有2名女生入选,不同的选法有CC4().根据分类加法计数原理知,至少有1名女生入选的不同的选法共有12416()方法二:从6人中任选3人,不同的选法共有C20().从6人中任选3人都是男生,不同的选法有C4().所以,至少有1名女生入选的不同的选法共有20416()考点1 两个计数原理——应用性1(2021·江苏统考)下图是某项工程的网络图(单位:天)则从开始节点到终止节点的路径共有(  )A14   B12  C9   D7B 解析:由图可知,由3条路径,由2条路径,由2条路径,根据分步乘法计数原理可得从共有3×2×212条路径.故选B2用数字3,6,9组成四位数各数位上的数字允许重复且数字3至多出现一次则可以组成的四位数的个数为(  )A81   B48  C36   D24B 解析:根据题意,数字3至多出现一次,分2种情况讨论:数字3不出现,此时四位数的每个数位都可以为69,都有2种情况,则此时四位数有2×2×2×216个;数字3出现1次,则数字3出现的情况有4种,剩下的三个数位,可以为69,都有2种情况,此时四位数有4×2×2×232个,故有163248个四位数.故选B3(2022·威海模拟)已知一个不透明的袋子中放有编号分别为1,2,3,4,5,6,77个大小形状相同的小球.小明从袋子中有放回地取3次球每次只取一个球3次取出的球的编号相乘的结果为偶数相加的结果为奇数则不同的取球方法种数为(  )A712   B216  C108   D72C 解析:根据3次取出的球的编号相乘的结果为偶数、相加的结果为奇数可知,有一次取出的球的编号为奇数,2次取出的球的编号为偶数,先确定哪一次得到奇数号球,然后从4个奇数号球中取一个,再每次都从3个偶数号球中任取一个(有放回取球)故满足题意的取球方法有3×4×3×3108()4现有5种不同颜色的染料要对如图所示的四个不同区域进行涂色要求有公共边的两个区域不能使用同一种颜色则不同的涂色方法的种数是(  )A120   B140  C240   D260  D 解析:先涂A处共有5种涂法,再涂B处有4种涂法,最后涂C处,若C处与A处所涂颜色相同,则C处共有1种涂法,D处有4种涂法;若C处与A处所涂颜色不同,则C处有3种涂法,D处有3种涂法,由此可得不同的涂法方法有5×4×(1×43×3)260(),故选D两个计数原理的应用(1)应用两个计数原理的难点在于明确是分类还是分步:分类要做到不重不漏,正确把握分类标准是关键;分步要做到步骤完整,步步相连才能将事件完成.(2)较复杂的问题可借助图表来完成.(3)对于涂色问题:分清元素的数目以及在不相邻的区域内是否可以使用同类元素.注意对每个区域逐一进行,分步处理.考点2 排列与组合——综合性(1)(2021·全国高考乙卷)5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰短道速滑冰球和冰壶4个项目进行培训每名志愿者只分配到1个项目每个项目至少分配1名志愿者则不同的分配方案共有(  )A60   B120C240   D480C 解析:5名志愿者选21组,有C种方法,然后4组进行全排列,有A种,共有CA240种.故选C(2)现有16张不同的卡片其中红色黄色蓝色绿色卡片各4从中任取3要求这3张卡片不能是同一种颜色且红色卡片至多1不同取法的种数为(  )A232   B252  C472   D484C 解析:分两类:第一类,含有1张红色卡片,不同的取法共有CC264()第二类,不含有红色卡片,不同的取法共有C3C22012208()由分类加法计数原理知,不同的取法有264208472()1有限制条件的排列问题的常用方法(1)对于有限制条件的排列问题,分析问题时有位置分析法、元素分析法,在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则,即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置,对于分类过多的问题可以采用间接法.(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法.2组合问题的常见类型与处理方法(1)含有不含有某些元素的组合题型:含有,则先将这些元素取出,再由另外元素补足;不含有,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中选取.(2)至少至多含有几个元素的题型:若直接法分类复杂时,可逆向思维,间接求解.考点3 分组分配问题——综合性考向1 整体均分问题教育部为了发展贫困地区教育在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生毕业后要分到相应的地区任教.现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教______种不同的分派方法.90 解析:先把6个毕业生平均分成3组,有种方法,再将3组毕业生分到3所学校,有A6种方法,故6个毕业生平均分到3所学校,共有·A90种分派方法.解决分组问题的关键是如何删去重复排列的组数.一般地,若为平均分组,则应用n个元素分组得到的排列种数除以组数的全排列;若为不平均分组,则应按照实际情况分析重复排列的种数,然后再进行相应计算.考向2 部分均分问题6本不同的书分给甲4个人每人至少1本的不同分法共有________种.(用数字作答)1 560 解析:6本不同的书分成4组,每组至少1本的分法有2种.13本,其余3组每组1本,不同的分法共有20()2组每组2本,其余2组每组1本,不同的分法共有·45()所以不同的分组方法共有204565()然后把分好的4组书分给4个人,所以不同的分法共有65×A1 560()考向3 不等分问题(1)8个相同的小球全部放入编号为1,2,3,4的四个盒中则不同的放法种数为(  )A35   B70  C165   D1 860C 解析:根据题意,分4种情况讨论:没有空盒,将8个相同的小球排成一列,排好后,各球之间共有7个空位,在7个空位中任选3个,插入隔板,将小球分成4组,顺次对应4个盒子,有C35种放法;1个空盒,在4个盒中任选3个,放入小球,有C4种选法,将8个相同的小球排成一列,排好后,各球之间共有7个空位,在7个空位中任选2个,插入隔板,将小球分成3组,顺次对应3个盒子,有C21种分组方法,则有4×2184种放法;2个空盒,在4个盒中任选2个,放入小球,有C6种选法,将8个相同的小球排成一列,排好后,各球之间共有7个空位,在7个空位中任选1个,插入隔板,将小球分成2组,顺次对应2个盒子,有C7种分组方法,则有6×742种方法;3个空盒,即将8个小球全部放进1个盒子,有4种放法.故一共有3584424165种放法.(2)若将6名教师分到3所中学任教一所1一所2一所3则有________种不同的分法.360 解析:6名教师分组,分三步完成:1步,在6名教师中任取1名作为一组,有C种分法;2步,在余下的5名教师中任取2名作为一组,有C种分法;3步,余下的3名教师作为一组,有C种分法.根据分步乘法计数原理,共有CCC60种分法.再将这3组教师分配到3所中学,有A6种分法,故共有60×6360种不同的分法.1局部均分问题,解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数,即若有m组元素个数相等,则分组时应除以m,一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数.2不均分问题,实质上是先分组后排列的问题,即分组方案数乘以不同对象数的全排列数.简单地说,解不等分配题的一般原则:先分组后排列.3整体均分问题,解题时要注意分组后,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后一定要除以A(n为均分的组数),避免重复计数.1.将六名教师分配到甲丁四所学校任教其中甲校至少分配两名教师其他三所学校至少分配一名教师则不同的分配方案共有________种.(用数字作答)660 解析:若甲校2人,乙、丙、丁其中一校2人,共有CCA种;若甲校3人,乙、丙、丁每校1人,共有CA种.则不同的分配方案共有CCACA660种.26本不同的书按照以下要求处理各有几种分法?(1)甲得一本乙得二本丙得三本;(2)平均分成三堆;(3)丙每人至少得一本.解:(1)分成三堆的方法有CCC种,而每种分组方法仅对应一种分配方法,故甲得一本,乙得二本,丙得三本的分法为CCC60 ()(2)6本不同的书平均分成三堆,有15()分法.(3)共计分为3类:按照4,1,1分,共有C·C·C·390()方法;按照3,2,1分,共有C·C·C·A360()分法;按照2,2,2分,共有C·C·C90()分法.故共有9036090540()分法. 

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