高考数学一轮复习第6章思维深化微课堂寻找球心解决与球有关的问题学案

球与其他几何体的切、接问题，是近几年高考的热点，这种题目几乎在各省高考试题中都有涉及，主要考查直观想象和逻辑推理的核心素养．

解决与球有关的切、接问题，其通法是作截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题的思维流程是：

类型一　球与多面体的切、接问题

考向1　球与多面体的内切问题

已知正三棱锥的高为1，底面边长为2，内有一个球与四个面都相切，则棱锥的内切球的半径为________．

[思维架桥]　如图，过点P作PD⊥平面ABC于点D，连接AD并延长交BC于点E，连接PE，过点O作OF⊥PE于点F．

由条件可求DE＝1，PE＝．

易知EF＝DE＝1，设OD＝OF＝r．

由OP2＝OF2＋PF2，

求r＝－1．

所以棱锥的内切球的半径为－1．

解：如图，过点P作PD⊥平面ABC于点D，连接AD并延长交BC于点E，连接PE，过点O作OF⊥PE于点F．

由条件可求DE＝1，PE＝．

易知EF＝DE＝1，设OD＝OF＝r．

由OP2＝OF2＋PF2，

求r＝－1．

所以棱锥的内切球的半径为－1．

考向2　球与多面体的外接问题

在封闭的直三棱柱ABC­A1B1C1内有一个体积为V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是(　　)

A．4π   B．

C．6π   D．

[思维架桥]　利用勾股定理先求AC，若V最大，则球一定与直三棱柱的若干面相切．分别讨论球与直三棱柱侧面相切或与上下底面相切两种情况，可得球的最大体积V．

B　解析：因为AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，

所以AC＝10．

故三角形ABC的内切圆半径满足＝，

可得r＝2，

故直三棱柱ABC­A1B1C1的内切球半径为，

此时V的最大值为π×＝．故选B．

[应用体验]

在三棱锥P­ABC中，AB＝BC＝，AC＝6，PC⊥平面ABC，PC＝2，则该三棱锥的外接球表面积为________．

　解析：由题可知，△ABC中AC边上的高为＝，球心O在底面ABC的投影即为△ABC的外心D，设DA＝DB＝DC＝x，所以x2＝32＋(－x)2，解得x＝，所以R2＝x2＋＝＋1＝(其中R为三棱锥外接球的半径)，所以外接球的表面积S＝4πR2＝．

类型二　球与旋转体的切、接问题

如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是________．

[思维架桥]　内切球的半径与圆柱的底面圆半径相等，圆柱的高是内切球的直径，利用体积公式即可得到．

　解析：设球O的半径为r，则＝＝．

“切”的处理方法：首先要找准切点，通过作截面来解决，截面过球心．

[应用体验]

如图，半径为R的球的两个内接圆锥有公共的底面．若两个圆锥的体积之和为球的体积的，则这两个圆锥的高之差的绝对值为(　　)

A．   B． 

C．   D．R

D　解析：设球的球心为O，半径为R，体积为V，上面圆锥的高为h(h<R)，体积为V1，下面圆锥的高为H(H>R)，体积为V2，两个圆锥共用的底面的圆心为O1，半径为r．由球和圆锥的对称性可知h＋H＝2R，|OO1|＝H－R．因为V1＋V2＝V，所以πr2h＋πr2H＝×πR3，所以r2(h＋H)＝R3．因为h＋H＝2R，所以r＝R．因为OO1垂直于圆锥的底面，所以OO1垂直于底面的半径，由勾股定理可知R2＝r2＋|OO1|2，所以R2＝r2＋(H－R)2，所以H＝R，所以h＝R，则这两个圆锥的高之差的绝对值为R．故选D．