2023年安徽省合肥市庐江县新民中学中考数学一模试卷(含解析)
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一、选择题(本大题共10小题,共40.0分。在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)
1. 下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
2. 已知,则代数式的值为( )
A. B. C. D.
3. 的算术平方根是( )
A. B. C. D.
4. 关于的一元二次方程有实数根,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
5. 若,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
6. 如图,两个全等的长方形与,旋转长方形能和长方形重合,则可以作为旋转中心的点有( )
A. 个
B. 个
C. 个
D. 无数个
7. 在线段、直线、角、等腰三角形、圆中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
8. 王刚同学在解关于的方程时,误将看作,结果解得,,则原方程的解为( )
A. , B. ,
C. , D. ,
9. 如果一个图形绕着一个点至少旋转度才能与它本身重合,则下列说法正确的是( )
A. 这个图形一定是中心对称图形
B. 这个图形既是中心对称图形,又是轴对称图形
C. 这个图形旋转度后能与它本身重合
D. 这个图形既不是中心对称图形,也不是轴对称图形
10. 一人患了流感,两轮传染后共有人感染了流感按这样的传染速度,若人患了流感,第一轮传染后患流感的人共有人.( )
A. B. C. D.
二、填空题(本大题共5小题,共20.0分)
11. 小王利用计算机设计了一个程序,输入和输出的数据如下表:
输入 | |||||
输出 |
那么当输入数据为时,输出的数据是______ .
12. 如图,若将点与点重合绕点顺时针旋转后得到,则点的对应点的坐标是______ .
13. 已知,则 ______ .
14. 等腰三角形的两边长为方程的两根,则这个等腰三角形的周长为______ .
15. 请写出一个两根互为倒数的一元二次方程______ .
三、解答题(本大题共8小题,共72.0分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
16. 本小题分
计算:.
17. 本小题分
解方程:
;
.
18. 本小题分
先化简,再求值:,其中.
19. 本小题分
已知关于的一元二次方程.
若是方程的一个根,求的值和方程的另一根;
若、是方程的两个实数根,且满足,求的值.
20. 本小题分
海伦秦九韶公式:如果一个三角形三边长分别为,,,设,则三角形的面积为.
用公式计算三角形的面积;
请想一想是否有其他方法?试试看.
21. 本小题分
如图,桌面内,直线上摆放着两块大小相同的直角三角板,它们中较小直角边的长为,较小锐角的度数为.
将沿直线翻折到如图的位置,与相交于点,请证明:;
将沿直线向左平移到的位置,使点落在上,你可以求出平移的距离,试试看;
将绕点逆时针方向旋转到图的位置,使点落在上,请求出旋转角的度数.
22. 本小题分
水果店花元进了一批水果,按的利润定价,无人购买决定打折出售,但仍无人购买,结果又一次打折后才售完经结算,这批水果共盈利元若两次打折相同,每次打了几折?
23. 本小题分
已知:如图,是边长为的等边三角形,动点、同时从、两点出发,分别沿、方向匀速移动,它们的速度都是,当点到达点时,、两点停止运动设点的运动时间为,解答下列问题:
当为何值时,是直角三角形?
是否存在某一时刻,使得四边形的面积是面积的?如果存在,求出相应的值;如果不存在,说明理由.
答案和解析
1.【答案】
【解析】解: ,故该选项不正确,不符合题意;
B. ,故该选项不正确,不符合题意;
C. ,故该选项正确,符合题意;
D. ,故该选项不正确,不符合题意.
故选:.
根据二次根式的性质以及二次根式的减法逐项分析判断即可求解.
本题考查了二次根式的性质以及二次根式的减法,熟练掌握二次根式的性质以及二次根式的减法法则是解题的关键.
2.【答案】
【解析】解:把代入得,原式.
故选:.
本题只需将的值代入代数式中,然后将所得分式分母有理化即可.
解决本题的关键是将分式的分母有理化.找出分母的有理化因式是解答此类问题的关键.本题可以代值后,分子提,再与分母约分.
3.【答案】
【解析】解:,
的算术平方根是,
故选:.
根据算术平方根的概念求值即可.
本题考查了算术平方根,掌握,是解题的关键.
4.【答案】
【解析】解:,,,
,
关于的一元二次方程有实数根,
,解得.
故选B.
判断上述方程的根的情况,只要看根的判别式的值的符号就可以了.
方程有实数根,则判别式应大于等于.
5.【答案】
【解析】解:由于二次根式的结果为非负数可知,
,解得,
故选D.
等式左边为算术平方根,结果为非负数,即.
本题利用了二次根式的结果为非负数求的取值范围.
6.【答案】
【解析】解:根据长方形的性质,对角线互相平分且相等,
所以对角线的交点是长方形的对称中心;
故长方形的对称中心是其对角线的交点,即的中点;
进而可得:可以作为旋转中心的点只有的中点.
故选A.
根据长方形的中心对称性,可得要旋转长方形能和长方形重合,必须以的中点为旋转中心,进而可得答案.
本题考查旋转的性质:旋转变化前后,对应线段、对应角分别相等,图形的大小、形状都不改变.
7.【答案】
【解析】解:在线段、直线、角、等腰三角形、圆中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的有线段,圆,共个,
故选:.
根据轴对称图形和中心对称图形的定义:如果一个平面图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫做轴对称图形;中心对称图形的定义:把一个图形绕着某一个点旋转,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点就是它的对称中心,进行逐一判断即可.
本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形,解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义.
8.【答案】
【解析】解:依题意得关于的方程的两根是:,.
则,
则原方程为,
整理,得
,
解得,.
故选:.
利用根与系数的关系求得的值;然后利用因式分解法解原方程即可.
本题考查了根与系数的关系.此题解得的值是解题的关键.
9.【答案】
【解析】解:旋转可以与原图形重合,则图形可以平分成个全等的部分,因而可能是轴对称图形,不可能是中心对称图形,故A,,D错误.
由于,这个图形旋转后能与它本身重合,故C选项正确.
故选:.
根据旋转对称性,至少旋转,旋转度可以与原图形重合,则图形可以平分成个全等的部分,因而是轴对称图形,不可能是中心对称图形,据此即可求解.
本题考查了旋转对称图形,要明确,旋转某一个角度后,图形与原图形重合,这样的图形称为旋转对称图形.
10.【答案】
【解析】解:设每轮传染中人传染给人,则第一轮传染后共人患流感,第二轮传染后共人患流感,
根据题意得:,
解得:,舍去,
.
故选:.
设每轮传染中人传染给人,则第一轮传染后共人患流感,第二轮传染后共人患流感,列出方程进行计算即可.
考查一元二次方程的应用,读懂题目,找出题目中的等量关系是解题的关键.
11.【答案】
【解析】解:依题意,,
,
,
当输入数据为时,输出的数据是,
故答案为:.
观察数据可得输入的数据先求算术平方根,然后乘以,即可求解.
本题考查了二次根式的乘法运算,数字类规律题,找到规律是解题的关键.
12.【答案】
【解析】解:由图知点的坐标为,根据旋转中心,旋转方向顺时针,旋转角度,画图,从而得点坐标为.
解题的关键是应抓住旋转的三要素:旋转中心,旋转方向,旋转角度,通过画图求解.
本题涉及图形变换--旋转,体现了新课标的精神,应抓住旋转的三要素:旋转中心,旋转方向,旋转角度,通过画图求解.
13.【答案】
【解析】解:,
,
,
,
故答案为:.
先将所求式子根据完全平方公式进行变形,代入求值后,再求平方根即可.
本题考查二次根式的化简求值,解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法.
14.【答案】
【解析】解:,
因式分解,得,
解得,,等腰三角形的边长是方程的两个根,这个等腰三角形的两边长为,,
当边长为的边为腰时,这个等腰三角形的三边长为,,,
此时,不满足三角形的三边关系定理,舍去;
当边长为的边为腰时,这个等腰三角形的三边长为,,,
此时,满足三角形的三边关系定理,
则这个等腰三角形的周长为;
综上,这个等腰三角形的周长为,
故答案为:.
先利用因式分解法求出方程的两个根,从而可得等腰三角形的两边长,再根据等腰三角形的定义、三角形的三边关系定理可得这个等腰三角形的三边长,然后利用三角形的周长公式即可得.
本题考查了解一元二次方程、等腰三角形的定义、三角形的三边关系定理等知识点,熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键.
15.【答案】答案不唯一
【解析】解:一元二次方程两根互为倒数,
且.
一元二次方程可以是:.
故答案为:答案不唯一.
根据题意以及一元二次方程根与系数的关系可得,判别式大于或等于,即可求解.
本题考查了一元二次方程根与系数的关系,熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键.
16.【答案】解法一:原式
;
解法二:原式
.
【解析】本题涉及二次根式化简运算.在计算时,需要针对每个部分分别进行计算,然后根据二次根式混合运算法则求得计算结果.
本题考查实数的综合运算能力,是各地中考题中常见的计算题型.解决此类题目的关键是掌握二次根式化简的方法,可以分母有理化,也可以约分.
17.【答案】解:,
,
即,
,
或,
;
,
,
,,
解得:.
【解析】根据因式分解法解一元二次方程即可求解;
根据因式分解法解一元二次方程即可求解.
本题考查了因式分解法解一元二次方程,熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键.
18.【答案】解:
,
,
原式.
【解析】根据分式的混合运算顺序,先算括号里的减法,再算乘法,化简即可,把的值代入化简后的式子中计算可求得结果的值.
本题考查了分式的化简求值,分母有理化,掌握分式的混合运算及实数的运算是解题的关键.
19.【答案】解:是方程的一个根,
,
解得:,
设方程的另一个根是,那么,
,
即方程的另一根为;
、是方程的两个实数根,
,,
又,
,
即,
得,
又,
得,
.
【解析】将代入,求得的值,然后利用根与系数的关系可以求出另外一个根;
,即,把两根的和与积代入,即可得到关于的方程,从而求得的值.
本题考查了一元二次方程根的定义,一元二次方程根与系数的关系和根的判别式,解题的关键是掌握它们并熟练应用.
20.【答案】解:,
.
如图所示,过点作,
设,则,
在中,,
在中,,
即,
解得:,
,
.
【解析】先求出的值,再代入公式即可;
如图所示,过点作,设,则,根据,得出,进而求得,根据三角形面积公式即可求解.
此题考查二次根式的应用,勾股定理,弄清海伦公式的计算方法以及勾股定理是解答此题的关键.
21.【答案】解:根据轴对称的性质可知,在与中,
,,,
≌.
.
根据平移的性质可知为平移的距离.
在中,,,
,.
,
∽,
::,
,
.
根据旋转的性质可知,为等边三角形,为旋转角.
旋转角为.
【解析】根据题意:由轴对称的性质容易证明:≌;故AF;
根据平移的性质可知为平移的距离,先求的长度,进而可得平移的距离.
绕点旋转的度数即的度数;易得为等边三角形,度.
本题考查平移、旋转的性质;平移的基本性质是:平移不改变图形的形状和大小;经过平移,对应点所连的线段平行且相等,对应线段平行且相等,对应角相等.旋转变化前后,对应线段、对应角分别相等,图形的大小、形状都不改变,两组对应点连线的垂直平分线的交点是旋转中心.
22.【答案】解:设每次打了折,根据题意得出:
,
解得:,舍,
答:每次打了折.
【解析】根据关系式:标价进价亏损,把相关数值代入即可求解.
此题主要考查了一元二次方程的应用,得到售价的等量关系是解决本题的关键,注意第二次打折是在第一次打折的基础上进行打折的.
23.【答案】解:设经过秒是直角三角形,
则,,
在中,,,
,
在中,,,
若是直角三角形,则或,
当时,,
即秒,
当时,,秒,
答:当秒或秒时,是直角三角形.
过作于,
在中,,
,
,
,
假设存在某一时刻,使得四边形的面积是面积的,
则,
,,
,
方程无解,
无论取何值,四边形的面积都不可能是面积的.
【解析】;然后在直角三角形中根据,的表达式和的度数进行求解即可;
先用的面积的面积表示出四边形的面积,然后根据题意四边形的面积等于三角形面积的,可得出一个关于的方程,如果方程无解则说明不存在这样的值,如果方程有解,那么求出的值即可.
本题考查的是等边三角形的性质、解一元二次方程,解直角三角形与三角形面积公式,根据题意作出辅助线,利用数形结合求解是解答此题的关键.
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