2023年甘肃省天水市清水县中考数学一模试卷（含解析）

2023年甘肃省天水市清水县中考数学一模试卷

一、选择题（本题共10小题，共30分）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  从时到时，钟表的时针旋转角的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  不等式的解集是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  解方程，以下去括号正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  若∽，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

6.  高尔基说：“书，是人类进步的阶梯”阅读可以丰富知识，拓展视野，充实生活，给我们带来愉快英才中学计划在各班设立图书角，为合理搭配各类书籍，学校团委以“我最喜爱的书籍”为主题，对全校学生进行抽样调查，收集整理喜爱的书籍类型科普，文学，体育，其他数据后，绘制出两幅不完整的统计图，则下列说法错误的是(    )

 

A. 样本容量为 B. 类型所对应的扇形的圆心角为
C. 类型所占百分比为 D. 类型的人数为人

7.  大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．如图，一个巢房的横截面为正六边形，若对角线的长约为，则正六边形的边长为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  船在静水中的速度为千米时，水流速度为千米时，从甲码头到乙码头再返回甲码头，共用了小时中途不停留，设甲、乙两码头的距离为千米，则下面所列方程正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

9.  如图，一条公路公路的宽度忽略不计的转弯处是一段圆弧，点是这段弧所在圆的圆心，半径，圆心角，则这段弯路的长度为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，在矩形中，是边上的一个动点，连接，，过点作射线，交线段的延长线于点，交边于点，且使得，如果，，，，其中则下列结论中，正确的个数为(    )
与的关系式为；
当时，∽；
当时，．

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本题共9小题，共28分）

11.  计算：          ．

12.  因式分解： ______ ．

13.  若一次函数的图象经过点，则______．

14.  如图，矩形中，，，点是边上一点，，连接，点是延长线上一点，连接，且，则 ______ ．

15.  如图，已知是的直径，是的切线，连接交于点，连接若，则的度数是______
 

16.  如图，在四边形中，，，在不添加任何辅助线的前提下，要想四边形成为一个矩形，只需添加的一个条件是______．

17.  如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为，则他距篮筐中心的水平距离是          
 

18.  如图，在矩形中，，，点，分别在边，上，，，交于点，若是的中点，则的长为______．

19.  化简： ______ ．

三、解答题（本题共9小题，共62分）

20.  计算：．

21.  如图，已知线段，，垂足为．
求作四边形，使得点，分别在射线，上，且，，；要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹
设，分别为中四边形的边，的中点，求证：直线，，相交于同一点．

 

22.  随着科学技术的不断进步，无人机被广泛应用到实际生活中，小星利用无人机来测量广场，两点之间的距离如图所示，小星站在广场的处遥控无人机，无人机在处距离地面的飞行高度是，此时从无人机测得广场处的俯角为，他抬头仰视无人机时，仰角为，若小星的身高，点，，，在同一平面内．
求仰角的正弦值；
求，两点之间的距离结果精确到．

 

23.  一个不透明的箱子里装有个红色小球和若干个白色小球，每个小球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复实验后，发现摸到红色小球的频率稳定于左右．
请你估计箱子里白色小球的个数；
现从该箱子里摸出个小球，记下颜色后放回箱子里，摇匀后，再摸出个小球，求两次摸出的小球颜色恰好不同的概率用画树状图或列表的方法．

24.  受疫情影响，某初中学校进行在线教学的同时，要求学生积极参与“增强免疫力、丰富学习生活”为主题的居家体育锻炼活动，并实施锻炼时间目标管理．为确定一个合理的学生居家锻炼时间的完成目标，学校随机抽取了名学生周累计居家锻炼时间单位：的数据作为一个样本，并对这些数据进行了收集、整理和分析，过程如下：
【数据收集】

【数据整理】
将收集的个数据按，，，，五组进行整理统计，并绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图说明：，，，，，其中表示锻炼时间；
【数据分析】

请根据以上信息解答下列问题：
填空：______；
补全频数分布直方图；
如果学校将管理目标确定为每周不少于，该校有名学生，那么估计有多少名学生能完成目标？你认为这个目标合理吗？说明理由．

25.  如图，在平面直角坐标系中，的斜边在轴上，坐标原点是的中点，，，双曲线经过点．
求；
直线与双曲线在第四象限交于点，求的面积．

 

26.  如图，是的直径，点是上异于、的点，连接、，点在的延长线上，且，点在的延长线上，且．
求证：是的切线；
若，，求的长．

27.  已知正方形，为对角线上一点．
【建立模型】
如图，连接，求证：；
【模型应用】
如图，是延长线上一点，，交于点．
判断的形状，并说明理由；
若为的中点，且，求的长．
【模型迁移】
如图，是延长线上一点，，交于点，求证：．

 

28.  如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点，在轴上，抛物线经过点，两点，且与直线交于另一点．
求抛物线的解析式；
为抛物线对称轴上一点，为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点，，，为顶点的四边形是以为边的菱形若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
为轴上一点，过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为，连接，，探究是否存在最小值若存在，请求出这个最小值及点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是：．
故选：．
根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．
本题考查了相反数，关键是在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
 

2.【答案】 

【解析】解：从时到时，钟表的时针旋转角的度数是，故选C．
时针小时走大格，大格为．
解决本题的关键是得到时针小时旋转的度数．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为得：．
故选：．
按照解一元一次不等式的步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项；化系数为即可得出答案．
本题考查了解一元一次不等式，掌握解一元一次不等式的步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项；化系数为是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了解一元一次方程，去括号法则，解题的关键是：括号前面是负号，把负号和括号去掉，括号的各项都要变号．
可以根据乘法分配律先将乘进去，再去括号．
【解答】
解：根据乘法分配律得：，
去括号得：，
故选：．  

5.【答案】 

【解析】解：∽，
，
，，
，
故选：．
根据∽，可以得到，然后根据，，即可得到的值．
本题考查相似三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用相似三角形的性质解答．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查统计图的知识，熟练掌握条形统计图和扇形统计图的知识是解题的关键．
根据类人占可计算样本容量，根据占可计算其所对扇形的圆心角度数，根据类人总样本容量即可得所占百分比，总样本容量减去，，三类人数即可得类人数．
【解答】
解：人，
样本容量为人，
故A正确．
，
类型所对应的扇形的圆心角为，
故B正确．
，
类型所占百分比为，
故C错误．
人，
类型的人数为人，
故D正确，
故选：．  

7.【答案】 

【解析】解：连接，，、交于点，如右图所示，
六边形是正六边形，的长约为，
，，和约为，
约为，
故选：．
根据正六边形的性质和题目中的数据，可以求得正六边形的边长．
本题考查多边形的对角线，解答本题的关键是明确正六边形的特点．
 

8.【答案】 

【解析】解：设甲、乙两码头的距离为千米，根据题意可得：
．
故选：．
直接利用从甲码头到乙码头再返回甲码头，共用了小时，进而得出等式即可．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确表示出往返所用时间是解题关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：半径，圆心角，
这段弯路的长度为：，
故选：．
根据题目中的数据和弧长公式，可以计算出这段弯路的长度．
本题考查圆心角、弧、弦的关系，解答本题的关键是明确弧长计算公式．
 

10.【答案】 

【解析】解：过点作于点，如图，

四边形是矩形，，
四边形是矩形，
，，
．
，，
∽，
，
．
．
．
的结论正确；
当时，，
，，
．
，
．
的结论正确；
由知：当时，∽，
．
，
．
．
．
．
由知：，
，．
，
．
，
解得：，
，
的结论错误，
综上，正确的结论为：，
故选：．
利用矩形的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的边角关系定理，勾股定理，平行线分线段成比例定理对每个选项的结论进行判断即可：过点作于点，利用矩形的判定与性质和相似三角形的判定与性质解答即可；利用相似三角形的判定定理解答即可；利用，的结论利用勾股定理和平行线分线段成比例定理求得，，再利用直角三角形的边角关系定理即可求得结论．
本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的边角关系定理，勾股定理，平行线分线段成比例定理，灵活应用相似三角形的判定与性质是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
直接利用同底数幂的除法运算法则计算得出答案．
此题主要考查了同底数幂的除法运算，正确掌握运算法则是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：
，
故答案为：．
提取公因式，即可得出答案．
本题考查了因式分解，掌握因式分解的各种方法的特点是解此题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：一次函数的图象经过点，
．
故答案为：．
利用一次函数图象上点的坐标特征可求出的值，此题得解．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图，连接，过点作于．

四边形是矩形，
，，，
，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
如图，连接，过点作于证明，利用平行线分线段成比例定理，解决问题即可．
本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是证明．
 

15.【答案】 

【解析】解：是的切线，
，
，
，
，
即的度数为，
故答案为：．
先根据切线的性质得，再利用互余计算出，由圆周角定理得出，即可得解．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．
 

16.【答案】答案不唯一 

【解析】解：需添加的一个条件是，理由如下：
，，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是矩形，
故答案为：答案不唯一．
先证四边形是平行四边形，再由矩形的判定即可得出结论．
本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查二次函数的运用，根据所建坐标系确定水平距离的求法是此题关键．
根据所建坐标系，水平距离就是时离他最远的距离．
【解答】
解：当时，，
，
，
解得：，，
故他距篮筐中心的水平距离是．
故答案为：．  

18.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，，，
，
，
，
是的中点，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
故答案为：．
根据矩形的性质可得，，，从而可得，然后利用直角三角形斜边上的中线可得，从而可得，进而可得，再证明∽，利用相似三角形的性质可求出的长，最后在中，利用勾股定理求出的长，即可解答．
本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质，直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．
 

19.【答案】解：原式

． 

【解析】直接化简二次根式，进而合并求出即可．
此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．
 

20.【答案】 

【解析】解：


．
故答案为：．
先把能分解的分子或分母进行分解，再约分，最后进行分式的加法运算即可．
本题主要考查分式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

21.【答案】解：如图，四边形为所作；

证明：设交于，交于，
，
，
，
，
，分别为边，的中点，
，，
，
，
点与点重合，
直线，，相交于同一点． 

【解析】先截取，再分别以、为圆心，为半径画弧，两弧交于点，然后过点作的垂线得到；
证明：设交于，交于，利用平行线分线段成比例定理得到，，则，于是可判断点与点重合．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线分线段成比例定理．
 

22.【答案】解：如图，过点作于，过点作于．
，
四边形为矩形，
，，
，
在中，，
即．
答：仰角的正弦值为．
在中，，
在中，，，
，
，
．
答：，两点之间的距离约为． 

【解析】如图，过点作于，过点作于，利用四边形为矩形得到，，则，然后根据正切的定义求解；
先利用勾股定理计算出，再在中利用正切的定义计算出，然后计算即可．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题：根据题意画出几何图形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．
 

23.【答案】解：通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在左右，
估计摸到红球的概率为，
设白球有个，
根据题意，得：，
解得，
经检验是分式方程的解，
估计箱子里白色小球的个数为；
画树状图为：

共有种等可能的结果数，其中两次摸出的球恰好颜色不同的结果数为，
两次摸出的小球颜色恰好不同的概率为． 

【解析】设白球有个，根据多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在左右可估计摸到红球的概率为，据此利用概率公式列出关于的方程，解之即可；
画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式求事件或的概率．
 

24.【答案】 

【解析】解：由数据可知，出现的次数最多，
．
故答案为：．
补全频数分布直方图如下：

名．
答：估计有名学生能完成目标．
目标合理．
理由：过半的学生都能完成目标．
由众数的定义可得出答案．
结合收集的数据，求出组的人数，即可补全频数分布直方图．
用总人数乘以样本中每周不少于的人数占比，即可得出答案；过半的学生都能完成目标，即目标合理．
本题考查频数分布直方图、用样本估计总体，从收集的数据中获取必要的信息是解决问题的关键．
 

25.【答案】解：如图，作于，

的斜边在轴上，坐标原点是的中点，，，
，，
，，
，
，，
，
，
双曲线经过点，
，
即；
设直线的解析式为，
，，
，
解得，
直线的解析式为，
直线与双曲线在第四象限交于点，
，
解得或，
在第四象限，
，
． 

【解析】作于，求出的长和的长确定点坐标即可；
求出直线的解析式，确定点坐标，再根据三角形的面积等于三角形面积加三角形面积即可求出．
本题主要考查反比例函数和一次函数的性质，三角形的面积等知识点，熟练掌握反比例函数的性质和求解三角形面积的方法是解题的关键．
 

26.【答案】证明：连接，

，
，
，
，
又是的直径，
，
，
，
即，
，
是半径，
是的切线
解：，且，
设，，
，
，
又，，
，
∽，
，
，
，
，
，
，
即的长为． 

【解析】连接，由等腰三角形的性质得出，由圆周角定理得出，证出，则可得出结论
设，，证明∽，由相似三角形的性质得出，求出的长，则可求出答案．
本题考查了圆周角定理、平行线的性质、等腰三角形的性质、切线的判定、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握切线的判定与相似三角形的判定和性质是解题的关键．
 

27.【答案】证明：是正方形的对角线，
，，
，
≌，
；
解：为等腰三角形，理由：
四边形是正方形，
，
，
由知，≌，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰三角形；
如图，过点作于，
四边形为正方形，点为的中点，，
，，
由知，，
，
，
在与中，，
，
，
，
在中，；
，
，
在中，，
，
由知，，
由知，，
． 

【解析】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数，作出辅助线构造出直角三角形是解的关键．
先判断出，，进而判断出≌，即可得出结论；
先判断出，进而判断出，即可得出结论；
过点作于，先求出，，进而求出，进而求出，最后用勾股定理即可求出答案；
先判断出，由知，，由知，，即可判断出结论．
 

28.【答案】解：由点的纵坐标知，正方形的边长为，
则，故点的坐标为，
则，解得，
故抛物线的表达式为；
存在，理由：
点、关于抛物线对称轴对称，故点的坐标为，
由抛物线的表达式知，其对称轴为直线，故设点的坐标为，
由点、的坐标得，，
设点的坐标为，
以点，，，为顶点的四边形是以为边的菱形，
故点向右平移个单位向上平移个单位得到点，则向右平移个单位向上平移个单位得到点，且，
则或，
解得或，
故点的坐标为或或或；

存在，理由：
设抛物线的对称轴交轴于点，将点向左平移个单位得到点，

连接，交函数的对称轴于点，过点作轴，则点、为所求点，此时为最小，
理由：，且，故四边形为平行四边形，则，
则为最小，
由点、的坐标得，直线的表达式为，
当时，，故点的坐标为，
则的最小值． 

【解析】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
求出点的坐标为，再用待定系数法即可求解；
以点，，，为顶点的四边形是以为边的菱形，故点向右平移个单位向上平移个单位得到点，则向右平移个单位向上平移个单位得到点，且，即可求解；
设抛物线的对称轴交轴于点，将点向左平移个单位得到点，连接，交函数的对称轴于点，过点作轴，则点、为所求点，此时为最小，进而求解．