2022-2023学年上海市长宁区延安初级中学八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年上海市长宁区延安初级中学八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共6小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列函数中，是一次函数的是(    )

A.  B.
C.  D. 、是常数

2.  直线在轴上的截距为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  在下列方程中，有实数根的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  如图，一次函数的图象经过、两点，则关于的不等式的解集是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  下列命题中，假命题是(    )

A. 平行四边形的对边相等 B. 正方形的对角线与一条边的夹角为度
C. 矩形的对角一定互补 D. 菱形是轴对称图形，对称轴是它的对角线

6.  在四边形中，是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是(    )

A. ，，
B. ，
C. ，
D. ，，

二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）

7.  函数中，的值随着的值增大而______ 填“增大”或“减小”
 

8.  方程的解是______ ．

9.  八边形的内角和是外角和的______倍．

10.  已知方程，如果设，那么原方程可化为关于的整式方程是______ ．

11.  如果直线经过第一、三、四象限，那么则的取值范围是______ ．

12.  方程组的解是______ ．

13.  如果关于的方程有实数解，那么的取值范围是______ ．

14.  已知直线与直线平行，则的值等于______ ．

15.  如果正方形的对角线长为，那么它的周长为______ ．

16.  如图，在矩形中，对角线、交于点，点在边上，联结，如果，，那么的度数为______ ．

17.  如果一个四边形的某个顶点到其他三个顶点的距离相等，我们把这个四边形叫做等距四边形已知平行四边形是等距四边形，，那么它的面积等于______ ．

18.  如图，在边长为的正方形中，为边的中点，点在边上．如果将沿直线翻折后，点恰好落在线段上的点处．那么线段的长为______．

三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）

19.  解方程：．

四、解答题（本大题共6小题，共47.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

20.  本小题分
解方程组：．

21.  本小题分
我国手机产业迅速发展，网络建成后，下载完一部大小的电影，使用手机比手机少花秒已知使用手机比手机每秒多下载，求使用手机每秒下载多少？

22.  本小题分
甲、乙两家绿化养护公司各自推出了校园绿化养护服务的收费方案．
甲公司方案：每月的养护费用元与绿化面积平方米是一次函数关系，如图所示．
乙公司方案：绿化面积不超过平方米时，每月收取费用元；绿化面积超过平方米时，每月在收取元的基础上，超过部分每平方米收取元．
求如图所示的与的函数解析式不要求写出定义域；
如果某学校目前的绿化面积是平方米，试通过计算说明：选择哪家公司的服务，每月的绿化养护费用较少．

23.  本小题分
如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，点、分别是、的中点，联结、．
求证：；
延长至点，使得，联结如果，求证：四边形是矩形．

24.  本小题分
如图，在直角坐标平面内，直线经过，且分别与轴、双曲线交于点、点．
分别求与的值；
向下平移直线，使得新的直线分别与轴、双曲线交于点、点如果，求点的坐标．

25.  本小题分
如图，点在菱形的边上点不与点、点重合，联结交对角线于点，联结．
求证：；
当，时，
如果，求的长；
如果是直角三角形，求的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：选项的分母中有未知数，不是整式，故该选项不符合题意；
选项符合的形式，故该选项符合题意；
选项是二次函数，故该选项不符合题意；
选项没有强调，故该选项不符合题意；
故选：．
根据一般地，形如、是常数的函数，叫做一次函数判断即可．
本题考查了一次函数的定义，掌握一般地，形如、是常数的函数，叫做一次函数是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：当时，，
直线的截距为．
故选：．
代入求出与之对应的值，此题得解．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，牢记截距的定义是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：因为，所以原方程无实数根，故A选项不符合题意；
B.原式移项得，因为，所以原方程无实数根，故B选项不符合题意；
C.解分式方程，两边同时乘以，得，把代入中，得，所以原分式方程无实数根，故C选项不符合题意；
D.因为，解得，所以原方程有实根，故D选项符合题意．
故选：．
A.应用根的判别式进行计算即可得出答案；
B.应用非负数的性质进行判定即可得出答案；
C.应用解分式方程的方法进行计算即可得出答案；
D.应用求立方根的方法进行计算即可得出答案．
本题主要考查了无理方程，根的判别式，分式方程的解，熟练掌握无理方程，根的判别式，分式方程的解进行求解是解决本题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：由图象可得：一次函数中，时，图象在轴上方，，
则关于的不等式的解集是，
故选：．
由图象可知：，且当时，一次函数的图象在轴的上方，，即可得到关于的不等式的解集是．
此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是掌握数形结合思想．认真体会一次函数与一元一次不等式之间的内在联系．
 

5.【答案】 

【解析】解：、平行四边形的对边相等，是真命题，不符合题意；
B、正方形的对角线与一条边的夹角为度，是真命题，不符合题意；
C、矩形的对角一定互补，是真命题，不符合题意；
D、菱形是轴对称图形，对称轴是它的对角线所在的直线，故本选项说法是假命题，符合题意；
故选：．
根据平行四边形的性质、正方形的性质、矩形的性质对称轴的概念判断即可．
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
 

6.【答案】 

【解析】解：，不能，只能判定为矩形；
，不能，只能判定为平行四边形；
，能；
，不能，只能判定为菱形．
故选：．
根据正方形的判定：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形进行分析从而得到最后的答案．
本题是考查正方形的判别方法，判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，途经有两种：先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等；先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角．
 

7.【答案】减小 

【解析】解：在一次函数中，
函数随的增大而减小．
故答案为：减小．
根据一次函数的图象的性质作答．
本题考查了一次函数的性质，掌握在一次函数中，当时，随的增大而增大，时，随的增大而减小是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
，
，
．
故答案为：．
先把系数化为，再开次方，求出的值．
本题考查了解高次方程，解题的关键掌握开方运算．
 

9.【答案】 

【解析】解：八边形的内角和为，外角和为，
，
故答案为：．
根据多边形内角和公式可知八边形的内角和为，八边形的外角和为，进而可得出结论．
本题考查的是多边形的外角和及内角和定理，解答此题的关键是利用题目中所给的条件建立此多边形内角与外角的关系．
 

10.【答案】 

【解析】解：设，
方程变形为，
整理得：．
故答案为：．
由设出的，将方程左边前两项代换后，得到关于的方程，去分母整理即可得到结果．
此题考查了换元法解分式方程，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化，注意求出方程解后要验根．
 

11.【答案】 

【解析】解：直线经过第一、三、四象限，
，
解得：，
的取值范围为．
故答案为：．
根据题意得，，然后解不等式组即可得到的取值范围．
本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“，的图象在一、三、四象限”是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
，可得，
解得，
把代入，可得，
解得，
原方程组的解是．
故答案为：．
应用加减消元法，求出方程组的解即可．
此题主要考查了解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用．
 

13.【答案】 

【解析】解：原方程可化为，
方程有实数解，
且，
且，
．
故答案为：．
先把方程整理为一元二次方程的一般形式，再求解即可．
此题考查了一元二次方程的根的判别式，熟知一元二次方程的根与判别式的关系是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：直线与直线平行，
且，
解得．
故答案为：．
根据题意，可得且，即可求出．
本题考查了两直线平行的位置关系，熟练掌握两直线平行与函数解析式中系数之间的关系是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：正方形的对角线长是，
边长是，
它的周长是．
故答案为：．

由正方形的性质可知，其对角线与两边构成等腰直角三角形，据此求得正方形的边长，进而求得周长．
本题主要考查了正方形的性质，理解对角线长，边长之间的关系是解题关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：在矩形中，，，，
．
，．
．
．
故答案为：．
由“矩形的对角线相等且互相平分推知，结合三角形内角和定理和等腰三角形的性质得到：，则；然后在等腰中，利用三角形内角和定理和等腰三角形的性质求得；最后利用邻补角的定义求得答案．
本题主要考查了矩形的性质，解题过程中，运用了矩形的对角线相等且相互平分和矩形的每一内角都是的性质．
 

17.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于，
平行四边形是等距四边形，，
，
是等边三角形，
，
，
平行四边形的面积为，
故答案为：．
根据平行四边形是等距四边形，可得，进而得到是等边三角形，求出高即可．
本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的性质和判定以及解直角三角形，理解新定义“等距四边形”的意义，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提．
 

18.【答案】 

【解析】解：如图，

由翻折可知：是的垂直平分线，
，，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
为边的中点，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
由翻折可知：是的垂直平分线，可得，然后根据正方形的性质证明≌，可得，根据，求出的长，进而可以解决问题．
本题考查了翻折变换，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，解决本题的关键是掌握翻折的性质．
 

19.【答案】解：，
两边平方，得，
整理，得：，解得：，，
经检验：是增根，是原方程的解，
原方程的解是． 

【解析】把移到等号的右边，两边平方，求解，后检验根是否有意义．
本题主要考查了无理方程的解法，在解无理方程是最常用的方法是两边平方法及换元法，本题用了平方法，注意无理方程要检验根是否有意义，属于基础题．
 

20.【答案】解：，
由，得，
或，
由和组成方程组，，
解得：，，
所以原方程组的解是，． 

【解析】由得出，求出或，由和组成两个二元一次方程组，，求出方程组的解即可．
本题考查了解高次方程组和解二元一次方程组，能把解高次方程组转化成解二元一次方程组是解此题的关键．
 

21.【答案】解：设使用手机每秒下载，则使用手机每秒下载，
根据题意得：，
解得：，，
经检验，，均为所列方程的解，符合题意，不符合题意，舍去．
答：使用手机每秒下载． 

【解析】设使用手机每秒下载，则使用手机每秒下载，根据“下载完一部大小的电影，使用手机比手机少花秒”，可得出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

22.【答案】解：设，
则有，
解得，
．

绿化面积是平方米时，甲公司的费用为元，乙公司的费用为元，

选择乙公司的服务，每月的绿化养护费用较少． 

【解析】利用待定系数法即可解决问题；
绿化面积是平方米时，求出两家的费用即可判断；
本题主要考查一次函数的应用．此题属于图象信息识别和方案选择问题．正确识图是解好题目的关键．
 

23.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
点、分别为、的中点，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
；
，，
是的中位线，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
是的中点，
，
，
四边形是矩形． 

【解析】根据平行四边形的性质得到，，根据三角形中位线定理得到，，求得，由全等三角形的性质得到，根据平行线的判定定理即可得到结论；
根据三角形中位线定理得到，推出四边形是平行四边形，求得，根据等腰三角形的性质得到，求得，于是得到结论．
本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，正确的识别图形是解题的关键．
 

24.【答案】解：将点代入，
得，
解得，
直线解析式为，
将点代入直线，
得，
点坐标为，
点在双曲线上，
；
过点作于点，

，
点为的中点，
设点坐标为，
点坐标为，
点纵坐标为，
点在直线上，
，
解得，
点坐标为，
点在双曲线上，
，
解得或，
点坐标为或． 

【解析】将点代入，求出的值，再将点代入直线解析式，求出的值，再将点坐标代入反比例函数解析式即可求出的值；
设平移后的直线与轴交点为，根据等腰三角形性质可知点为的中点，进一步可表示出点纵坐标，再代入，求出点横坐标，再将点坐标代入反比例函数解析式求解即可．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及一次函数图象的平移，待定系数法求解析式，等腰三角形的性质等，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
 

25.【答案】证明：四边形是菱形，
，，
，
≌，
；
解：四边形是菱形，
，，
，
，
，
∽，
，
，
，，
，
过作于，

，
，
连接交于，则，，
，
，
，
，
，
；
分三种情况：第一种，当时，连接交于，

，，
，
，
，
，
，
，
，
，
第二种，当时，点是的中点，和重合，不成立，
第三种，当时，点在边上，不成立，
综上所述，如果是直角三角形，的长为． 

【解析】根据菱形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到；
根据菱形的性质得到，，求得，根据相似三角形的性质得到，，求得，过作于，根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理得到，连接交于，则，，根据勾股定理即可得到结论；
分三种情况：第一种，当时，连接交于，根据菱形的性质得到，，根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式得到，求得，第二种，当时，点是的中点，和重合，不成立，第三种，当时，点在边上，不成立，于是得到结论．
本题是四边形的综合题，考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确地作出辅助线是解题的关键．