河北省张家口市2023届高三下学期三模数学试卷（含答案）

河北省张家口市2023届高三下学期三模数学试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、已知R为实数集，全集，集合，则(   )

A. B. C. D.

2、已知i为虚数单位，若为实数，则实数(   )

A.-1 B.4 C.2 D.-2

3、函数在处的切线方程为(   )

A.  B.

C.  D.

4、已知，则(   )

A. B. C. D.

5、风筝又称为“纸鸢”，由中国古代劳动人民发明于距今2000多年的东周春秋时期.相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源.如图，是某高一年级学生制作的一个风筝模型的多面体ABCEF，D为AB的中点，四边形EFDC为矩形，且，，，当时，多面体ABCEF的体积为(   )

A. B. C. D.

6、已知F为抛物线的焦点，过F的直线l与抛物线C交于A，B两点，若，则(   )

A.1 B. C.3 D.4

7、已知是边长为2的等边三角形，M，N是边上的两个动点，若线段MN将分成面积相等的两部分，则线段MN长度的最小值为(   )

A. B. C. D.1

8、已知函数，若，，，则(   )

A. B. C. D.

二、多项选择题

9、一组互不相等的样本数据，其平均数为，方差为，极差为m，中位数为n，去掉其中的最小值和最大值后，余下数据的平均数为，方差为，极差为，中位数为，则下列选项一定正确的有(   )

A. B. C. D.

10、已知是数列的前n项和，，则下列递推关系中能使存在最大值的有(   )

A. B. C. D.

11、关于函数，下列选项正确的有(   )

A.为偶函数

B.在区间上单调递增

C.的最小值为2

D.在区间上有两个零点.

12、已知，是圆上不同的两点，根圆的在顶点和上顶点分别为A，B，直线AP，BQ分别是圆的两条切线，为椭圆C的离心率.下列选项正确的有(   )

A.直线与椭圆C相交

B.直线与圆相交

C.若椭圆C的焦距为2，AP，BQ，两直线的斜率之积为：，则

D.若AP，BQ两直线的斜率之积为，则

三、填空题

13、已知向量a，b均为单位向量，，向量与向量的夹角为，则______.

14、展开式中的系数是_____.

15、已知，若关于x的方程无解，则实数a的取值范围是_____.

四、解答题

16、已知四棱锥的底面ABCD是边长为2的正方形，底面ABCD.，则四棱雉外接球的表面积为_____；若点Q是线段AC上的动点，则的最小值为_____.

17、已知数列满足.

(1)求数列的通项公式；

(2)记数列的前n项和为，证明：.

18、在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，.

(1)若，求的面积；

(2)求的值.

19、如图，在：三棱柱：归，侧面为菱形，，，.

(1)证明：平面平面过；

(2)求平面与平面夹角的余弦值.

20、甲、乙两人进行象棋比赛，赛前每人发3枚筹码，一局后负的一方，需将自己的一枚筹码给对方；若平局，双方的筹码不动，当一方无筹码时比赛结束，另一方最终获胜.由以往两人的比赛结果可知，在一局中甲胜的概率为0.3、乙胜的概率为0.2.
(1)第一局比赛后，甲的筹码个数记为X，求X的分布列和期望；
(2)求四局比赛后，比赛结束的概率；
(3)若表示“在甲所得筹码为i枚时，最终甲获胜的概率”，则，.证朋：为等比数列.

21、已知点为双曲线上一点，E的左焦点到一条渐近线的距离为.

(1)求双曲线E的标准方程；

(2)不过点P的直线与双曲线E交于A，B两点，若直线PA，PB的斜率和为1，证明：直线过定点，并求该定点的坐标.

22、已知函数为函数的导函数.

(1)讨论函数的单调性；

(2)已知函数，存在，证明：.

参考答案

1、答案：D

解析：由，解得，所以，所以，.故选D.

2、答案：B

解析：因为，故，则，所以.

3、答案：A

解析：，由，得，所以切线方程为，即.故选A.

4、答案：B

解析：因为，所以，故，所以，所以.故选B.

5、答案：A

解析：因为D为AB的中点，，所以.又，所以AB平面EFDC，所以四边形EFDC为矩形，.又，平面ABC.，又，所以.又，所以，故.多面体ABCEF可分割为四面体和，又，所以多面体ABCEF的体积为.故选.

6、答案：C

解析：由，得，，，.设直线l与抛物线C的准线交于点D，点A，B，F在准线上的投影分别为，，，则.又.故选.

7、答案：C

解析：如图，在中，设，则，故.又，当且仅当时等号成立，故线段MN长度的最小值为.故选.

8、答案：B

解析：因为，所以函数的图象关于直线对称.易知当时，函数单调递增，当时，函数单调递减.设，得，当时，，当时，，所以，当且仅当时取等号，所以，所以，所以，故.又，，所以，故.综上.故选.

9、答案：ACD

解析：去掉最小值和最大值后，中位数不会改变，所以A正确；如1，3，17的平均数为7，去掉其中的最小值1和最大值17后的平均数为3，所以B不一定正确；去掉最小值和最大值后，数据相对更集中，方差变小，所以C一定正确；去掉最小值和最大值后，极差变小，所以D正确.故选ACD.

10、答案：BC

解析：对于A选项，数列是以8为首项、-2为公比的等比数列，所以，当n为奇数且时，，这时不存在最大值；对于B选项，数列是以8为首项、-2为公差的等差数列，所以，当或时，的最大值为20；对于C选项，由，得，

故当时，，当时，，所以为的最大值，且；对于D选项，由，，，得数列是以3为周期的周期数列，一个周期的和为正数，且，，所以不存在最大值.故选BC.

11、答案：ABD

解析：因为，所以为偶函数，故A正确；当时，，，，所以，故在区间上单调递增，故B正确；因为，故C错误；

当时，，，，

则，

所以在区间上单调递减.又在区间上单调递增，

所以在区间上.又为偶函数，所以在区间上无零点.同理，在区间上也无零点.

在区间上，则.

当时，，，，，单调递增，

当时，，，，单调递减，所以，所以在区间上有一个零点.

同理，在区间上也有一个零点，所以在区间上有两个零点，故D正确.故选ABD.

12、答案：BCD

解析：对于A选项，当，时，点P坐标可为，直线为，即.由得，因为，所以直线与椭圆C无交点，所以A错误；对于B选项，因为，所以.设原点到直线的距离为d，由点到直线的距离公式，得，所以直线与圆相交，所以B正确；对于C选项，椭圆C的焦距为2，则，即.不妨设，则，，所以，故.又，解得，所以，所以C正确；对于D选项，不妨设，，则，，所以，故，所以.又，所以，故，所以D正确.故选BCD.

13、答案：

解析：.

14、答案：104

解析：的展开式中含的项为，所以的系数是104.

15、答案：

解析：设且，则.设，则.当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，

所以，所以，所以函数在区间上单调递减，在区间上也单调递减.设，则.当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，所以，即，

所以当时，，当时，.

由，得.由无解，知无解，即无解.设，则，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，所以，所以时，无解，故.

16、答案：，

解析：

设PC中点为O，则，所以O为四棱雉外接球的球心，为该球的半径，所以其表面积为；如图，将绕AC翻折到与所在面重合，连接PB，交AC于点Q，此时最小，最小值为

17、答案：（1），

（2）证明见解析

解析：（1）当时，，所以.由，①

得，②.

①-②得，所以，.当时，，所以，

（2）证明：由(1)，得

则

18、答案：（1）

（2）1

解析：（1）由，得，故，所以由，所以，

又，所以，所以的面积.

（2）由余弦定理，得，又，

所以.由正弦定理，得，所以

19、答案：（1）证明见解析

（2）

解析：（1）

证明：如图，连接，交于O，连接AO.

因为侧面为菱形，所以，且O为与的中点.又，故，又，，所以，，所以，即.

又，所以，所以.

因为BO，平面，所以平面.

又AOC平面，所以平面平面.

（2）

由(1)，得OA，OB，两两互相垂直.以O为坐标原点，OB，，OA所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，.故，，，.设为平面的法向量，则有，即可取.

设为平面的法向量，则有，即可取，所以.

所以平面与平面夹角的余弦值为.

20、答案：（1）分布列见解析，期望为3.1

（2）

（3）证明见解析

解析：（1）解：X的所有可能取值为2，3，4.

因为，，，

所以X的分布列为：

所以.

（2）若四局比赛后比赛结束，甲最终获胜为事件A，则

若乙最终获胜为事件B，则，

所以四局比赛后，比赛结東的概率为.

（3）证明：由全概率公式，得，故，即.

又因为，所以是以首项为、公比为的等比数列.

21、答案：（1）

（2）直线l过定点，证明见解析

解析：（1）设，则，所以.又，所以，所以双曲线E的标准方程为.

（2）证明：设.联立，消去y，

则有，.

又，则故，所以

化简得，即，故直线l的方程为，所以直线l过定点.

22、答案：（1）函数在区间上单调递㺂，在区间上单调递增.

（2）证明见解析

解析：（1）的定义域为R，，又，所以函数在定义域内单调递增，又，所以当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增.综上，函数在区间上单调递㺂，在区间上单调递增.

（2）证明：由(1)，得，

又，即，

所以.

不妨设，所以.

由(1)，得当时，函数单调递增，所以，

故，所以，得，故.下证.设，

则，所以函数在区间上单调递增，

所以，故，即，得，即，所以，得证.