2019届安徽省1号卷A10联盟高三下学期4月联考数学（文）试题（解析版）

这是一份2019届安徽省1号卷A10联盟高三下学期4月联考数学（文）试题（解析版），共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2019届安徽省1号卷·A10联盟高三下学期4月联考数学（文）试题  一、单选题1．设集合，，则（   ）A． B． C． D．【答案】D【解析】求解出集合，根据交集定义求得结果.【详解】由题意得，故本题正确选项：【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题.2．已知复数满足（是虚数单位），则复数的虚部为（   ）A．2 B．-2 C．4 D．-4【答案】A【解析】根据复数的除法运算得到，从而根据复数的概念得到虚部.【详解】由题意得：则复数的虚部为本题正确选项：【点睛】本题考查复数的概念以及复数运算中的除法运算，属于基础题.3．某小学六年级一班学生期末测试数学成绩统计如图所示，则该班学生测试成绩的中位数为（   ）A．77.5 B．76.5 C．77 D．76【答案】B【解析】将个数据按从小到大顺序排列，可知中位数为第和第个数的平均数，由此可求得结果.【详解】由茎叶图知，共有个数据将数据从小到大排列之后，第个数为，第个数为则所求中位数为本题正确选项：【点睛】本题考查中位数的求解，属于基础题.4．过双曲线的右焦点作其实轴的垂线，若与双曲线及其渐近线在第一象限分别交于，且，则该双曲线的离心率为（   ）A． B． C． D．【答案】A【解析】假设右焦点坐标，代入双曲线和渐近线方程求得坐标；根据得到的关系，再利用得到关系，从而求得离心率.【详解】由双曲线方程可知其渐近线为：设，则又，则则，化简得则离心率本题正确选项：【点睛】本题考查双曲线离心率的求解问题，关键是能够利用向量的关系得到关于的齐次方程，从而求得离心率.5．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它由四个全等的直角三角形围成，其中，现将每个直角三角形的较长的直角边分别向外延长一倍，得到如图的数学风车，若在该数学风车内随机取一点，则该点恰好取自“赵爽弦图”外面（图中阴影部分）的概率为（   ）A． B． C． D．【答案】D【解析】根据正弦值求得直角三角形各边长，然后分别求解出阴影部分面积和数学风车面积，利用几何概型面积型的公式求得结果.【详解】在中，不妨设，则，则阴影部分的面积为；数学风车的面积为所求概率本题正确选项：【点睛】本题考查几何概型中面积型问题的求解，属于基础题.6．已知函数，则函数的图象大致为（   ）A． B．C． D．【答案】A【解析】根据奇偶性排除选项，再利用特殊值的方式，排除和，从而得到结果.【详解】函数的定义域为又，故函数为奇函数则函数的图象关于原点对称，排除因为，排除又，排除本题正确选项：【点睛】本题考查具体函数的图象的判断，对于此类问题通常采用排除法来解决，排除顺序通常为：奇偶性、特殊值、单调性.7．运行如图所示的程序框图，若输入的值为2019，则输出的值为（   ）A．-1441 B．-441 C．-431 D．-440【答案】B【解析】根据程序框图运行程序，直到时输出结果，可得.【详解】第一次循环：，；第二次循环：，；第三次循环：，；第四次循环：，；此时，则输出的的值为本题正确选项：【点睛】本题考查计算循环结构的程序框图的输出结果问题，属于常规题型.8．已知某几何体的三视图如图所示，则图中点、在该几何体中对应的两点间的距离等于（   ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由三视图还原几何体，从而根据垂直关系利用勾股定理求得结果.【详解】作出该几何体的直观图如下图，且点和点在几何体中对应的位置如图：则本题正确选项：【点睛】本题考查立体几何中两点间距离的求解，关键是能够通过三视图准确还原几何体，属于基础题.9．已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（   ）A． B． C． D．【答案】C【解析】原题等价于有三个解；由解析式可知时有一个解，则可将问题变为当时，函数的图象与直线有两个交点；根据图象得到满足题意的不等式组，求解得到结果.【详解】令，则当时，由可得：，即，为一个零点故当时，函数的图象与直线有两个交点即可结合图象：可得：，解得本题正确选项：【点睛】本题考查根据函数零点个数求解参数范围问题，关键是能够通过等价转化，将问题变为函数与平行于轴的直线的交点个数问题，进而通过数形结合的方式求解得到结果.10．记函数，将函数的图象向右平移个单位后，得到函数的图象,现有如下命题：：函数的图象关于直线对称；：函数在区间上单调递增；：函数在区间上的值域为.则下列命题是真命题的为（   ）A． B． C． D．【答案】C【解析】通过图象变换得到，分别求解出对称轴、单调性和值域，判断出三个命题的真假性；再通过复合命题的真假性判断原则得到结果.【详解】由题意得，将代入，得，可知不是对称轴，故命题为假命题当时，，则函数在上先减后增，故命题为假命题；当时，，所以，故命题为真命题综上，、、为假命题，为真命题本题正确选项：【点睛】本题考查复合命题真假性的判断，关键是能够利用通过图象平移得到函数解析式，进而根据正弦型函数的对称性、单调性、值域求解方法判断出各个命题的真假性.11．已知三棱锥的体积为6，在中，，，，且三棱锥的外接球的球心恰好是的中点，则球的表面积等于（   ）A． B． C． D．【答案】C【解析】余弦定理求得，根据勾股定理可知为直角三角形；根据三棱锥体积求得三棱锥的高；由球的性质可知球心与中点连线垂直于底面，且长度为；从而可求得外接球半径，进而根据球的表面积公式求得结果.【详解】在中，由余弦定理得    是直角三角形设三棱锥的高为则三棱锥体积，解得取边的中点为，则为外接圆圆心连接，则平面，如下图所示：则则球的表面积本题正确选项：【点睛】本题考查三棱锥的外接球问题，关键是能够通过球的性质：球心与截面圆圆心连线垂直于截面得到长度关系，从而解出球的半径.12．定义在上的函数的导函数为，若，则不等式的解集是（   ）A． B． C． D．【答案】D【解析】根据构造出，从而得到在上单调递减；将所求不等式转化为，根据单调性可得，求解得到结果.【详解】由题意得：，即    故函数在上单调递减，即    即    ，解得本题正确选项：【点睛】本题考查利用函数单调性解不等式的问题，关键是能够将不等式转化为同一函数不同函数值的比较，构造出函数，求导得到所构造函数的单调性，利用单调性将函数值的比较变为自变量的比较.  二、填空题13．已知实数满足，则的最大值为__________．【答案】【解析】根据不等式组画出平面区域；将问题转化为直线在轴截距最大的问题，通过图象可知经过点时最大，代入坐标求得结果.【详解】作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示：由题意可得：作直线，平移直线，当其经过点，在轴截距最大；此时取得最大值    本题正确结果：【点睛】本题考查线性规划求解最值问题，关键是能够将问题转化为直线在轴截距的最值问题，属于常规题型.14．在四边形中，，，则在上的投影为__________．【答案】【解析】根据向量的坐标运算求解出，再利用在方向上的投影公式求解出结果.【详解】由得四边形是平行四边形且则在上的投影为本题正确结果：【点睛】本题考查在方向上的投影问题，关键是能够通过坐标运算求得向量，再利用在方向上的投影等于求得结果.15．已知抛物线上一点到焦点的距离为3，过焦点的直线与抛物线相交于、两点，点到直线的距离为，当取得最大值时，的面积等于__________．【答案】54【解析】根据抛物线焦半径公式得到抛物线方程；根据抛物线性质可知当时，最大，从而可求得的方程；联立直线和抛物线方程，根据弦长公式求解出，进而得到所求面积.【详解】根据到焦点距离为可得：，解得则抛物线的方程为，则点的坐标为，当时，点到直线距离最大    直线的斜率则直线的方程为联立得，本题正确结果：【点睛】本题考查抛物线中三角形面积的求解问题，关键是能够分析出最大时的位置关系，熟练运用弦长公式求解出所需的长度，从而求得面积.16．已知在中，线段的垂直平分线与线段的垂直平分线交于点，若，则的值为__________．【答案】【解析】由已知可知为的外心，设外接圆半径，根据向量线性运算可得到：；取中点，利用可求得；利用余弦定理求得；再根据正弦定理求得结果.【详解】由题意得，点为的外心设外接圆的半径因为，故即    取的中点，则，且与位于直线同侧，如图所示：    在中，由余弦定理得：在中，由正弦定理得本题正确结果：【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形的问题，关键是能够通过向量的线性运算得到平行关系和长度关系，根据边的比例关系求得所需的余弦值. 三、解答题17．已知数列满足，.（1）求数列的通项公式；（2）设为数列的前项和，求数列的前项和.【答案】（1）（2）.【解析】（1）根据可得，利用累乘法可求得；（2）由的通项公式可知数列为等差数列，利用等差数列求和公式求得，得到；再利用裂项相消法求得.【详解】（1），且，即由累乘法得则数列是首项为，公差为的等差数列，通项公式为（2）由（1）知，则【点睛】本题考查利用递推公式求解数列通项公式、裂项相消法求解数列的前项和的问题；关键是能够根据递推关系确定采用累乘法求解通项；根据的形式确定裂项的方式，属于常规题型.18．如图，已知是直三棱柱，，，点为的中点，点在上，且平面.（1）求证：平面平面；（2）求三棱锥的体积.【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）根据正方形特点得；再根据线面垂直的性质证得；从而可证得平面；根据面面垂直的判定定理得到结论；（2）根据线面平行的性质可得，可知为中点；通过体积桥即求得结果.【详解】（1）由题意得，四边形是正方形    又    在直三棱柱中，平面，平面又，平面    平面又平面    ，平面平面又平面    平面平面（2）是的中点，点在上    平面平面，平面平面    为的中点【点睛】本题考查面面垂直的证明、三棱锥体积的求解问题，其中还涉及到线面平行的性质、线面垂直的判定及性质等定理的应用；解决三棱锥体积问题的常用方法是采用体积桥的方式，使得三棱锥的高易于求解.19．某教师将寒假期间该校所有学生阅读小说的时间统计如下图所示，并统计了部分学生阅读小说的类型，得到的数据如下表所示： 男生女生阅读武侠小说8030阅读都市小说2070 （1）是否有99.9%的把握认为“性别”与“阅读小说的类型”有关？（2）求学生阅读小说时间的众数和平均数（同一组数据用该组区间的中点值作代表）；（3）若按照分层抽样的方法从阅读时间在、的学生中随机抽取6人，再从这6人中随机挑选2人介绍选取小说类型的缘由，求所挑选的2人阅读时间都在的概率.附：，.0.0250.0100.0050.0015.0246.6357.87910.828  【答案】（1）见解析（2）众数为15，平均数为（3）.【解析】（1）通过公式计算求得，对比临界值表可得结果；（2）众数为最高矩形横坐标的中点；平均数为每个矩形横坐标中点与对应矩形面积乘积的总和，求解得到结果；（3）根据分层抽样可确定抽取的人阅读时间在的有人；阅读时间在的有人，列举出所有的情况和符合题意的情况，根据古典概型公式求得结果.【详解】（1）由题意得，完善列联表如下： 男生女生总计阅读武侠小说阅读都市小说总计 有的把握认为“性别”与“阅读小说的类型”有关（2）由题意得，所求众数为；所求平均数为（3）由题意得，抽取的人阅读时间在的有人，记为；阅读时间在的有人，记为则从人中挑选人，所有的情况共种，它们是：，其中满足条件的有种：故所求概率【点睛】本题考查独立性检验、根据频率分布直方图估计总体的数据特征、分层抽样与古典概型问题的求解，属于常规题型.20．已知椭圆，斜率为1的直线与椭圆交于两点，且.（1）若两点不关于原点对称，点为线段的中点，求直线的斜率；（2）若存在点，使得，求直线的方程.【答案】（1）（2）.【解析】（1）根据点差法求出，根据与的关系求得结果；（2）假设直线方程，与椭圆方程得到韦达定理的形式，根据判别式得到的范围；由角度关系可得轴，进而可得，与韦达定理形式联立可得关于的方程，求解得到结果.【详解】（1）由题意得两式相减得故则（2）设直线的方程为联立，得令，解得：，在中，，且直线的倾斜角也为轴过点作的垂线，则垂足为线段的中点设点的坐标为，则由方程组，化简得，解得而，满足题意则直线的方程为【点睛】本题考查点差法的应用、直线与椭圆的综合应用问题；点差法主要用于中点弦和弦中点的问题，体现直线斜率和中点之间的关系；直线与椭圆的综合问题通常采用直线与椭圆方程联立，得到韦达定理的形式，再根据已知条件中的等量关系构造方程求得结果.21．已知函数，.（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）.【解析】（1）根据解析式求得切点，利用导数求得切线斜率，从而可求得切线方程；（2）将问题转化为在上恒成立；当单调递减时满足题意，即恒成立即可，从而可求得；当时，单调递增，不符合题意；当时，可证得在上单调递增，不满足题意；综合三种情况可得.【详解】（1）当时，，则故，又故所求切线方程为，即（2）由题意得，在上恒成立设函数，则故对任意，不等式恒成立①当，即恒成立时，函数在上单调递减设，则，即，解得，符合题意；②当时，恒成立，此时函数在上单调递增则不等式对任意恒成立，不符合题意；③当时，设，则令，解得当时，，此时单调递增故当时，函数单调递增当时，成立，不符合题意.综上所述，实数的取值范围为【点睛】本题考查利用导数求解切线方程、利用导数研究恒成立问题；解决恒成立问题的关键是能够将问题转化为通过函数单调性求解参数范围的问题，利用导函数的符号，通过分离变量的方式求得参数的取值范围，对于学生转化与化归思想的应用要求较高.22．已知在极坐标系中，曲线的极坐标方程为.以极点为原点，极轴所直线为轴建立平面直角坐标系，曲线的参数方程为（为参数）.（1）求曲线的直角坐标方程以及曲线的极坐标方程；（2）若曲线交于两点，且，，求的值.【答案】（1）；；（2）【解析】（1）根据，化简得到结果；（2）写出的参数方程，代入的直角坐标方程中，根据的几何意义可构造关于的方程，求解得到结果.【详解】（1）    则曲线的直角坐标方程为    则曲线的极坐标方程为（2）由（1）得曲线的参数方程为（为参数）代入中，整理得，解得设对应的参数分别为，则由的几何意义得，解得又    【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化、直线参数方程几何意义求解距离之积的问题，易错点是在利用距离之积求解参数时，忽略了参数的取值范围，造成求解错误.23．已知函数，.（1）当时，求不等式的解集；（2）若对于恒成立，求的取值范围.【答案】（1）（2）.【解析】（1）分别在，和上得到不等式，求解得到结果；（2）方法一：通过放缩和绝对值三角不等式得到：，则有，进而求得的范围；方法二：分别在，和的情况下得到函数的解析式；在每一段上都有，从而构造出不等式，求解得到结果.【详解】（1）当时，则或或分别解得或或不等式的解集为（2）方法一：当且仅当时取等号，解得或即的取值范围是方法二：当时，则函数在上单调递减，在上单调递增，解得；当时，，最小值是，不符合题意；当时，则函数在上单调递减，在上单调递增，，解得.综上所述，的取值范围是【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用不等式中的恒成立求解参数范围的问题；解决恒成立问题的关键是能够将问题转化为最值与参数的关系；要注意分类讨论的思想在求解绝对值不等式问题中的应用.