2017年河北省衡水中学高考数学猜题卷（文科）（解析版）

这是一份2017年河北省衡水中学高考数学猜题卷（文科）（解析版），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2017年河北省衡水中学高考数学猜题卷（文科）
　
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合A={x∈Z|x（x﹣3）≤0}，B={x|lnx＜1}，则A∩B=（　　）
A．{0，1，2} B．{1，2，3} C．{1，2} D．{2，3}
2．设i为虚数单位，若复数在复平面内对应的点为（1，2），则z=（　　）
A．﹣2+i B．2﹣i C．﹣1+2i D．1﹣2i
3．如图是调查某地区男女中学生喜欢理科的等高条形图，阴影部分表示喜欢理科的百分比，从图可以看出（　　）

A．性别与喜欢理科无关
B．女生中喜欢理科的比为80%
C．男生比女生喜欢理科的可能性大些
D．男生不喜欢理科的比为60%
4．已知平面向量和的夹角为60°，，，则=（　　）
A．20 B．12 C． D．
5．设等差数列{an}的前n项为Sn，已知S13＞0，S14＜0，若ak•ak+1＜0，则k=（　　）
A．6 B．7 C．13 D．14
6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的体积为（　　）

A．40 B． C． D．
7．已知函数，其图象与直线y=1相邻两个交点的距离为，若f（x）＞0对恒成立，则φ的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
8．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为N=n（modm），例如11=2（mod3）．现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的n等于（　　）

A．21 B．22 C．23 D．24
9．在2013年至2016年期间，甲每年6月1日都到银行存入m元的一年定期储蓄，若年利率为q保持不变，且每年到期的存款本息自动转为新的一年定期，到2017年6月1日甲去银行不再存款，而是将所有存款的本息全部取回，则取回的金额是（　　）
A．m（1+q）4元 B．m（1+q）5元
C．元 D．元
10．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（，0），直线y=x﹣1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为﹣，则此双曲线的方程是（　　）
A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1
11．已知符号函数sgn（x）=，那么y=sgn（x3﹣3x2+x+1）的大致图象是（　　）
A． B． C． D．
12．已知函数f（x）=ax+elnx与g（x）=的图象有三个不同的公共点，其中e为自然对数的底数，则实数a的取值范围为（　　）
A．a＜﹣e B．a＞1 C．a＞e D．a＜﹣3或a＞1
　
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．设，则使函数y=xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为　 　．
14．实数x，y满足，则目标函数z=2x﹣y的最大值为　 　．
15．如果圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=8上总存在两个点到原点的距离为，则实数a的取值范围是　 　．
16．已知三棱锥P﹣ABC的体积为底面ABC，且△ABC的面积为4，三边AB，BC，CA的乘积为16，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为　 　．
　
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．如图，在△ABC中，D为AB边上一点，DA=DC，已知B=，BC=1．
（Ⅰ）若△ABC是锐角三角形，DC=，求角A的大小；
（Ⅱ）若△BCD的面积为，求边AB的长．

18．参加成都七中数学选修课的同学，对某公司的一种产品销量与价格进行了统计，得到如下数据和散点图：
定价x（元/kg）
10
20
30
40
50
60
年销量y（kg）
1150
643
424
262
165
86
z=2lny
14.1
12.9
12.1
11.1
10.2
8.9

（参考数据：， ，）
（1）根据散点图判断，y与x，z与x哪一对具有较强的线性相关性（给出判断即可，不必说明理由）？
（2）根据（1）的判断结果及数据，建立y关于x的回归方程（方程中的系数均保留两位有效数字）．
（3）定价为多少元/kg时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），…，（xn，yn），其回归直线=•x+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
==， =﹣n••．
19．如图，将边长为2的正六边形ABDEF沿对角线BE翻折，连接AC、FD，形成如图所示的多面体，且AC=．
（1）证明：平面ABEF⊥平面BCDE；
（2）求三棱锥E﹣ABC的体积．

20．已知椭圆M： +=1（a＞0）的一个焦点为F（﹣1，0），左右顶点分别为A，B，经过点F的直线l与椭圆M交于C，D两点．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）记△ABD与△ABC的面积分别为S1和S2，求|S1﹣S2|的最大值．
21．已知函数f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx（a∈R）．
（1）若曲线g（x）=f（x）+x上点（1，g（1））处的切线过点（0，2），求函数g（x）的单调减区间；
（2）若函数y=f（x）在上无零点，求a的最小值．
　
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在极坐标系中，O为极点，已知圆C的圆心，半径r=3．
（1）求圆C的极坐标方程；
（2）若点Q在圆C上运动，P在OQ的延长线上，且|OQ|：|QP|=3：2，求动点P的轨迹方程．
　
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|．
（1）求不等式f（x）＞0的解集；
（2）若存在x0∈R，使得f（x0）+2a2＜4a，求实数a的取值范围．
　

2017年河北省衡水中学高考数学猜题卷（文科）
参考答案与试题解析
　
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合A={x∈Z|x（x﹣3）≤0}，B={x|lnx＜1}，则A∩B=（　　）
A．{0，1，2} B．{1，2，3} C．{1，2} D．{2，3}
【考点】1E：交集及其运算．
【分析】求出A中x的范围，确定出整数解得到A，求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．
【解答】解：由A中不等式解得：0≤x≤3，x∈Z，即A={0，1，2，3}，
由B中不等式变形得：lnx＜lne，
解得：0＜x＜e，即B=（0，e），
则A∩B={1，2}．
故选：C．
　
2．设i为虚数单位，若复数在复平面内对应的点为（1，2），则z=（　　）
A．﹣2+i B．2﹣i C．﹣1+2i D．1﹣2i
【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．
【分析】由复数在复平面内对应的点为（1，2），得到=1+2i，化简即可
【解答】解：复数在复平面内对应的点为（1，2），
则=1+2i，
∴z=2﹣i，
故选：B．
　
3．如图是调查某地区男女中学生喜欢理科的等高条形图，阴影部分表示喜欢理科的百分比，从图可以看出（　　）

A．性别与喜欢理科无关
B．女生中喜欢理科的比为80%
C．男生比女生喜欢理科的可能性大些
D．男生不喜欢理科的比为60%
【考点】B8：频率分布直方图．
【分析】本题为对等高条形图，题目较简单，注意阴影部分位于上半部分即可．
【解答】解：由图可知，女生喜欢理科的占20%，男生喜欢理科的占60%，显然性别与喜欢理科有关，
故选为C．
　
4．已知平面向量和的夹角为60°，，，则=（　　）
A．20 B．12 C． D．
【考点】9R：平面向量数量积的运算．
【分析】根据向量数量积的定义先求出=1，然后利用向量模长与向量数量积的关系进行转化求解即可．
【解答】解：向量和的夹角为60°，，，
∴||=2， =2×1×=1，
∴2=+4+4=4+4+4=12，
∴=2，
故选：D
　
5．设等差数列{an}的前n项为Sn，已知S13＞0，S14＜0，若ak•ak+1＜0，则k=（　　）
A．6 B．7 C．13 D．14
【考点】8F：等差数列的性质．
【分析】根据等差数列{an}的前n项和公式，利用项的性质，列出不等式组，求出a7＞0，a8＜0，即得k的值．
【解答】解：根据题意，S13＞0，S14＜0，
得，
即，
∴，
∴；
又ak•ak+1＜0，
∴k=7．
故选：B．
　
6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的体积为（　　）

A．40 B． C． D．
【考点】L!：由三视图求面积、体积．
【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体直三棱柱割去一个等高底面不等的三棱锥，由此求出它的体积．
【解答】解：根据几何体的三视图，得；
该几何体是三棱柱BCE﹣AGF割去一个三棱锥A﹣BCD所得的图形，如图所示；
∴V几何体CDEFGA=×4×4×4﹣××（×4×4）×4=．
故选：B．

　
7．已知函数，其图象与直线y=1相邻两个交点的距离为，若f（x）＞0对恒成立，则φ的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【考点】H7：余弦函数的图象．
【分析】利用余弦函数的周期性求得ω，结合题意求得cos（x+φ）＞，结合x+φ∈（﹣+φ， +φ），可得﹣≤﹣+φ，且+φ≤，由此求得φ的取值范围，综合得出结论．
【解答】解：令f（x）=1，求得cos（ωx+φ）=1，
∵函数，其图象与直线y=1相邻两个交点的距离为，
故函数f（x）的最下正周期为=，∴ω=，f（x）=2cos（x+φ）．
若f（x）＞0对恒成立，即cos（x+φ）＞．
又当x∈（﹣，）时， x+φ∈（﹣+φ， +φ），
∴﹣≤﹣+φ，且+φ≤，∴﹣≤φ≤﹣．
综合可得，﹣＜φ≤﹣，
故选：B．
　
8．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为N=n（modm），例如11=2（mod3）．现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的n等于（　　）

A．21 B．22 C．23 D．24
【考点】EF：程序框图．
【分析】该程序框图的作用是求被3和5除后的余数为2的数，根据所给的选项，得出结论．
【解答】解：该程序框图的作用是求被3除后的余数为2，被5除后的余数为3的数，
在所给的选项中，满足被3除后的余数为2，被5除后的余数为3的数只有23，
故选：C．
　
9．在2013年至2016年期间，甲每年6月1日都到银行存入m元的一年定期储蓄，若年利率为q保持不变，且每年到期的存款本息自动转为新的一年定期，到2017年6月1日甲去银行不再存款，而是将所有存款的本息全部取回，则取回的金额是（　　）
A．m（1+q）4元 B．m（1+q）5元
C．元 D．元
【考点】88：等比数列的通项公式．
【分析】2013年6月1日到银行存入m元的一年定期储蓄，到2017年6月1日本息和为：m（1+q）4，2014年6月1日到银行存入m元的一年定期储蓄，到2017年6月1日本息和为：m（1+q）3，2015年6月1日到银行存入m元的一年定期储蓄，到2017年6月1日本息和为：m（1+q）2，2016年6月1日到银行存入m元的一年定期储蓄，到2017年6月1日本息和为：m（1+q），由此利用等比数列前n项和公式能求出到2017年6月1日甲去银行将所有存款的本息全部取回，取回的金额．
【解答】解：2013年6月1日到银行存入m元的一年定期储蓄，到2017年6月1日本息和为：m（1+q）4，
2014年6月1日到银行存入m元的一年定期储蓄，到2017年6月1日本息和为：m（1+q）3，
2015年6月1日到银行存入m元的一年定期储蓄，到2017年6月1日本息和为：m（1+q）2，
2016年6月1日到银行存入m元的一年定期储蓄，到2017年6月1日本息和为：m（1+q），
∴到2017年6月1日甲去银行将所有存款的本息全部取回，则取回的金额是：
S=m（1+q）（1+q）+m（1+q）2+m（1+q）3+m（1+q）4==．
故选：D．
　
10．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（，0），直线y=x﹣1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为﹣，则此双曲线的方程是（　　）
A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1
【考点】KB：双曲线的标准方程．
【分析】先设出双曲线的方程，然后与直线方程联立方程组，经消元得二元一次方程，再根据韦达定理及MN中点的横坐标可得a、b的一个方程，又双曲线中有c2=a2+b2，则另得a、b的一个方程，最后解a、b的方程组即得双曲线方程．
【解答】解：设双曲线方程为﹣=1．
将y=x﹣1代入﹣=1，整理得（b2﹣a2）x2+2a2x﹣a2﹣a2b2=0．
由韦达定理得x1+x2=，则==﹣．
又c2=a2+b2=7，解得a2=2，b2=5，
所以双曲线的方程是．
故选D．
　
11．已知符号函数sgn（x）=，那么y=sgn（x3﹣3x2+x+1）的大致图象是（　　）
A． B． C． D．
【考点】3O：函数的图象．
【分析】构造函数f（x）=x3﹣3x2+x+1，可整理得f（x）=（x﹣1）（x2﹣2x﹣1）=（x﹣1）（x﹣1﹣）（x﹣1+），利用排除法即可得到答案．
【解答】解：令f（x）=x3﹣3x2+x+1，
则f（x）=（x﹣1）（x2﹣2x﹣1）
=（x﹣1）（x﹣1﹣）（x﹣1+），
∴f（，1）=0，f（1﹣）=0，f（1+）=0，
∵sgn（x）=，
∴sgn（f（1））=0，可排除A，B；
又sgn（f（1﹣））=0，sgn（f（1﹣））=0，可排除C，
故选D．
　
12．已知函数f（x）=ax+elnx与g（x）=的图象有三个不同的公共点，其中e为自然对数的底数，则实数a的取值范围为（　　）
A．a＜﹣e B．a＞1 C．a＞e D．a＜﹣3或a＞1
【考点】6D：利用导数研究函数的极值；54：根的存在性及根的个数判断．
【分析】由题意可知：令f（x）=g（x），化简求得t2+（a﹣1）t﹣a+1=0，根据h（x）的单调性求得方程根所在的区间，根据二次函数的性质，即可求得a的取值范围．
【解答】解：由ax+elnx=，整理得：a+=，
令h（x）=，且t=h（x），
则t2+（a﹣1）t﹣a+1=0，
求导h′（x）==0，解得：x=e，
∴h（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）单调递减，
则当x→+∞时，h（x）→0，如图所示，
由题意可知方程有一个根t1在（0，1）内，另一个根t2=1或t2=0或t2∈（﹣∞，0），
当t2=1方程无意义，当t2=0时，a=1，t1=0不满足题意；
则t2∈（﹣∞，0），由二次函数的性质可知：，即，
解得：a＞1，
故选：B．

　
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．设，则使函数y=xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为　1，　．
【考点】4U：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．
【分析】验证α=﹣1，1，，，时，是否满足函数y=xα的定义域为R且为奇函数即可．
【解答】解：∵α∈{﹣1，1，，， }，
∴当α=﹣1时，函数y=x﹣1的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），不满足题意；
当α=1时，函数y=x的定义域为R且为奇函数，满足题意；
当α=时，函数y=的定义域为[0，+∞），不满足题意；
当α=时，函数y=的定义域为R且为奇函数，满足题意；
当α=时，函数y=的定义域为[0，+∞），不满足题意；
综上，使函数y=xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为：1，．
故答案为：．
　
14．实数x，y满足，则目标函数z=2x﹣y的最大值为　3　．
【考点】7C：简单线性规划．
【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=3x﹣y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最小值即可．
【解答】解：不等式组表示的平面区域如图所示，
当直线z=2x﹣y过点A时，z取得最大值，由：
可得A（2，1）时，
在y轴上截距最小，此时z取得最大值：2×2﹣1=3．
故答案为：3．

　
15．如果圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=8上总存在两个点到原点的距离为，则实数a的取值范围是　（﹣3，﹣1）∪（1，3）　．
【考点】J9：直线与圆的位置关系．
【分析】由已知得圆上点到原点距离d=，从而|d﹣r|＜|a|或d+r＞|a|，由此能求出实数a的取值范围．
【解答】解：圆心（a，a）到原点的距离为|a|，半径r=2，
圆上点到原点距离为d，
∵圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=8上总存在两个点到原点的距离为根号，
∴d=，
∴|d﹣r|＜|a|或d+r＞|a|
∴||＜|a|＜，即1＜|a|＜3，
解得 1＜a＜3或﹣3＜a＜﹣1．
∴实数a的取值范围是（﹣3，﹣1）∪（1，3）．
故答案为：（﹣3，﹣1）∪（1，3）．
　
16．已知三棱锥P﹣ABC的体积为底面ABC，且△ABC的面积为4，三边AB，BC，CA的乘积为16，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为　8π　．
【考点】LG：球的体积和表面积．
【分析】设△ABC外接圆半径为r，设三棱锥P﹣ABC球半径为R，由正弦定理，求出r=1，再由勾股定理得R=OP，由此能求出三棱锥的外接球的表面积．
【解答】解：设△ABC的外接圆的半径为r，则S△ABC==，解得r=1
∵三棱锥P﹣ABC的体积为底面ABC，且△ABC的面积为4．
∴，∴PA=2
如图，设球心为O，M为△ABC的外接圆的圆心，则OM=
则三棱锥P﹣ABC的外接球的半径R==．
三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为4πR2=8π．
故答案为：8π

　
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．如图，在△ABC中，D为AB边上一点，DA=DC，已知B=，BC=1．
（Ⅰ）若△ABC是锐角三角形，DC=，求角A的大小；
（Ⅱ）若△BCD的面积为，求边AB的长．

【考点】HP：正弦定理．
【分析】（Ⅰ）在△BCD中，由正弦定理得到∠BDC，又由DA=DC，即可得到∠A；
（Ⅱ）由于△BCD面积为，得到•BC•BD•sin =，得到BD，再由余弦定理得到CD2=BC2+BD2﹣2BC•BD•cos，再由DA=DC，即可得到边AB的长．
【解答】解：（Ⅰ）在△BCD中，B=，BC=1，DC=，
由正弦定理得到：，
解得sin∠BDC==，
则∠BDC=或．△ABC是锐角三角形，可得∠BDC=．
又由DA=DC，则∠A=．
（Ⅱ）由于B=，BC=1，△BCD面积为，
则•BC•BD•sin=，解得BD=．
再由余弦定理得到CD2=BC2+BD2﹣2BC•BD•cos
=1+﹣2××=，
故CD=，
又由AB=AD+BD=CD+BD=，
故边AB的长为：．
　
18．参加成都七中数学选修课的同学，对某公司的一种产品销量与价格进行了统计，得到如下数据和散点图：
定价x（元/kg）
10
20
30
40
50
60
年销量y（kg）
1150
643
424
262
165
86
z=2lny
14.1
12.9
12.1
11.1
10.2
8.9

（参考数据：， ，）
（1）根据散点图判断，y与x，z与x哪一对具有较强的线性相关性（给出判断即可，不必说明理由）？
（2）根据（1）的判断结果及数据，建立y关于x的回归方程（方程中的系数均保留两位有效数字）．
（3）定价为多少元/kg时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），…，（xn，yn），其回归直线=•x+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
==， =﹣n••．
【考点】BK：线性回归方程．
【分析】（1）由散点图可知：z与x具有较强的线性相关性；
（2）求得样本中心点（，），则==≈﹣0.10，由=﹣•=15.05≈15，即可求得线性回归方程，则；
（3）年利润L（x）=x•=x•，求导，令L′（x）=0，即可求得年利润L（x）的最大值．
【解答】解：（1）由散点图可知：z与x具有较强的线性相关性；
（2）由==35， ==11.55，
==≈﹣0.10，
由=﹣•=15.05≈15，
=x+=15﹣0.10x，
线性回归方程为： =15﹣0.10x，则y关于x的回归方程==，
∴y关于x的回归方程==；
（3）年利润L（x）=x•=x•，
求导L′（x）=•（1﹣x•），
令导L′（x）=0，解得：x=20，
由函数的单调性可知：当x=20时，年利润的预报值最大，
∴定价为20元/kg时，年利润的预报值最大．
　
19．如图，将边长为2的正六边形ABDEF沿对角线BE翻折，连接AC、FD，形成如图所示的多面体，且AC=．
（1）证明：平面ABEF⊥平面BCDE；
（2）求三棱锥E﹣ABC的体积．

【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LY：平面与平面垂直的判定．
【分析】（1）连结AC、BE，交点为G，由边长为2的正六边形ABCDEF的性质得AC⊥BE，且AG=CG=，由勾股定理得AG⊥GC，从而AG⊥平面BCDE，由此能证明平面ABEF⊥平面BCDE．
（2）连结AE，CE，则AG为三棱锥A﹣BCE的高，GC为△BCE的高，利用VE﹣ABC=VA﹣BCE，能求出三棱锥E﹣ABC的体积．
【解答】（1）证明：正六边形ABCDEF中，连结AC、BE，交点为G，
由边长为2的正六边形ABCDEF的性质得AC⊥BE，且AG=CG=，
在多面体中，由AC=，得AG2+CG2=AC2，
∴AG⊥GC，
又GC∩BE=G，GC，BE⊂平面BCDE，
∴AG⊥平面BCDE，
又AG⊂平面ABEF，∴平面ABEF⊥平面BCDE．
（2）解：连结AE，CE，则AG为三棱锥A﹣BCE的高，GC为△BCE的高，
在正六边形ABCDEF中，BE=2AF=4，
∴，
∴VE﹣ABC=VA﹣BCE==2．

　
20．已知椭圆M： +=1（a＞0）的一个焦点为F（﹣1，0），左右顶点分别为A，B，经过点F的直线l与椭圆M交于C，D两点．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）记△ABD与△ABC的面积分别为S1和S2，求|S1﹣S2|的最大值．
【考点】K4：椭圆的简单性质．
【分析】（Ⅰ）由焦点F坐标可求c值，根据a，b，c的平方关系可求得a值；
（Ⅱ）当直线l不存在斜率时可得，|S1﹣S2|=0；当直线l斜率存在（显然k≠0）时，设直线方程为y=k（x+1）（k≠0），与椭圆方程联立消y可得x的方程，根据韦达定理可用k表示x1+x2，x1x2，|S1﹣S2|可转化为关于x1，x2的式子，进而变为关于k的表达式，再用基本不等式即可求得其最大值．
【解答】解：（Ⅰ）因为F（﹣1，0）为椭圆的焦点，所以c=1，
又b=，所以a=2，
所以椭圆方程为=1；
（Ⅱ）直线l无斜率时，直线方程为x=﹣1，
此时D（﹣1，），C（﹣1，﹣），△ABD，△ABC面积相等，|S1﹣S2|=0，
当直线l斜率存在（显然k≠0）时，设直线方程为y=k（x+1）（k≠0），
设C（x1，y1），D（x2，y2），
和椭圆方程联立，消掉y得（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12=0，
显然△＞0，方程有根，且x1+x2=﹣，x1x2=，
此时|S1﹣S2|=2||y1|﹣|y2||=2|y1+y2|=2|k（x2+1）+k（x1+1）|
=2|k（x2+x1）+2k|==≤=，（k=±时等号成立）
所以|S1﹣S2|的最大值为．
　
21．已知函数f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx（a∈R）．
（1）若曲线g（x）=f（x）+x上点（1，g（1））处的切线过点（0，2），求函数g（x）的单调减区间；
（2）若函数y=f（x）在上无零点，求a的最小值．
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（1）求出函数的导数，计算g′（1），求出a的值，从而求出g（x）的递减区间即可；
（2）问题转化为对x∈（0，），a＞2﹣恒成立，令l（x）=2﹣，x∈（0，），根据函数的单调性求出a的最小值即可．
【解答】解：（1）∵g（x）=（3﹣a）x﹣（2﹣a）﹣2lnx，
∴g′（x）=3﹣a﹣，∴g′（1）=1﹣a，
又g（1）=1，∴1﹣a==﹣1，解得：a=2，
由g′（x）=3﹣2﹣=＜0，解得：0＜x＜2，
∴函数g（x）在（0，2）递减；
（2）∵f（x）＜0在（0，）恒成立不可能，
故要使f（x）在（0，）无零点，只需任意x∈（0，），f（x）＞0恒成立，
即对x∈（0，），a＞2﹣恒成立，
令l（x）=2﹣，x∈（0，），
则l′（x）=，
再令m（x）=2lnx+﹣2，x∈（0，），
则m′（x）=＜0，
故m（x）在（0，）递减，于是m（x）＞m（）=2﹣2ln2＞0，
从而l′（x）＞0，于是l（x）在（0，）递增，
∴l（x）＜l（）=2﹣4ln2，
故要使a＞2﹣恒成立，只要a∈[2﹣4ln2，+∞），
综上，若函数y=f（x）在上无零点，则a的最小值是2﹣4ln2．
　
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在极坐标系中，O为极点，已知圆C的圆心，半径r=3．
（1）求圆C的极坐标方程；
（2）若点Q在圆C上运动，P在OQ的延长线上，且|OQ|：|QP|=3：2，求动点P的轨迹方程．
【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．
【分析】（1）设M（ρ，θ）为圆C上任一点，OM的中点为N，由垂径定理能求出圆C的极坐标方程．
（2）设点P的极坐标为（ρ，θ），由已知求出点Q的极坐标为（，θ），由此能求出点P的轨迹方程．
【解答】解：（1）设M（ρ，θ）为圆C上任一点，OM的中点为N，
∵O在圆C上，∴△OCM为等腰三角形，由垂径定理得|ON|=|OC|cos（），
∴|OM|=2×3cos（），即ρ=6cos（）为所求圆C的极坐标方程．
（2）设点P的极坐标为（ρ，θ），
∵P在OQ的延长线上，且|OQ|：|QP|=3：2，
∴点Q的极坐标为（，θ），由于点Q在圆上，所以ρ=6cos（）．
故点P的轨迹方程为ρ=10cos（）．
　
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|．
（1）求不等式f（x）＞0的解集；
（2）若存在x0∈R，使得f（x0）+2a2＜4a，求实数a的取值范围．
【考点】R4：绝对值三角不等式．
【分析】（1）把f（x）用分段函数来表示，令f（x）=0，求得x的值，可得不等式f（x）＞0的解集．
（2）由（1）可得f（x）的最小值为f（），再根据f（）＜4a﹣2a2 ，求得a的范围．
【解答】解：（1）函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|=，令f（x）=0，求得x=﹣，或 x=3，
故不等式f（x）＞0的解集为{x|x＜﹣，或x＞3}．
（2）若存在x0∈R，使得f（x0）+2a2＜4a，即f（x0）＜4a﹣2a2 有解，
由（1）可得f（x）的最小值为f（）=﹣3•﹣1=﹣，故﹣＜4a﹣2a2 ，
求得﹣＜a＜．
　

2017年8月10日