河北省衡水中学2017届高三高考猜题卷（一）理数试题

2017年高考衡水猜题卷

理科数学

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设全集，且，则满足条件的集合的个数是（ ）

A．         B．       C．       D．

2.已知是虚数单位，复数的虚部为（ ）

A．         B．       C．       D．

3.某样本中共有个个体，其中四个值分别为，第五个值丢失，但该样本的数为，则样本方差为（ ）

A．         B．       C．        D．

4.双曲线的离心率为，焦点到渐近线的距离为，则的焦距等于（ ）

A．         B．       C.         D．

5.若不等式组表示的平面区域是一个直角三角形，则该直角三角形的面积是（ ）

A．         B．       C.         D．或

6.已知，则（ ）

A．         B．       C.         D．

7.《九章算术》是我国古代的数学名著，体现了古代劳动人民的数学智慧，其中第六章“均输”中，有一竹节容量问题，某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图，若输出的值为，则输入的值为（ ）

A．         B．       C.         D．

8.如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，交其准线于点，若，且，则此抛物线方程为（ ）

A．         B．       C.         D．

9.已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥，则不是该三棱锥的三视图的是（ ）

A．         B．       C.          D．

10.在中，，则的值所在区间为（ ）

A．         B．       C.         D．

11.已知符号函数那么的大致图象是（ ）

A．         B．       C.          D．

12.已知函数，对于任意的，且恒成立，则实数的取值范围是（ ）

A．         B．       C.         D．

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.已知，则的值是          ．

14.已知一个公园的形状如图所示，现有种不同的植物要种在此公园的，这五个区域内，要求有公共边界的两块相邻区域种不同的植物，则不同的种法共有          种．

15.已知函数，若存在满足，且，则的最小值为          ．

16.已知等腰直角的斜边，沿斜边的高线将折起，使二面角为，则四面体的外接球的表面积为          ．

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. 已知等差数列的公差为，前项和为，且成等比数列.

（I）求数列的通项公式；

（II）令，求数列的前项和.

18. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，已知为线段的中点.

（I）求证：平面；

（II）求平面与平面所成锐二面角的余弦角.

19. 龙虎山花语世界位于龙虎山主景区排衙峰下，是一座独具现代园艺风格的花卉公园，园内汇集了余种花卉苗木，一年四季姹紫嫣红花香四溢.花园景观融合法、英、意、美、日、中六大经典园林风格，景观设计唯美新颖，玫瑰花园、香草花溪、台地花海、植物迷宫、儿童乐园等景点错落有致，交相呼应又自成一体，是世界园艺景观的大展示.该景区自年春建成，试运行以来，每天游人如织，郁金香、向日葵、虞美人等赏花旺季日入园人数最高达万人.

某学校社团为了解进园旅客的具体情形以及采集旅客对园区的建议，特别在年月日赏花旺季对进园游客进行取样调查，从当日名游客中抽取人进行统计分析，结果如下：

（I）完成表一中的空位①~④，并作答题纸中补全频率分布直方图，并估计年月日当日接待游客中岁以下的游戏的人数.

(II)完成表二，并判断能否有的把握认为在观花游客中“年龄达到岁以上”与“性别”相关；

(表二）

（参考公式：，其中）

（III）按分层抽样（分岁以上与岁以下两层）抽取被调查的位游客中的人作为幸运游客免费领取龙虎山内部景区门票，再从这人中选取人接受电视台采访，设这人中年龄在岁以上（含岁）的人数为，求的分布列.

20. 给定椭圆，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆的“准圆”.若椭圆的一个焦点为，其短轴上的一个端点到的距离为.

(I)求椭圆的方程和其“准圆”的方程；

(II)点是椭圆的“准圆”上的动点，过点作椭圆的切线交“准圆”于点.

(i)当点为“准圆”与轴正半轴的交点时，求直线的方程，并证明；

(ii)求证:线段的长为定值.

21. 已知函数.

(I）若函数在处的切线方程为，求和的值;

(II)讨论方程的解的个数，并说明理由.

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.选修4-4：坐标系与参数方程

已知曲线的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为(为参数）.

(I)写出直线的一般方程与曲线的直角坐标方程，并判断它们的位置关系；

(II)将曲线向左平移个单位长度，向上平移个单位长度，得到曲线，设曲线经过伸缩变换得到曲线，设曲线上任一点为，求的取值范围.

23.选修4-5：不等式选讲

设函数.

(I)当时，解不等式；

(II)当时，若，使得不等式成立，求实数的取值范围.

试卷答案

一、选择题

1-5:       6-10:      11、12：

二、填空题

13.          14.           15.           16.

三、解答题

17.解：（I）因为，

，

，

由题意，得，

解得，

所以.

（II）由题意，可知

.

当为偶数时，

；

当为奇数时，

.

所以

（或）

18.解：（1）连接和交于点，连接，因为四边形为正方形，所以为的中点.

因为为的中点，所以.

因为平面平面，

所以平面.

(II)因为平面平面，

所以.

因为为正方形，所以.

因为平面，

所以平面.

因为平面，所以.

所以以为原点，以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则.

因为平面平面,

所以.

因为，所以.

因为四边形为正方形，

所以，

所以.

由四边形为正方形，

得,

所以.

设平面的一个法向量为，又知，

由

令，得，

所以.

设平面的一个法向量为，又知,

由

令，得，

所以.

设平面与平面所成的锐二面角为，

又，

则.

所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.

19.解：（I）完成表（一）：.

完成以下频率分布直方图：

因为年龄在岁以下的频率为，

以频率作为概率，估计年月日当日接待游客中岁以下的人数为.

（II）完成列联表如下：

的观测值，

所以没有的把握认为在观花游客中“年龄达到岁以上”与“性别”相关.

(III)由分层抽样应从这人中抽取到岁以上的人的人数为人，

岁以下的人的人数为人，

故的所有可能的取值为.

，

，

，

故的分布列为

20.解：（I）因为由题易知，

所以，

所以椭圆的方程为，

准圆的方程为.

(II)(i)因为准圆与轴的正半轴的交点为，

设过点且与椭圆相切的直线为，

由

得.

因为直线与椭圆相切，

所以，解得.

所以的方程分别为，.

因为，所以.

(ii) 当直线中有一条斜率不存在时，不妨设直线的斜率不存在，则的方程为.

当的方程为，与准圆交于点，，

此时的方程为（或）

显然直线垂直.

同理可证，直线垂直.

②当直线斜率均存在时，

设点，其中.

设经过点与椭圆相切的直线为

由

得.

由，化简整理，得.

因为，

所以有.

设直线的斜率分别为，

因为与椭圆相切，

所以满足方程.

所以，即.

综合①②知，因为经过，

又分别交准圆于点，且相互垂直，

所以线段为准圆的直径，

所以，

所以经段的长为定值.

21.解：（I）因为，

又在处的切线方程为，

所以，

解得.

（II）当时，在定义域内恒大于，此时方程无解.

当时，在区间内恒成立，

所以的定义域内为增函数.

因为，

所以方程有唯一解.

当时，.

当时，，

在区间内为减函数，

当时，，

在区间内为增函数，

所以当时，

取得最小值.

当时，，无方程解；

当时，，方程有唯一解.

当时，，

因为，且，

所以方程在区间内有唯一解，

当时，

设，

所以在区间内为增函数，

又，所以，即，

故.

因为，

所以.

所以方程在区间内有唯一解，

所以方程在区间内有两解，

综上所述，当时，方程无解，

当，或时，方程有唯一解，

当时，方程有两个解.

22.解：（I）直线的一般方程为，

曲线的直角坐标方程为.

因为，

所以直线和曲线相切.

（II）曲线为.

曲线经过伸缩变换

得到曲线的方程为，

则点的参数方程为（为参数），

所以，

所以的取值范围为.

23.解：（I）当时，原不等式等价于，

即，

所以解集为.

（II）当时，.

令

由图象，易知时，取得最小值.

由题意，知，

所以实数的取值范围为.