河北省衡水市衡水中学2018届高三年级第一次月考理科数学（解析版）

2017~2018学年度上学期高三年级一调考试

数学（理科）试卷

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．从每小题所给的四个选项中，选出最佳选项，并在答题纸上将该项涂黑）

1．设集合．若，则（     ）

1．答案：C

解析：由题意可知，将代入，得，所以，

即，解得或，所以

2．已知是虚数单位，若复数为纯虚数，则实数的值是（  ）

2．答案：D

解析：设，则，所以，故

3．执行如图所示的程序框图，为使输出的值小于91，则输入的正整数的最小值为（  ）

3．答案：D

解析：是是否

输出，结束，所以正整数的最小值为2．

 4．已知点，点为平面区域上的一个动点，则的最小值是（   ）

4．答案：C

解析：作可行域如图所示，则的最小值为点到直线的距离，

5．已知的三个内角依次成等差数列，边上的中线，则（   ）

5．答案：C

解析：因为成等差数列，所以，又因为，所以，

在中，由余弦定理可得，即

，所以，所以，故，

6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的所有棱中，最长的棱为（    ）

6．答案：A

解析：该几何体的直观图如图所示，则

所以最长的棱为3

7．已知数列满足，则（    ）

7．答案：B

解析：解法1：，周期，所以

解法2：设，则，

，所以，所以数列是一个首项为0，公差为的等差数列，，所以

8．已知，函数在内单调递减，则的取值范围是（  ）

8．答案：B

解析：当时，，根据题意可得

，所以，

解得：，所以，所以，又因为，所以，所以

9．设函数，其中．若，且的最小正周期大于，则（    ）

9．答案：D

解析：根据题意，所以，又因为，所以，当时，

，又因为，所以

10．已知函数，若实数满足，则实数的取值范围是（    ）

10．答案：C

解析：函数为偶函数，且在上单调递增，，所以

，所以，所以，所以

11．已知函数的图像的对称中心的横坐标为，且有三个零点，则实数的取值范围是（    ）

11．答案：B

解析：，的对称轴为，所以，所以，令

，得，所以当时，取得极大值1，当时，取得极小值，要想使有三个零点，则必须，解得

12．定义在内的函数满足：①当时，；②（为正常数）．若函数的所有极大值点都落在同一直线上，则常数的值是（    ）

12．答案：D

解析：在区间上，当时，取得极大值1，极大值点为，当时，，，所以在区间上，当，即时，取得极大值，极大值点为，当时，，所以，所以在区间上，当，即时，取得极大值，所以极大值点为，根据题意，，，三点共线，所以，解得或2

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13．如图，正方形中，分别是的中点，若，则                ．

13．答案：

解析：不妨设正方形边长为2，以为坐标原点建立如图所示平面直角坐标系，则，

，因为，所以，

所以，解得

14．已知定义在实数集上的函数满足，且的导函数，则不等式的解集为                ．

14．答案：

解析：设，则，即，设，则，且，所以函数是一个单调递减函数，不等式等价于

，所以，即，解得

15．已知数列的前项和为，，且成等比数列，成等差数列，则等于                ．

15．答案：

解析：由题意可得，因为，所以，所以，故数列为等差数列，又由， ，可得；，可得，所以数列是以为首项，以为公差的等差数列，所以，即，

故，故，

所以

16．已知函数是定义域为的偶函数，当时，，

若关于的方程有且仅有6个不同的实数根，则实数的取值范围是                ．

16．答案：或

解析：由可得，所以或，画出的图像，当时，因为，所以该方程有4个根；因为关于的方程有且仅有6个不同的实数根，所以

有两个根，由图可知，实数的取值范围是：或

三、解答题（共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考试必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答）

（一）必考题：共60分．

17．（本小题满分12分）

在中，角的对边分别为，且．

（1）求角的大小；

（2）求的取值范围．

17．解：（1）由及正弦定理可得：

，

故，

，，，又因为，所以

（2）

由，可得，所以，从而，

因此，

故的取值范围是

18．（本小题满分12分）高三某班12月月考语文成绩服从正态分布，数学成绩的频率分布直方图如图，如果成绩大于135分，则认为特别优秀．

（1）这500名学生中本次考试语文、数学特别优秀的大约各多少人？

（2）如果语文和数学两科都特别优秀的共有6人，从（1）中的这些同学中随机抽取3人，设三人中两科都特别优秀的有X人，求X的分布列和数学期望．

参考数据：若，则

18．解：因为语文成绩服从正态分布，所以语文成绩特别优秀的概率为

，

数学成绩特别优秀的概率为

所以语文成绩特别优秀的同学有（人），

数学特别优秀的同学有（人）……………………（5分）

（2）因为语文、数学两科都优秀的有6人，单科优秀的有10人，的所有可能取值为

所以的分布列为

…………………………（12分）

19．（本小题满分12分）如图①，在平行四边形中，分别为的中点，现把平行四边形沿折起，如图②所示，连接

（1）求证：；

（2）若，求二面角的余弦值．

19．（1）证明：由已知可得，四边形均为边长为2的菱形，且

，取的中点，连接，则是等边三角形，所以，同理可得．又因为，所以平面，又因为平面，所以．…………………………（5分）

（2）由已知得，所以，故，分别以

的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，得

．设平面的法向量，

，，令，得

，所以的法向量．

设平面的法向量，，

由，令，得，

所以平面的法向量，

于是．

因为二面角的平面角为钝角，所以二面角的余弦值为

20．（本小题满分12分）已知曲线在点处的切线方程是．

（1）求实数的值；

（2）若对任意恒成立，求实数的最大值．

20．解：（1），由，可得……（4分）

（2）由对任意恒成立，即恒成立，令

，则，

显然单调递增，且有唯一零点，

所以在内单调递减，在内单调递增，所以，

所以，故的最大值为1………………………………（12分）

21．（本小题满分12分）已知函数（为常数，）．

（1）当时，求函数的图像在处的切线方程；

（2）当在处取得极值时，若关于的方程在上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围；

（3）若对任意的，总存在，使不等式成立，求实数的取值范围．

21．解：（1）当时，，所以，又，即切点为，所以切线方程为，即．……（3分）

（2），依题意，，即，因为

，所以，此时，所以在上单调递减，在上单调递增，又，所以．…………（6分）

（3），

因为，所以，即，所以在上单调递增，所以．

问题等价于对任意的，不等式恒成立，

设，

则，又，所以在右侧需先单调递增，所以，即．

当时，设，其对称轴为，又，开口向上，且，所以在内，，即，所以在内单调递增，，即．

于是，对任意的，总存在，使不等式成立．

综上可知，…………………………（12分）

（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．

22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与轴的非负半轴重合，直线的参数方程为

（为参数），曲线的极坐标方程为．

（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；

（2）设直线与曲线相交于两点，求的值．

22．解：（1）将化为，由，得，所以曲线的直角坐标方程为．

由消去解得，

所以直线的普通方程为……………………（5分）

（2）把代入，整理得，设其两根为，则

，所以………………（10分）

方法2，圆的圆心为，半径，圆心到直线的距离，

所以………………（10分）

方法3，将代入，化简得：，由韦达定理得：

，

23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知函数．

（1）解不等式；

（2）若对任意，都有，使得成立，求实数的取值范围．

23．解：（1）由，得，所以，即，解得：

，所以原不等式的解集为

（2）因为对任意，都有，使得成立，所以

，又，当且仅当时取等号，，所以，

解得：或，所以实数的取值范围是