河北省衡水中学2016届高三（上）五调数学试卷（文科）（解析版）

这是一份河北省衡水中学2016届高三（上）五调数学试卷（文科）（解析版），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2015-2016学年河北省衡水中学高三（上）五调数学试卷（文科）
　
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．lgx，lgy，lgz成等差数列是由y2=zx成立的（　　）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．已知向量=（1，2），=（x，4），若向量⊥，则x=（　　）
A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣8
3．对于不重合的两个平面α和β，给定下列条件：
①存在直线l，使得l⊥α，且l⊥β；
②存在平面γ，使得α⊥γ且β⊥γ；
③α内有不共线的三点到β的距离相等；
④存在异面直线l，m，使得l∥α，l∥β，m∥α，m∥β
其中，可以判定α与β平行的条件有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图是底面半径为1，母线长均为2的圆锥和圆柱的组合体，则该组合体的侧视图的面积为（　　）

A．8π B．6π C． D．
5．函数是（　　）
A．最小正周期为2π的奇函数 B．最小正周期为π的奇函数
C．最小正周期为2π的偶函数 D．最小正周期为π的偶函数
6．过双曲线C：（a＞0，b＞0）的右顶点作x轴的垂线与C的一条渐近线相交于A．若以C的右焦点为圆心、半径为2的圆经过A、O两点（O为坐标原点），则双曲线C的方程为（　　）
A． B． C． D．
7．已知函数f（x）=e|x|+x2，则使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的x的取值范围是（　　）
A． B． C．（﹣，） D．
8．过点A（11，2）作圆x2+y2+2x﹣4y﹣164=0的弦，其中弦长为整数的共有（　　）
A．16条 B．17条 C．32条 D．34条
9．已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，点M（﹣2，2），过点F且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若，则k=（　　）
A． B． C． D．2
10．已知Sn是数列{an}的前n项和，a1=1，a2=2，a3=3，数列{an+an+1+an+2}是公差为2的等差数列，则S25=（　　）
A．232 B．233 C．234 D．235
11．已知点P是椭圆+=1（x≠0，y≠0）上的动点，F1，F2是椭圆的两个焦点，O是坐标原点，若M是∠F1PF2的角平分线上一点，且•=0，则||的取值范围是（　　）
A．[0，3） B．（0，2） C．[2，3） D．[0，4]
12．已知函数，若关于x的方程f2（x）﹣af（x）=0恰有5个不同的实数解，则a的取值范围是（　　）
A．（0，1） B．（0，2） C．（1，2） D．（0，3）
　
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则f（）=　　．

14．在半径为2的球面上有不同的四点A，B，C，D，若AB=AC=AD=2，则平面BCD被球所截得图形的面积为　　．
15．设a，b＞0，a+b=5，则+的最大值为　　．
16．对于函数f（x）=+（3﹣a）|x|+b，若f（x）有六个不同的单调区间，则a的取值范围为　　．
　
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．△ABC中，三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若B=60°，a=（﹣1）c．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）已知△ABC的面积为12+4，求函数f（x）=cos2x+asinx的最大值．
18．如图的几何体中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD=DE=2AB=2，F为CD的中点．
（1）求证：AF∥平面BCE；
（2）求证：平面BCE⊥平面CDE；
（3）求此几何体的体积．

19．已知直线l：4x+3y+10=0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方
（1）求圆C的方程；
（2）过点M（1，0）的直线与圆C交于A，B两点（A在x轴上方），问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

20．已知函数f（x）=x3+x2+ax+b，g（x）=x3+x2+lnx+b，（a，b为常数）
（1）若g（x）在x=1处切线过点（0，﹣5），求b的值
（2）令F（x）=f（x）﹣g（x），若函数F（x）存在极值，且所有极值之和大于5+ln2，求实数a的取值范围．
21．已知椭圆=1（a＞b＞0）的右焦点为F2（1，0），点H（2，）在椭圆上．
（I）求椭圆的方程；
（Ⅱ）点M在圆x2+y2=b2上，且M在第一象限，过M作圆x2+y2=b2的切线交椭圆于P，Q两点，求证：△PF2Q的周长是定值．

　
[请在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.]（共1小题，满分10分）
22．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，延长BA和CD相交于点P， =，
=．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若BD为⊙O的直径，且PA=1，求BC的长．

　
[选做题]
23．选修4﹣5《不等式选讲》．
已知a+b=1，对∀a，b∈（0，+∞），使+≥|2x﹣1|﹣|x+1|恒成立，求x的取值范围．
　

2015-2016学年河北省衡水中学高三（上）五调数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
　
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．lgx，lgy，lgz成等差数列是由y2=zx成立的（　　）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】等差数列的性质．
【分析】根据题中已知条件先证明充分性是否成立，然后证明必要性是否成立，即可的出答案．
【解答】解：lgx，lgy，lgz成等差数列，∴2lgy=lgx•lgz，即y2=zx，∴充分性成立，
因为y2=zx，但是x，z可能同时为负数，所以必要性不成立，
故选：A．
　
2．已知向量=（1，2），=（x，4），若向量⊥，则x=（　　）
A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣8
【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．
【分析】根据⇔，把两个向量的坐标代入求解．
【解答】解：∵，，∴
即x+8=0，解得x=﹣8．
故选D．
　
3．对于不重合的两个平面α和β，给定下列条件：
①存在直线l，使得l⊥α，且l⊥β；
②存在平面γ，使得α⊥γ且β⊥γ；
③α内有不共线的三点到β的距离相等；
④存在异面直线l，m，使得l∥α，l∥β，m∥α，m∥β
其中，可以判定α与β平行的条件有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】平面与平面平行的判定．
【分析】①利用线面垂直的性质和定义进行判断．②利用面面垂直的性质和定义进行判断．③利用点到平面的距离去判断．④利用线面平行的性质和定义判断．
【解答】解：①若α∥β时，存在直线l，若α与β不平行，则这样的直线不存在，所以①错误．
②若α∥β时，存在平面γ，使得α⊥γ且β⊥γ，α与β不平行，相交时，只要交线垂直于γ时，也满足条件，所以②正确．
③若α∥β时，α内有不共线的三点到β的距离相等，若α与β相交时，在交线的两侧也存在不共线的三点到β的距离相等，所以③正确．
④若α∥β时，存在异面直线l，m，使得l∥α，l∥β，m∥α，m∥β，若α与β相交时，则不存在，所以④错误．
故选B．
　
4．如图是底面半径为1，母线长均为2的圆锥和圆柱的组合体，则该组合体的侧视图的面积为（　　）

A．8π B．6π C． D．
【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．
【分析】先画出该组合体的侧视图，再利用组合体的数据和正方形、正三角形的面积计算公式计算其面积即可
【解答】解：如图为该组合体的侧视图，下方为边长为2的正方形，上方为边长为2的等边三角形
∴其面积s=22+×2×2×sin60°=4+
故选C

　
5．函数是（　　）
A．最小正周期为2π的奇函数 B．最小正周期为π的奇函数
C．最小正周期为2π的偶函数 D．最小正周期为π的偶函数
【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．
【分析】利用互余关系化简函数的表达式，利用二倍角公式化简函数为一个角的一个三角函数的形式，即可判断函数的奇偶性与求解函数的周期．
【解答】解：因为
=
=cos（2x+）=﹣sin2x．
所以函数的周期为： =π．
因为f（﹣x）=﹣sin（﹣2x）=sin2x=﹣f（x），所以函数是奇函数．
故选B．
　
6．过双曲线C：（a＞0，b＞0）的右顶点作x轴的垂线与C的一条渐近线相交于A．若以C的右焦点为圆心、半径为2的圆经过A、O两点（O为坐标原点），则双曲线C的方程为（　　）
A． B． C． D．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】求出双曲线的右顶点和右焦点以及渐近线方程，可得A，再由圆的性质可得|AF|=|OF|=c=2，解方程可得a，b，进而得到双曲线方程．
【解答】解：双曲线的右顶点为（a，0），右焦点F为（c，0），
由x=a和一条渐近线y=x，可得A（a，b），
以C的右焦点为圆心、半径为2的圆经过A、O两点（O为坐标原点），
则|AF|=|OF|=c=2，
即有=2，
c2=a2+b2=4，
解得a=1，b=，
即有双曲线的方程为x2﹣=1，
故选A．
　
7．已知函数f（x）=e|x|+x2，则使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的x的取值范围是（　　）
A． B． C．（﹣，） D．
【考点】函数单调性的性质．
【分析】根据f（x）解析式可以判断f（x）在[0，+∞）上为增函数，在R上为偶函数，从而由f（x）＞f（2x﹣1）便可得到|x|＞|2x﹣1|，两边平方即可解出该不等式，从而得出x的取值范围．
【解答】解：x≥0时，f（x）=ex+x2，∴x增大时ex增大，x2增大，即f（x）增大；
∴f（x）在[0，+∞）上单调递增；
f（x）的定义域为R，且f（﹣x）=f（x）；
∴f（x）为偶函数；
∴由f（x）＞f（2x﹣1）得：f（|x|）＞f（|2x﹣1|）
∴|x|＞|2x﹣1|；
∴x2＞（2x﹣1）2；
解得；
∴x的取值范围为．
故选：A．
　
8．过点A（11，2）作圆x2+y2+2x﹣4y﹣164=0的弦，其中弦长为整数的共有（　　）
A．16条 B．17条 C．32条 D．34条
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】化简圆的方程为标准方程，求出弦长的最小值和最大值，取其整数个数．
【解答】解：圆的标准方程是：（x+1）2+（y﹣2）2=132，圆心（﹣1，2），半径r=13过点A（11，2）的最短的弦长为10，最长的弦长为26，（分别只有一条）还有长度为11，12，…，25的各2条，所以共有弦长为整数的2+2×15=32条．
故选C．
　
9．已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，点M（﹣2，2），过点F且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若，则k=（　　）
A． B． C． D．2
【考点】抛物线的简单性质；平面向量数量积的运算．
【分析】斜率k存在，设直线AB为y=k（x﹣2），代入抛物线方程，利用=（x1+2，y1﹣2）•（x2+2，y2﹣2）=0，即可求出k的值．
【解答】解：由抛物线C：y2=8x得焦点（2，0），
由题意可知：斜率k存在，设直线AB为y=k（x﹣2），
代入抛物线方程，得到k2x2﹣（4k2+8）x+4k2=0，△＞0，
设A（x1，y1），B（x2，y2）．
∴x1+x2=4+，x1x2=4．
∴y1+y2=，y1y2=﹣16，
又=0，
∴=（x1+2，y1﹣2）•（x2+2，y2﹣2）==0
∴k=2．
故选：D．
　
10．已知Sn是数列{an}的前n项和，a1=1，a2=2，a3=3，数列{an+an+1+an+2}是公差为2的等差数列，则S25=（　　）
A．232 B．233 C．234 D．235
【考点】等差数列的前n项和．
【分析】由已知可得an+3﹣an=（an+1+an+2+an+3）﹣（an+an+1+an+2）=2，故a1，a4，a7，…是首项为1，公差为2的等差数列，a2，a5，a8，…是首项为2，公差为2的等差数列，a3，a6，a9，…是首项为3，公差为2的等差数列，结合等差数列前n项和公式，和分组求和法，可得答案．
【解答】解：∵数列{an+an+1+an+2}是公差为2的等差数列，
∴an+3﹣an=（an+1+an+2+an+3）﹣（an+an+1+an+2）=2，
∴a1，a4，a7，…是首项为1，公差为2的等差数列，
a2，a5，a8，…是首项为2，公差为2的等差数列，
a3，a6，a9，…是首项为3，公差为2的等差数列，
∴S25=（a1+a4+a7+…+a25）+（a2+a5+a8+…+a23）+（a3+a6+a9+…+a24）
=++=233，
故选：B
　
11．已知点P是椭圆+=1（x≠0，y≠0）上的动点，F1，F2是椭圆的两个焦点，O是坐标原点，若M是∠F1PF2的角平分线上一点，且•=0，则||的取值范围是（　　）
A．[0，3） B．（0，2） C．[2，3） D．[0，4]
【考点】椭圆的简单性质；椭圆的定义．
【分析】延长PF2，与F1M 交与点G，由条件判断三角形PF1G为等腰三角形，OM为三角形F1F2G的中位线，故OM=F2G=|PF1﹣PF2|=|2a﹣2PF2|，再根据PF2的最值域，求得OM的最值，从而得到结论．
【解答】解：延长PF2，与F1M 交与点G，则PM是∠F1PG 的角平分线．
由•=0可得 F1M垂直PM，
可得三角形PF1G为等腰三角形，故M为F1G的中点，
由于O为F1F2的中点，则OM为三角形F1F2G的中位线，
故OM=F2G．
由于PF1=PG，所以F2G=PF1﹣PF2，
∴OM=|PF1﹣PF2|=|2a﹣2PF2|．
问题转化为求PF2的最值．
而PF2的最小值为a﹣c，PF2的最大值为a+c，
即PF2的值域为[a﹣c，a+c]．
故当PF2=a+c，或PF2=a﹣c时，
|OM|取得最大值为 |2a﹣2PF2|=|2a﹣2（a﹣c）|=c===2；
当PF2 =a时，P在y轴上，此时，G与PF2重合，M与O重合，|OM|取得最小值为0，
∴|OM|的取值范围是（0，），
故选：B．

　
12．已知函数，若关于x的方程f2（x）﹣af（x）=0恰有5个不同的实数解，则a的取值范围是（　　）
A．（0，1） B．（0，2） C．（1，2） D．（0，3）
【考点】根的存在性及根的个数判断．
【分析】由已知中函数，若关于x的方程f2（x）﹣af（x）=0恰有五个不同的实数解，我们可以根据函数f（x）的图象分析出实数a的取值范围．
【解答】解：函数的图象如下图所示：

关于x的方程f2（x）=af（x）可转化为：
f（x）=0，或f（x）=a，
若关于x的方程f2（x）=af（x）恰有五个不同的实数解，
则f（x）=a恰有三个不同的实数解，
由图可知：0＜a＜1
故选A
　
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则f（）=　1　．

【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【分析】求出f（x）的表达式，求出f（）的值即可．
【解答】解：由﹣=，
故×2=π，故ω=2，
将（，2）代入：f（x）=2sin（2x+φ），解得：φ=﹣，
故f（x）=2sin（2x﹣），
故f（）=2sin（2×﹣）=1，
故答案为：1．
　
14．在半径为2的球面上有不同的四点A，B，C，D，若AB=AC=AD=2，则平面BCD被球所截得图形的面积为　3π　．
【考点】球的体积和表面积．
【分析】先在球面选取A点，在球面上有B，C，D三点到A距离相等，可知B，C，D在同一截面上，且OA垂直于平面BCD．
【解答】解：先在球面选取A点，在球面上有B，C，D三点到A距离相等，
可知B，C，D在同一截面上，且OA垂直于平面BCD；
如图：
有AB=AC=AD=2，OB=OC=OD=OA=2，所以△OAB，△OAC，△OAD均为等边三角形．
所以截面BCD所在圆的半径为r=；
所以截面面积为：3π．
故答案为3π．
　
15．设a，b＞0，a+b=5，则+的最大值为　3　．
【考点】函数最值的应用．
【分析】利用柯西不等式，即可求出的最大值．
【解答】解：由题意，（）2≤（1+1）（a+1+b+3）=18，
∴的最大值为3，
故答案为：3．
　
16．对于函数f（x）=+（3﹣a）|x|+b，若f（x）有六个不同的单调区间，则a的取值范围为　（2，3）　．
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】由偶函数的定义，可知函数f（x）是偶函数，从而易得f（﹣2），同时，若f（x）有六个不同的单调区间，则由函数为偶函数，则只要证明函数在（0，+∞）上有三个单调区间即可．即：f′（x）=0有两个不同的正根．
【解答】解：∵函数f（x）=+（3﹣a）|x|+b
∴f（﹣x）=f（x）
∴f（x）是偶函数
∵f（x）有六个不同的单调区间
又因为函数为偶函数
∴当x＞0时，有三个单调区间
即：f′（x）=x2﹣ax+3﹣a=0有两个不同的正根
∴
解得：2＜a＜3
故答案为：（2，3）
　
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．△ABC中，三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若B=60°，a=（﹣1）c．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）已知△ABC的面积为12+4，求函数f（x）=cos2x+asinx的最大值．
【考点】正弦定理；三角函数中的恒等变换应用．
【分析】（Ⅰ）由B的度数表示出A+C的度数，用A表示出C，已知等式利用正弦定理化简，将表示出的C代入利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后得到tanA=1，即可确定出角A的大小；
（Ⅱ）利用三角形面积公式列出关系式，将表示出的c，sinB以及已知面积代入求出a的值，代入f（x）解析式中化简，利用二次函数的性质及正弦函数的值域即可确定出最大值．
【解答】解：（Ⅰ）∵B=60°，∴A+C=120°，即C=120°﹣A，
∵a=（﹣1）c，由正弦定理可得：sinA=（﹣1）sinC，
sinA=（﹣1）sin=（﹣1）（cosA+sinA），
整理得： cosA+sinA﹣cosA﹣sinA=sinA，
即cosA=sinA，
即sinA=cosA，
∴tanA=1，
则A=45°；
（Ⅱ）∵S△ABC=acsinB=12+4，c=，sinB=，
∴••=12+4，
解得：a=4，
∴f（x）=1﹣2sin2x+4sinx=﹣2（sinx﹣）2+5，
则当sinx=1时，函数f（x）取得最大值4﹣1．
　
18．如图的几何体中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD=DE=2AB=2，F为CD的中点．
（1）求证：AF∥平面BCE；
（2）求证：平面BCE⊥平面CDE；
（3）求此几何体的体积．

【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．
【分析】（1）通过取CE的中点G，利用三角形的中位线定理和平行四边形的性质及线面平行的判定定理即可证明；
（2）利用面面垂直的判定定理在平面BCE内找一条直线与平面CDE垂直即可证明；
（3）取正三角形ACD的边AD上的高CM，证明CM⊥平面ABED，再利用三棱锥的体积公式计算即可．
【解答】证明：（1）取CE的中点G，连接FG、BG．
∵F为CD的中点，∴GF∥DE且GF=．
∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴AB∥DE，∴GF∥AB．
又AB=，∴GF=AB．
∴四边形GFAB为平行四边形，则AF∥BG．
∵AF⊄平面BCE，BG⊂平面BCE，∴AF∥平面BCE．
（2）∵△ACD为等边三角形，F为CD的中点，∴AF⊥CD．
∵DE⊥平面ACD，AF⊂平面ACD，∴DE⊥CD．
又CD∩DE=D，∴AF⊥平面CDE．
∵BG∥AF，∴BG⊥平面CDE．
∵BG⊂平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE．
（3）取AD的中点M，连接CM，由△ACD为等边三角形，∴CM⊥AD．
∵平面ACD⊥平面ABED，∴CM⊥平面ABED．
∵AD=2，∴CM=．
由直角梯形ABED得S==3，
∴V三棱锥C﹣ABED==．

　
19．已知直线l：4x+3y+10=0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方
（1）求圆C的方程；
（2）过点M（1，0）的直线与圆C交于A，B两点（A在x轴上方），问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】圆方程的综合应用．
【分析】（1）设出圆心C坐标，根据直线l与圆C相切，得到圆心到直线l的距离d=r，确定出圆心C坐标，即可得出圆C方程；
（2）当直线AB⊥x轴，则x轴平分∠ANB，当直线AB斜率存在时，设直线AB方程为y=k（x﹣1），联立圆与直线方程，消去y得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理表示出两根之和与两根之积，由若x轴平分∠ANB，则kAN=﹣kBN，求出t的值，确定出此时N坐标即可．
【解答】解：（1）设圆心C（a，0）（a＞﹣），
∵直线l：4x+3y+10=0，半径为2的圆C与l相切，
∴d=r，即 =2，
解得：a=0或a=﹣5（舍去），
则圆C方程为x2+y2=4；
（2）当直线AB⊥x轴，则x轴平分∠ANB，
若x轴平分∠ANB，则kAN=﹣kBN，即+=0，
整理得：2x1x2﹣（t+1）（x1+x2）+2t=0，即+2t=0，
解得：t=4，
当点N（4，0），能使得∠ANM=∠BNM总成立．
　
20．已知函数f（x）=x3+x2+ax+b，g（x）=x3+x2+lnx+b，（a，b为常数）
（1）若g（x）在x=1处切线过点（0，﹣5），求b的值
（2）令F（x）=f（x）﹣g（x），若函数F（x）存在极值，且所有极值之和大于5+ln2，求实数a的取值范围．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值．
【分析】（1）由求导公式和法则求g′（x），利用导数的几何意义求出切线的斜率，再由题意和点斜式方程求出切线方程，把x=1代入求出切点坐标，代入g（x）求出b的值；
（2）求函数F（x）以及定义域，求出F′（x），利用导数和极值之间的关系将条件转化：F′（x）=0在（0，+∞）上有根，即即2x2﹣ax+1=0在（0，+∞）上有根，根据二次方程根的分布问题列出方程组，根据条件列出关于a的不等式，求出a的范围．
【解答】解：（1）由题意得，，
∴g（x）在x=1处切线的斜率k=g′（1）=11，
∵在x=1处切线过点（0，﹣5），
∴g（x）在x=1处切线方程是：y+5=11x，即y=11x﹣5，
当x=1时，y=6，则切点的坐标是（1，6），
代入g（x）得，6=1++b，解得b=；
（2）由条件得，F（x）=ax﹣x2﹣lnx，且x∈（0，+∞），
则F′（x）=a﹣2x﹣=﹣，
∵函数F（x）存在极值，∴F′（x）=0在（0，+∞）上有根，
即2x2﹣ax+1=0在（0，+∞）上有根，∴△=a2﹣8≥0，
显然当△=0时，F（x）无极值，不合题意；
所以方程必有两个不等正根．记方程2x2﹣ax+1=0的两根为x1，x2，
则，且F（x1），F（x2）是函数F（x）的两个极值，
由题意得，F（x1）+F（x2）=a（x1+x2）﹣﹣（lnx1+lnx2）
=＞5﹣ln，
化简解得，a2＞16，满足△＞0，
又，即a＞0，
∴所求a的取值范围是（4，+∞）．
　
21．已知椭圆=1（a＞b＞0）的右焦点为F2（1，0），点H（2，）在椭圆上．
（I）求椭圆的方程；
（Ⅱ）点M在圆x2+y2=b2上，且M在第一象限，过M作圆x2+y2=b2的切线交椭圆于P，Q两点，求证：△PF2Q的周长是定值．

【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（I）利用椭圆的定义及其性质即可得出；
（II）方法1：设P（x1，y1），Q（x2，y2），利用两点之间的距离公式与，可得，再利用切线的性质可得|PM|=，可得，同理|QF2|+|QM|=3，即可证明；
方法2：设P（x1，y1），Q（x2，y2），设PQ的方程为y=kx+m（k＜0，m＞0），与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，利用弦长公式可得|PQ，利用PQ与圆x2+y2=8相切的性质可得，得到，利用两点之间的距离公式可得，同理可得，即可证明．
【解答】（I）解：根据已知，椭圆的左右焦点为分别是F1（﹣1，0），F2（1，0），c=1，
∵在椭圆上，
∴，
∴a=3，b2=a2﹣c2=8，
椭圆的方程是；
（II）证明：方法1：设P（x1，y1），Q（x2，y2），
则，
，
∵0＜x1＜3，∴，
在圆中，M是切点，
∴，
∴，
同理|QF2|+|QM|=3，
∴|F2P|+|F2Q|+|PQ|=3+3=6，
因此△PF2Q的周长是定值6．
方法2：设PQ的方程为y=kx+m（k＜0，m＞0），
由，得（8+9k2）x2+18kmx+9m2﹣72=0
设P（x1，y1），Q（x2，y2），
则，，
∴===，
∵PQ与圆x2+y2=8相切，
∴，即，
∴，
∵，
∵0＜x1＜3，
∴，
同理，
∴，
因此△PF2Q的周长是定值6．
斜率不存在时也成立．
故△PF2Q的周长是定值6．
　
[请在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.]（共1小题，满分10分）
22．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，延长BA和CD相交于点P， =，
=．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若BD为⊙O的直径，且PA=1，求BC的长．

【考点】与圆有关的比例线段．
【分析】（Ⅰ）证明△PAD与△PCB相似，即可求的值；
（Ⅱ）求出PB，PC，利用勾股定理求BC的长．
【解答】解：（Ⅰ）由∠PAD=∠PCB，∠A=∠A，得△PAD与△PCB相似，
设PA=x，PD=y则有，
所以…
（Ⅱ）因为PA=1， =，所以PB=4，
因为PA•PB=PD•PC， =，所以PC=2，
因为BD为⊙O的直径，所以∠C=90°，
所以BC==2．…
　
[选做题]
23．选修4﹣5《不等式选讲》．
已知a+b=1，对∀a，b∈（0，+∞），使+≥|2x﹣1|﹣|x+1|恒成立，求x的取值范围．
【考点】绝对值三角不等式；基本不等式．
【分析】利用基本不等式求得 +的最小值等于9，由题意可得|2x﹣1|﹣|x+1|≤9，分x≤﹣1时，﹣1＜x＜时，x≥时三种情况分别求出不等式的解集，再取并集，即得结果．
【解答】解：∵a+b=1，且 a＞0，b＞0，∴+=（a+b）（ + ）=5++≥5+2=9，
故 + 的最小值等于9． 要使+≥|2x﹣1|﹣|x+1|恒成立，所以，|2x﹣1|﹣|x+1|≤9．
当 x≤﹣1时，2﹣x≤9，∴﹣7≤x≤﹣1． 当﹣1＜x＜时，﹣3x≤9，∴﹣1＜x＜．
当x≥时，x﹣2≤9，∴≤x≤11．
综上，﹣7≤x≤11．
　

2016年11月1日